1、 1 江苏省南通市 2018 届高三数学上学期开学考试试卷 I 卷 一、填空题（ 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 不需写出解题过程，请把答案直接填写在 答 卷 相应位置上 ） 1. 已知集合 A 2， 1， 3， 4， B 1， 2， 3， 则 AB _ 【答案】 1， 3 2.命题 “ ? x (0， ) ， ln x x 1” 的否定是 _ 【答案】 ? x (0， ) ， ln x x 1 3.若复数 z 满足 (z 1)i 1 i， 其中 i 是虚数单位 ， 则复数 z 的模是 _ 【答案】 5 4.执行如图所示的流程图 ， 则输出的 k 的值为 _ 【答案】 4
2、 5. 一汽车厂生产 A， B， C 三类轿车 ， 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 ， 某月的产量如下表 (单位：辆 )： 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 ， 其中有 A 类轿车 10 辆 则 z 的值为 _ 【答案】 400 6.已知 ? ?，32 ， 且 cos 45， 则 tan(4 ) _ 【答案】17 7.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数 ， 当 x0 时 ， f(x) 2x 2x m(m 为常数 )， 则 f(1)的值为 _ 2 【答案】 3 8.在棱长为
3、 2 的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概率为 _ 【答案】 16 解析：半径为 1 的球的体积是43， 正方体的体积是 8， 故所求的概 率是 1438 16 9. 已知函数 f(x) ?ax（ x 0） ，（ a 3） x 4a（ x0 ） 满足对任意 x1 x2， 都有f（ x1） f（ x2）x1 x2 0成立 ， 则 a 的取值范围是 _ 【答案】 00， b0)的左焦点 ， 点 E 是该双曲线的右顶点 ， 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点若 ABE 是锐角三角形 ， 则该双曲线的离心率 e的取值范围是 _ 【答案】 (1， 2)
4、 解析：由题意易得点 F 的坐标为 ( c， 0)， A? ? c，b2a ， B? c， b2a ，E(a， 0) ABE 是锐角三角形 ， EA EB 0， 即 EA EB ? ? c a，b2a ? c a， b2a 0.整理 ， 得 3e2 2ee4. e(e3 3e 3 1)1， e (1， 2) 3 12. 已知三次函数 f(x)a3x3b2x2 cx d(a0， b2 4ac0. a b cb a a bb24ab a 1ba14?ba2ba 1. 令 tba(t1)， 则a b cb a 1 t14t2t 1 14（ t 2） 2t 1 14（ t 1 3） 2t 1 14(t
5、 19t 1 6)3( 当且仅当 t 4， 即 b 4a 时 ， 等号成立 ) 13. 已知函数 ，若函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 函数 ， 函数 的图象如下 ： 4 结合图象可得若函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是 14. 已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集 (K 不在是直线 AB 上 )当 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 _ 【答案】 ,解析由 知 三点共线，且 由 知 ，即 由角平分线性质知 ，设 ， ， ，则 ，化简得 ，即 ，所以 的轨迹
6、是以 为圆心，以 为半径的圆由已知， ， 在圆上，所以 ，又 ，所以 ，因为 ， 在 上单调递增，所以 ，所以 ，故实数 的最小值为 二、解答题： （ 本大题共 6 小题， 15 17 每题 14 分 ， 18 20 每题 16 分，共计 90 分请在 答 卷 指 定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15. (本小题满分 14 分 ) 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 ， AB CD， AB1 BC， 且 AA1 AB.求证： (1) AB 平面 D1DCC1； (2) AB1 平面 A1BC. 【答案】 证明： (1) 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中
7、 ， AB CD， AB?平面 D1DCC1， CD? 平面 D1DCC1，5 所以 AB 平面 D1DCC1. (2) 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 ， 四边形 A1ABB1为平行四边形 ， 又 AA1 AB， 故四边形 A1ABB1为菱形从而 AB1 A1B.又 AB1 BC， 而 A1B BC B， A1B? 平面 A1BC， BC? 平面 A1BC， 所以AB1 平面 A1BC. 16. 已知向量 m (cos ， 1)， n (2， sin ) ，其中 ? ?0，2 ，且 mn . (1) 求 cos 2 的值； (2) 若 sin( ) 1010 ，且 ?0， 2 ，求角
8、. 【答案】 解： (1) (解法 1)由 mn 得 ， 2cos sin 0， sin 2cos ， (2 分 ) 代入 cos2 sin2 1， 5cos2 1， 且 ? ?0，2 ， ?0， 2 ， 则 cos 55 ， sin 2 55 ， (4 分 ) 则 cos 2 2cos2 1 2 ?552 135.(6 分 ) (解法 2)由 mn 得 ， 2cos sin 0， tan 2， (2 分 ) 故 cos 2 cos2 sin2 cos2 sin2cos2 sin2 1 tan21 tan2 1 41 435.(6 分 ) (2) 由 ? ?0，2 ， ?0， 2 得 ， ?
