1、 1 江苏省启东 2017-2018 学年度第一学期第一次月考 高三数学试卷（文科） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在 答题卡相应位置上 1已知集合 ? ?13A x x? ? ? ? ， ? ?2B x x?， 则 2命题“ 1x?， x2 3”的否定是 3设幂函数 ? ?f x kx? ? 的图象经过点 ? ?4,2 ，则 k? 4计算 121lg lg 2 5 1 0 04 ? ? ? 5 若 ? ? ? ?1233 , 2 ,lo g 1 , 2 .xexfxxx? ? ? 则 ? ? ?2ff 的值为 6.已知,xy满足约束
2、条件 0,2,0,xyxyy?若z ax y?的最大值为 4，则 a 的值为 . 7 公差不为 0 的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 5 14,a a a 成等比数列， 253Sa? ，则 10a? 8 在平面直角坐标系 xOy中， P是曲线 C： y ex上一点，直线 l： x 2y c 0经过点 P，且与曲线 C在 P点处的切线垂直，则实数 c的值为 9 若正实数 ,xy满足 2 2 1 0x xy? ? ? ，则 2xy? 的最小值为 10. 设 ? 为锐角，若53)6cos( ?，则 sin 212? ?的值为 . 11. 如图所示的梯形 ABCD 中， ,2,234
3、,/ MDAMCDADABCDAB ? ， 注意事项： 1本试卷共 4页，包括填空题（第 1题第 14题）、解答题（第 15题第 20题）两部分本试卷满分 160分，考试时间 120分钟 2答题前，请您 务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置 3答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效 4如有作图需要，可用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚 2 如果 ADABBMAC ? 则,3 = . 12. 已知函数 f(x) sin(x 6) cosx ( 0) 若函数 f(x)的图象关于直 线 x 2对称，且在
4、区间 4， 4上是单调函数，则 的取值集合为 . 13. 已知函数 f(x)是 以 4为周期的函数，且当 1 x 3时， f(x) ?1 x2， 1 x 1，1 |x 2|， 1 x 3若函数 y f(x) m|x|恰有 10个不同零点，则实数 m的取值范围为 . 14. 已知函数 f(x) xlnx ax 在 (0， e)上是增函数，函数 g(x) |ex a| a22， 当 x 0，ln3时，函数 g(x)的最大值 M与最小值 m的差为 32，则 a的值为 . 二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15
5、.（本小题满分 14 分） 设 ABC? 的内角 CBA , 所对的边分别为 cba , ,若 )2cos(sin BA ? ? , 2,3 ? ca （ 1）求 ACAB? 的值；（ 2）求 )23tan( BC ? 的值为 . 16.（本小题满分 14分） 设 p ：实数 x 满足 224 3 0x ax a? ? ?，其中 0a? ； q ：实数 x 满足 3 02xx? ? . （ 1）若 1a? ，且 pq? 为真，求实数 x 的取值范围； （ 2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 . 17.（本小题满分 14分） 小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车，第
6、一年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第3 二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元 .小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售，其销售收入为 x?25 万元（国家规定大货车的报废年限为 10年） . （ 1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （ 2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润 =累积收入 +销售收入 -总支出） 18.（本小题满分 16分） 如图所示，某公路 AB 一侧有一块空地 OAB，其中 OA 3 km， OB 3 3 km， AOB90
7、当地政府拟在中间开挖一个人工湖 OMN，其中 M， N 都在边 AB 上（ M， N 不与 A， B重合， M在 A， N之间），且 MON 30 （ 1）若 M在距离 A点 2 km处，求点 M， N之间的距离 ； （ 2）为节省投入资金，人工湖 OMN 的面积要尽可能小 试确定 M 的位置，使 OMN的面积最小，并求出最小面积 4 19.（本小题满分 16分） 设 1a? ,函数 ? ? 2(1 ) xf x x e a? ? ?. （ 1）证明 ?xf 在 ? ?0, 1a ? 上仅有一个零点； （ 2）若曲线 ? ?xfy? 在点 P 处的切线与 x 轴平行 ,且在点 ),( nmM
8、处的切线与直线 OP平行 ,(O是坐标原点 ),证明 : 3 2 1mae? ? ?20.（本小题满分 16分） 设数列 na的前 项和为 nS，且满足 111 ()Nnn nSa ? ? ?， ?为常数 （ 1） 是否存在数列 na，使得 0?？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由 （ 2）当 1?时，求证： 1111nnaa? （ 3）当12?时，求证：当 3n?时，80 3na? 5 答案（文科） 1.? ?,3? 2. 1x?， 2 3x? 3.32 4. 20? 5.3 6. 2 7 198 4 ln2. 9 3 105023111.23 12.13， 56， 43 1
