江苏省南通市2018届高三数学上学期开学考试试卷(有答案,word版).doc

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1、 1 江苏省南通市 2018 届高三数学上学期开学考试试卷 I 卷 一、填空题( 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分 不需写出解题过程,请把答案直接填写在 答 卷 相应位置上 ) 1. 已知集合 A 2, 1, 3, 4, B 1, 2, 3, 则 AB _ 【答案】 1, 3 2.命题 “ ? x (0, ) , ln x x 1” 的否定是 _ 【答案】 ? x (0, ) , ln x x 1 3.若复数 z 满足 (z 1)i 1 i, 其中 i 是虚数单位 , 则复数 z 的模是 _ 【答案】 5 4.执行如图所示的流程图 , 则输出的 k 的值为 _ 【答案】 4

2、 5. 一汽车厂生产 A, B, C 三类轿车 , 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 , 某月的产量如下表 (单位:辆 ): 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 , 其中有 A 类轿车 10 辆 则 z 的值为 _ 【答案】 400 6.已知 ? ?,32 , 且 cos 45, 则 tan(4 ) _ 【答案】17 7.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数 , 当 x0 时 , f(x) 2x 2x m(m 为常数 ), 则 f(1)的值为 _ 2 【答案】 3 8.在棱长为

3、 2 的正方体内随机取一点,取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概率为 _ 【答案】 16 解析:半径为 1 的球的体积是43, 正方体的体积是 8, 故所求的概 率是 1438 16 9. 已知函数 f(x) ?ax( x 0) ,( a 3) x 4a( x0 ) 满足对任意 x1 x2, 都有f( x1) f( x2)x1 x2 0成立 , 则 a 的取值范围是 _ 【答案】 00, b0)的左焦点 , 点 E 是该双曲线的右顶点 , 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点若 ABE 是锐角三角形 , 则该双曲线的离心率 e的取值范围是 _ 【答案】 (1, 2)

4、 解析:由题意易得点 F 的坐标为 ( c, 0), A? ? c,b2a , B? c, b2a ,E(a, 0) ABE 是锐角三角形 , EA EB 0, 即 EA EB ? ? c a,b2a ? c a, b2a 0.整理 , 得 3e2 2ee4. e(e3 3e 3 1)1, e (1, 2) 3 12. 已知三次函数 f(x)a3x3b2x2 cx d(a0, b2 4ac0. a b cb a a bb24ab a 1ba14?ba2ba 1. 令 tba(t1), 则a b cb a 1 t14t2t 1 14( t 2) 2t 1 14( t 1 3) 2t 1 14(t

5、 19t 1 6)3( 当且仅当 t 4, 即 b 4a 时 , 等号成立 ) 13. 已知函数 ,若函数 有 个不同的零点,则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】当 时, ,此时 , 当 时, ,此时 , 当 时, ,此时 , 函数 , 函数 的图象如下 : 4 结合图象可得若函数 有 个不同的零点,则实数 的取值范围是 14. 已知 , 是非零不共线的向量,设 ,定义点集 (K 不在是直线 AB 上 )当 时,若对于任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的最小值为 _ 【答案】 ,解析由 知 三点共线,且 由 知 ,即 由角平分线性质知 ,设 , , ,则 ,化简得 ,即 ,所以 的轨迹

6、是以 为圆心,以 为半径的圆由已知, , 在圆上,所以 ,又 ,所以 ,因为 , 在 上单调递增,所以 ,所以 ,故实数 的最小值为 二、解答题: ( 本大题共 6 小题, 15 17 每题 14 分 , 18 20 每题 16 分,共计 90 分请在 答 卷 指 定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 15. (本小题满分 14 分 ) 如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 , AB CD, AB1 BC, 且 AA1 AB.求证: (1) AB 平面 D1DCC1; (2) AB1 平面 A1BC. 【答案】 证明: (1) 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中

7、 , AB CD, AB?平面 D1DCC1, CD? 平面 D1DCC1,5 所以 AB 平面 D1DCC1. (2) 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 , 四边形 A1ABB1为平行四边形 , 又 AA1 AB, 故四边形 A1ABB1为菱形从而 AB1 A1B.又 AB1 BC, 而 A1B BC B, A1B? 平面 A1BC, BC? 平面 A1BC, 所以AB1 平面 A1BC. 16. 已知向量 m (cos , 1), n (2, sin ) ,其中 ? ?0,2 ,且 mn . (1) 求 cos 2 的值; (2) 若 sin( ) 1010 ,且 ?0, 2 ,求角

8、. 【答案】 解: (1) (解法 1)由 mn 得 , 2cos sin 0, sin 2cos , (2 分 ) 代入 cos2 sin2 1, 5cos2 1, 且 ? ?0,2 , ?0, 2 , 则 cos 55 , sin 2 55 , (4 分 ) 则 cos 2 2cos2 1 2 ?552 135.(6 分 ) (解法 2)由 mn 得 , 2cos sin 0, tan 2, (2 分 ) 故 cos 2 cos2 sin2 cos2 sin2cos2 sin2 1 tan21 tan2 1 41 435.(6 分 ) (2) 由 ? ?0,2 , ?0, 2 得 , ?

