1、 1 江苏省启东 2017-2018 学年度第一学期第一次月考 高三数学试卷（理科） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在 答题卡相应位置上 1已知集合 ? ?13A x x? ? ? ?， ? ?2B x x?， 则 2命题“ 1x?， x2 3”的否定是 3设幂函数 ? ?f x kx?的图象经过点 ? ?4,2，则 ? 4计算121lg lg 25 10 04 ? ? ? 5已知 F 为双曲线 C ： 222 4 ( 0)x my m m? ? ?的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 . 6.已知,xy满足约束条件 0
2、,2,0,xyxyy?若z ax y?的最大值为 4，则 a 的值为 . 7 公差不为 0的等差数列 na的前 项和为 nS，若 2 5 14,a a a成等比数列，253Sa?，则 10a? 8将 1 个半径为 1的小铁球与 1 个底面周长为 2，高为 4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 9 若正实数 ,xy满足 2 2 1 0x xy? ? ?，则 xy?的最小值为 10. 设 ? 为锐角，若53)6cos( ?，则 sin 212? ?的值为 . 注意事项： 1本试卷共 4页，包括填空题（第 1题第 14题）、解答题（第 15题第 20题）两部分本试卷满分 160分，
3、考试时间 120分钟 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色字 迹的签字笔填写在试卷的指定位置 3答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效 4如有作图需要，可用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚 2 11. 如图所示的梯形 ABCD 中， ,2,234,/ MDAMCDADABCDAB ? ， 如果 ADABBMAC ? 则,3 = . 12. 已知函数 f(x) sin(x 6) cosx ( 0) 若函数 f(x)的图象关于直线 x 2对称，且在区间 4， 4上是单调函数，则 的取值集合为 . 13. 已知函数 f(
4、x)是 以 4为周期的函数，且当 1 x 3时， f(x) ?1 x2， 1 x 1，1 |x 2|， 1 x 3若函数 y f(x) m|x|恰有 10个不同零点，则实数 m的取值范围为 . 14.已知函数 f(x) xlnx ax在 (0， e)上是增函数，函数 g(x) |ex a| a22，当 x 0，ln3时，函数 g(x)的最大值 M与 最小值 m的差为 32，则 a的值为 . 二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 14 分） 设 ABC? 的内角 CBA , 所对的边分别为
5、 cba , ,若 )2cos(sin BA ? ? , 2,3 ? ca （ 1）求 ACAB? 的值；（ 2）求 )23tan( BC ? 的值为 . 16.（本小题满分 14分） 如图，在四棱柱 1111 DCBAABCD ?中， 已知平面 ?CCAA 11平面 ,ABCD 且 3? CABCAB , 1?CDAD. （ 1）求证： ;1AABD? （ 2）若 E为棱 BC的中点，求证： /AE平面 11DDCC. 17.（本小题满分 14分） 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别为 F1(-1， 0)， F2(1,0)，过 F1作与1A E C D
6、 B A 1D 1 第 16 题图 3 x轴不重合 的直线 l 交椭圆于 A,B两点 （ 1） 若 ABF2为正三角 形，求椭圆的标准方程； （ 2） 若椭圆的离心率满足2 150 ?e,O 为坐标原点，求证： AOB? 为钝角 . 18.（本小题满分 16分） 如图所示，某公路 AB 一侧有一块空地 OAB，其中 OA 3 km， OB 3 3 km， AOB90 当 地政府拟在中间开挖一个人工湖 OMN，其中 M， N 都在边 AB 上（ M， N 不与 A， B 重合， M在 A， N之间），且 MON 30 （ 1）若 M在距离 A点 2 km处，求点 M， N之间的距离 ； （ 2）
7、为节省投入资金，人工湖 OMN的面积要尽可能小 试确定 M的位置，使 OMN 的面积最小，并求出最小面积 19.（本小题满分 16分） 设 1a? ,函数 ? ? 2(1 ) xf x x e a? ? ?. （ 1）证明 ?xf在 ? ?0, 1a ? 上仅有一个零点； 4 （ 2）若曲线 ? ?xfy? 在点 P处的切线与 x轴平行 ,且在点 ),( nmM处 的切线与直线 OP平行 ,(O是坐标原点 ),证明 : 3 2 1mae? ? ?20.（本小题满分 16分） 设数列 na的前 项和为 nS，且满足 111 ()Nnn nSa ? ? ?， ?为常数 （ 1） 是否存在数列 na
8、，使得 0?？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由 （ 2）当 1?时，求证： 1111nnaa? （ 3）当12?时，求证：当 3n?时，80 3na? 江苏省启东中学 2017-2018学年度第一学期第一次月考 高三数学试题（附加题） 21.（本小题满分 10分，矩阵与变换） 设矩阵 12Mxy?， 2411N ?，若 025 13MN ?，求矩阵 M 的逆矩阵 1M? 22.（本小题满分 10分，坐标系与参数方程选讲） 在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 13?. 以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 C 的参数方程为 coss
9、inxryr? ?（ ? 为参数） . 若直线 l 与圆 C 相切，求 r 的值 . 5 23. （本题满分 10分） 从 4,3,2,1,0 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 Y 为所组成的三位数各位数字之和 .（ 1）求 Y 是奇数的概率；（ 2）求 Y 的概率分布和数学期望 . 24 （本题满分 10 分） 如图，在三棱锥 A BCD? 中，已知 ,ABD BCD?都是边长为 2 的等边三角形， E 为 BD 中点，且 AE? 平面 BCD ， F 为线段 AB 上一动点，记 BFBA? （ 1）当 13? 时，求异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值； （ 2）当 CF
10、与平面 ACD 所成角的正弦值为 1510 时，求 ? 的值 . EABDCF6 答案（理科） 1.? ?,3? 2. 1x?， 2 3x? 3.32 4. 20? 5. 2 6. 2 7 198 382 9 3 105023111.23 12.13， 56， 43 13.(16， 8 2 15) 14.52 15. .解 :1）在 ABC?中 , BBA s i n)2c o s (s i n ? ? , 由正弦定理 BbAa sinsin ?,得 ba BAba ? ,3 由余弦定理 ACAB?= 22 3322c o s 222222 ? abcAbc -7分 2） ? CBCBA 2?