9、3.(16， 8 2 15) 14.52 15. .解 :1）在 ABC?中 , BBA s i n)2c o s (s i n ? ? , 由正弦定理 BbAa sinsin ?,得 ba BAba ? ,3 由余弦定理 ACAB?= 22 3322c o s 222222 ? abcAbc -7分 2） ? CBCBA 2? CBC ta n)23ta n ( ? ?972c o s 222 ? ab cbaC? 9 24c o s1s in 2 ? CC-10分 ?CCC cossintan724-14分 16.解：（ 1）由 224 3 0x ax a? ? ?，得 ? ? ?30x
10、a x a? ? ?，又 0?，所以 3x a?， 当 1a?时， 13x?，即p为真时实数 的取值范围是 13x?. q为真时3 02xx? ?等价于 ? ? ?2 3 0xx? ? ?，得 23x， 即 为真时实数 的取值范围是 x?. 若 pq?为真，则实数 x的取值范围是 x. （ 2）p是q的必要不充分条件，等价于 qp?且 pq?， 设 ? ?3A x a x a? ? ?， ? ?23B x x? ? ?，则 BA； 则0 2 ,3 3 ,2 3 3aaaa? 与 不 同 时 取 等 号，所以实数 的取值范 围是 12a?. 17.解：（ 1）设大货车到第 x年年底的运输累计收入
11、与总支出的差为y万元， 6 则 ),100(,50)1(625 Nxxxxxxy ? ， 即 ),100(,50202 Nxxxxy ? ， 由 050202 ? xx ，解得 25102510 ? x， 而 325102 ?，故从第三年开始运输累计收入超过总支出 . （ 2）因为利润 =累积收入 +销售收入 -总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为 )25(19)2519(1)25(1 2 xxxxxxyxy ? ， 而 925219)25(19 ? xxxx，当且仅当 5?x时等号成立。 答：第 5年底出售货车，年平均利润最大 . 18.解： （ 1） 在 OAB中，因为 OA
12、3， OB 3 3， AOB 90 ，所以 OAB 60 在 OAM中，由余弦定理得 OM2 AO2 AM2 2AO AM cosA 7， 所以 OM 7，所以 cos AOM OA2 OM2 AM22OA OM 2 77 ， 在 OAN中， sin ONA sin( A AON) sin( AOM 90 ) cos AOM 2 77 在 OMN中，由 MNsin30 OMsin ONA，得 MN 72 77 12 74 （ 2）解法 1：设 AM x， 0 x 3 在 OAM中，由余弦定理得 OM2 AO2 AM2 2AO AM cosA x2 3x 9， 所以 OM x2 3x 9，所以
13、cos AOM OA2 OM2 AM22OA OM 6 x2 x2 3x 9， 在 OAN中， sin ONA sin( A AON) sin( AOM 90 ) cos AOM 6 x2 x2 3x 9 由 ONsin OAB OAsin ONA， 得 ON 36 x2 x2 3x 9 32 3 3 x2 3x 96 x 所以 S OMN 12OM ON sin MON 12 x2 3x 9 3 3 x2 3x 96 x 12 3 3(x2 3x 9)4(6 x) ， 0 x 3 令 6 x t，则 x 6 t， 3 t 6，则 S OMN 3 3(t2 9t 27)4t 3 34 (t 9
14、27t) 7 3 34 (2 t 27t 9) 27(2 3) 4 当且仅当 t 27t，即 t 3 3， x 6 3 3时等号成立 ， S OMN的最小值为 27(2 3) 4 所以 M的位置为距离 A点 6 3 3 km处 ，可使 OMN的面积最小，最小面积是 27(2 3)4 km2 解法 2：设 AOM ， 0 ?3 在 OAM中，由 OMsin OAB OAsin OMA， 得 OM 3 32sin( ?3) 在 OAN中，由 ONsin OAB OAsin ONA， 得 ON 3 32sin( ?2) 3 32cos 所以 S OMN 12OM ON sin MON 12 3 32
15、sin( ?3) 3 32cos 12 2716sin( ?3)cos 278sin cos 8 3cos2 274sin2 4 3cos2 4 3 274sin2 4 3cos2 4 3 278sin(2 ?3) 4 3， 0 ?3 当 2 ?3 ?2，即 ?12时， S OMN的最小值为 27(2 3) 4 所以应设计 AOM ?12，可使 OMN的面积最小，最小面积是 27(2 3) 4 km2 19.解：（ 1） f（ x） =ex（ x2+2x+1） =ex（ x+1） 2 f （ x） 0 ， -2分 f（ x） =（ 1+x2） ex a在（ ， +）上为增函数 a 1 1 a
16、0又 f（ 0） =1 a， f（ 0） 0 ? ?)1(1 11 ? ? aa eaaaeaf 1011 ? ?aea? ? ? 01 ? af， ? ? ? ? 010 ? aff ? ?1,00 ? ax使得 ? ? 00 ?xf f（ x）在（ ， +）上有且只有一个零点 -7分 （ 2）证明： f（ x） =ex（ x+1） 2， 设点 P（ x0， y0）则） f（ x） =ex0（ x0+1） 2， y=f（ x）在点 P处的切线与 x轴平行， f（ x0） =0，即： ex0（ x0+1） 2=0， 8 x0= 1-9分 将 x0= 1代入 y=f（ x）得 y0= ， -11 分 令； g（ m） =em（ m+1） g（ m） =em（ m+1）， 则 g（ m）