9、2 ,2 . 因 sin( ) 1010 , 则 cos( ) 3 1010 .(9 分 ) 则 sin sin ( ) sin cos( ) cos sin( ) 2 55 3 1010 55 1010 22 .(12 分 ) 因 ? ?0,2 , 得 4 .(14 分 ) 17.如图所示 , 摄影爱好者 S 在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱,测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为6.设 S 的眼睛到地面的距离为 3米 (1) 求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2) 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转摄影爱好

10、6 者有一视角范围为3 的镜头 , 在彩杆转动的任意时刻 , 摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面?请说明理由 【答案】 解: (1) 如图 , 作 SC 垂直 OB 于 C, 则 CSB 6 , ASB3.又 SA 3, 故在 Rt SAB 中 ,可求得 BA 3, 即摄影爱好者到立柱的水平距离为 3 米 由 SC 3, CSO6 , 在 Rt SCO 中 , 可求得 OC 3. 因为 BC SA 3, 故 OB 2 3, 即立柱高为 2 3米 (2) 如图 , 连结 SM, SN.设 SN a, SM b.由 (1)知 SO 2 3, 在 SOM 和 SON 中 , cos SOM co

11、s SON, 即( 2 3) 2 1 b22 2 3 1 ( 2 3) 2 1 a22 2 3 1 , 可得 a2 b2 26. 在 MSN 中 , cos MSNa2 b2 222ab 11ab22a2 b2111312, 当且仅当 a b 时 , 等号成立 又 MSN(0 , ), 则 0b0)的右焦点为 F2(1, 0),点 H?2,2 103 在椭圆上 (1) 求椭圆的方程; (2) 点 M 在圆 x2 y2 b2上 , 且点 M 在第一象限 , 过点 M 作圆 x2 y2 b2的切线交椭圆于 P,Q 两点,求证: PF 2Q 的周长是定 值 【答案】 解: (1) 设椭圆的左焦点为

12、F1.根据已知 , 椭圆的左右焦点分别是 F1( 1, 0), F2(1,0), c 1, H?2,2 103 在椭圆上 , 2a |HF1| |HF2| ( 2 1) 2 ?2 1032 ( 2 1) 2 ?2 1032 6. a 3, b 2 2.故椭圆的方程是x29y28 1. (2) 证明:设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 则x219y218 1, 8 |PF2| ( x1 1) 2 y21 ( x1 1) 2 8? ?1x219 ?x13 32. 0x13, |PF2| 313x1. 在圆中 , M 是切点 , |PM| |OP|2 |OM|2 x21 y21 8 x2

13、1 8? ?1x219 813x1. |PF2| |PM| 313x113x1 3. 同理 , |QF2| |QM| 3, |F2P| |F2Q| |PQ| 3 3 6. 因此 , PF2Q 的周长是定值 6. 20 . 设数列 是各项均为正数的等比数列,其前 项和为 ,若 , ( 1)求数列 的通项公式;( 2)对于正整数 ,求证: “ 且 ” 是 “ 这三项经适当排序后能构成等差数列 ” 成 立的充要条件; ( 3)设数列 满足:对任意的正整数 , 都有 , 且集合 中有且仅有 个元素,试求 的取值范围 【答案】( 1) 数列 是各项均为正数的等比数列, , ,又 , , ,( 2) (

14、i)必要性:设 这三项经适当排序后能构成等差数列, 若 ,则 , , , , 若 ,则 , ,左边为偶数,等式不成立, 9 若 ,同理也不成立, 综合 ,得 ,所以必要性成立 ( ii)充分性:设 , , 则 这三项为 ,即 ,调整顺序后易知 成等差数列,所以充分性也成立 综合( i)( ii),充要性得证 ( 3) 因为 , 即 , 当 时, , 则 式两边同乘以 ,得 ,得 ,即 , 又当 时, ,即 ,适合 , , , 时, ,即 ; 时, ,此时 单调递减, 又 , , , , (法二: 两边同除以 2n+1) II 卷 ( 本大题共 4 小题, 每题 10 分,共计 40 分请在 答 卷 指定 区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 21(B).已知矩阵 ,若 ,求矩阵 的特征值 【答案】因为 , 10 所以 解得 , 所以矩阵 的特征多项式为 令 , 解得矩阵 的特征值为 21(D). 在平面直角坐标系 中,已知直线 (为参数)与曲线 (为参数)相交于 , 两点,求线段 的长 【答案】方法一: 将曲线 (为参数)化为普通方程为 将直线 (为参数)代入 得, , 解得 , 则 所以线段

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