11、 CBC ta n)23ta n ( ? ?972c o s 222 ? ab cbaC? 9 24c o s1s in 2 ? CC-10分 ?CCC cossintan724-14分 16.证明：在四边形 ABCD中，因为 BA BC?， DA DC?，所以 B AC?， 又平面 11AACC?平面 ，且平面 11AC平面 ABCD AC?， BD?平面 BCD，所以 BD平面 A C， 又因为 1AA?平面 11AACC，所以 1BD AA? 在三角形 ABC中，因为 AB AC?，且 E为 BC中点，所以 BCAE?， 又因为在四边形 ABCD中， 3AB BC CA? ? ?， 1D
12、A D?， 所以 60ACB? ? ?， 30ACD? ? ?，所以 BCDC?，所以 AEDC， 因为 DC?平面 11DDC， AE?平面 11DCC，所以 平面 11DCC 17.解：（） 因为 2ABF?为正三角形，所以 22AF BF? ?AB x?轴2122 ,2bAB F Fa?且有 1232 AB FF?，所以 23 2ba ?化为 23 2 3 0aa? ? ?解得 3a? 2b? 故椭圆的标准方程为22132xy? 6分 7 （）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 因为510 2e ?， 1c? ，所以152a ? 当直线 AB与 轴垂直时，
13、可证 tan AOB1 AOB? 为钝角 .? 8分 当直线 AB不与 x轴垂直时，设直线 AB的方程为： ( 1)y k x?，代入221xyab?， 整理得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b a k x k a x a k a b? ? ? ? ?， 2212 2 2 22akxx b a k? ? ，2 2 2 212 2 2 2a k a bxx b a k? ? 1 2 1 2OA OB x x y y? ? ? 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 )x x y y x x k x x? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 2(1 ) ( )
14、x x k k x x k? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 22 2 2( ) (1 ) 2 ( )a k a b k a k k b a kb a k? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 22 2 2()k a b a b a bb a k? ? ? ? 2 4 2 2 22 2 2( 3 1)k a a a bb a k? ? ? ? ? ? 12 分 令 42( ) 3 1m a a a? ? ? ?，可证 ( ) 0ma? ， AOB? 恒为钝角 .? 14 分 18.解： （ 1） 在 OAB中，因为 OA 3， OB 3 3， AOB 90 ，所
15、以 OAB 60 在 OAM中，由余弦定理得 OM2 AO2 AM2 2AO AM cosA 7， 所以 OM 7，所以 cos AOM OA2 OM2 AM22OA OM 2 77 ， 在 OAN中， sin ONA sin( A AON) sin( AOM 90 ) cos AOM 2 77 在 OMN中，由 MNsin30 OMsin ONA，得 MN 72 77 12 74 （ 2）解法 1：设 AM x， 0 x 3 在 OAM中，由余弦定理得 OM2 AO2 AM2 2AO AM cosA x2 3x 9， 所以 OM x2 3x 9，所以 cos AOM OA2 OM2 AM22
16、OA OM 6 x2 x2 3x 9， 在 OAN中， sin ONA sin( A AON) sin( AOM 90 ) cos AOM 6 x2 x2 3x 9 8 由 ONsin OAB OAsin ONA， 得 ON 36 x2 x2 3x 9 32 3 3 x2 3x 96 x 所以 S OMN 12OM ON sin MON 12 x2 3x 9 3 3 x2 3x 96 x 12 3 3(x2 3x 9)4(6 x) ， 0 x 3 令 6 x t，则 x 6 t， 3 t 6，则 S OMN 3 3(t2 9t 27)4t 3 34 (t 927t) 3 34 (2 t 27t
17、 9) 27(2 3) 4 当且仅当 t 27t，即 t 3 3， x 6 3 3时等号成立 ， S OMN的最小值为 27(2 3) 4 所以 M的位置为距离 A点 6 3 3 km处 ，可使 OMN的面积最小，最小面积是 27(2 3)4 km2 解法 2：设 AOM ， 0 ?3 在 OAM中，由 OMsin OAB OAsin OMA， 得 OM 3 32sin( ?3) 在 OAN中，由 ONsin OAB OAsin ONA， 得 ON 3 32sin( ?2) 3 32cos 所以 S OMN 12OM ON sin MON 12 3 32sin( ?3) 3 32cos 12 2