9、2 ，2 . 因 sin( ) 1010 ， 则 cos( ) 3 1010 .(9 分 ) 则 sin sin ( ) sin cos( ) cos sin( ) 2 55 3 1010 55 1010 22 .(12 分 ) 因 ? ?0，2 ， 得 4 .(14 分 ) 17.如图所示 ， 摄影爱好者 S 在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为6.设 S 的眼睛到地面的距离为 3米 (1) 求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度； (2) 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转摄影爱好
10、6 者有一视角范围为3 的镜头 ， 在彩杆转动的任意时刻 ， 摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由 【答案】 解： (1) 如图 ， 作 SC 垂直 OB 于 C， 则 CSB 6 ， ASB3.又 SA 3， 故在 Rt SAB 中 ，可求得 BA 3， 即摄影爱好者到立柱的水平距离为 3 米 由 SC 3， CSO6 ， 在 Rt SCO 中 ， 可求得 OC 3. 因为 BC SA 3， 故 OB 2 3， 即立柱高为 2 3米 (2) 如图 ， 连结 SM， SN.设 SN a， SM b.由 (1)知 SO 2 3， 在 SOM 和 SON 中 ， cos SOM co
11、s SON， 即（ 2 3） 2 1 b22 2 3 1 （ 2 3） 2 1 a22 2 3 1 ， 可得 a2 b2 26. 在 MSN 中 ， cos MSNa2 b2 222ab 11ab22a2 b2111312， 当且仅当 a b 时 ， 等号成立 又 MSN(0 ， )， 则 0b0)的右焦点为 F2(1， 0)，点 H?2，2 103 在椭圆上 (1) 求椭圆的方程； (2) 点 M 在圆 x2 y2 b2上 ， 且点 M 在第一象限 ， 过点 M 作圆 x2 y2 b2的切线交椭圆于 P，Q 两点，求证： PF 2Q 的周长是定 值 【答案】 解： (1) 设椭圆的左焦点为
12、F1.根据已知 ， 椭圆的左右焦点分别是 F1( 1， 0)， F2(1，0)， c 1， H?2，2 103 在椭圆上 ， 2a |HF1| |HF2| （ 2 1） 2 ?2 1032 （ 2 1） 2 ?2 1032 6. a 3， b 2 2.故椭圆的方程是x29y28 1. (2) 证明：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 则x219y218 1， 8 |PF2| （ x1 1） 2 y21 （ x1 1） 2 8? ?1x219 ?x13 32. 0x13， |PF2| 313x1. 在圆中 ， M 是切点 ， |PM| |OP|2 |OM|2 x21 y21 8 x2
13、1 8? ?1x219 813x1. |PF2| |PM| 313x113x1 3. 同理 ， |QF2| |QM| 3， |F2P| |F2Q| |PQ| 3 3 6. 因此 ， PF2Q 的周长是定值 6. 20 . 设数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，若 ， （ 1）求数列 的通项公式；（ 2）对于正整数 ，求证： “ 且 ” 是 “ 这三项经适当排序后能构成等差数列 ” 成 立的充要条件； （ 3）设数列 满足：对任意的正整数 ， 都有 ， 且集合 中有且仅有 个元素，试求 的取值范围 【答案】（ 1） 数列 是各项均为正数的等比数列， ， ，又 ， ， ，（ 2） （
14、i）必要性：设 这三项经适当排序后能构成等差数列， 若 ，则 ， ， ， ， 若 ，则 ， ，左边为偶数，等式不成立， 9 若 ，同理也不成立， 综合 ，得 ，所以必要性成立 （ ii）充分性：设 ， ， 则 这三项为 ，即 ，调整顺序后易知 成等差数列，所以充分性也成立 综合（ i）（ ii），充要性得证 （ 3） 因为 ， 即 ， 当 时， ， 则 式两边同乘以 ，得 ，得 ，即 ， 又当 时， ，即 ，适合 ， ， ， 时， ，即 ； 时， ，此时 单调递减， 又 ， ， ， ， (法二： 两边同除以 2n+1) II 卷 （ 本大题共 4 小题， 每题 10 分，共计 40 分请在 答 卷 指定 区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 21(B).已知矩阵 ，若 ，求矩阵 的特征值 【答案】因为 ， 10 所以 解得 ， 所以矩阵 的特征多项式为 令 ， 解得矩阵 的特征值为 21(D). 在平面直角坐标系 中，已知直线 （为参数）与曲线 （为参数）相交于 ， 两点，求线段 的长 【答案】方法一： 将曲线 （为参数）化为普通方程为 将直线 （为参数）代入 得， ， 解得 ， 则 所以线段
