1、 - 1 - 高三第四次月考数学（理）考试试卷 一选择题（每题只有一个正确的选项，每个选项 5分，共 60分） 1设全集 ? ?0,1,2,3,4U ? ，集合 ? ?1,2,3A? ， ? ?2,4B? ，则 ? ?UA C B?（ ） A. ?13， B. ? ?01,3， C. ? ?12,3， D. ? ?0,1,2,3 2 设 ，则 （ ） A. 2i B. 2 C. 0 D. 1+i 3 “ 2a? ” 是 “ 函数 ? ? 2 22f x x ax? ? ?在区间 ? ?,2? 内单调递减 ” 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充
2、分也不必要条件 4已知向量 ? ? ? ?2,1 , 1,1mn? ? ?.若 ? ? ? ?2m n am n? ? ?,则实数 a? （ ） A. 57? B. 12? C. 57 D. 12 5在 ABC? 中，若 60A?， 23a? ，则 sinCc ? （ ） A. 1 B. 33C. 312D. 14 6在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，已知 1AB? ， 1AD? ， 1 2AA? ， 若长方体的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A. 323 B. 4 C. 2 D. 43 7已知 121, , ,4aa 成等差数列， 1 2 31, , , ,
3、4b b b 成等比数列， 122aab? 则的值是（ ） A. 52 B. 52? C. 52 或 52? D. 12 - 2 - 8函数 f(x) 3x 12 x 2的零点 所在的一个区间是 ( ) A. ( 2， 1) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (1,2) 9已知函数 ? ? sin 2 3f x x ?，为得到函数 ? ? cos 2 6g x x ?的图象，可以将 ?fx的图象（ ） A. 向左平移 6? 个单位长度 B. 向左平移 12? 个单位长度 C. 向右平移 6? 个单位长度 D. 向右平移 12? 个单位长度 10若 l 、 n是互不相同的空间直线， 、
4、 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若 / / , ,ln? ? ? ?，则 /ln B. 若 ,l? ? ?，则 l ? C. 若 / , ,l ? ? ? 则 l ? D. 若 , /ll? ，则 ? 11已知正实数 a， b满足 ，则 的最小值（ ） A. 1 B. C. D. - 3 - 12如下图在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 2BAC?， 1 1AB AC AA? ? ?，已知 G 与 E分别为 11AB 和 1CC 的中点， D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点），若GD EF? ，则线段 DF 长度的取值范围为（ ） .
5、 A. 1,15?B. 3 2 5,42?C. 1 ,25?D. 2, 3? 二、填空题（每题 5分，共 20分） 13 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面积为 14. ,AB均为锐角， ? ? 2 4 3c o s , s in2 5 3 5A B B ? ? ? ? ?，则 cos 3A ?=_. 15已知实数 满足不等式组 若 的最大值为 1，则正数 的值为 16. 设向量 ,abc 满足 2ab?, 2ab? ? ， ? ?, 60a c b c? ? ? ?，则 c 的最大值等于 3 解答题（共 70分） 17
6、.（ 10 分）已知数列 是公比为 2的等比数列，且 成等差数列 求数列 的通项公式； 记 ，求数列 的前 n项和 - 4 - 18.（ 12 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 求 B； 若 ，求 的面积 19.（ 12 分）已知数列 的前 n项和为 ，且 ， 求数列 的通 项公式； 若 ，设数列 的前 n项和为 ，证明 - 5 - 20.（ 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD是矩形， 平面以 BD的中点 O为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M 求证： 平面 ABM； 求直线 PC与平面 ABM 所成的角的正切 21.（ 12 分）如图，在直三棱柱 中， 是BC中点
7、 求证： 平面 ； 在棱 上存在一点 M，满足 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 22.（ 12 分）设函数 求函数 的单调区间； 记过函数 两个极值点 的直线 的斜率为 ，问函数是否存在零点，请说明理由 - 6 - - 7 - 高三第四次月考数学（理）考试试卷答案 1 选择题：（每题 5分共 60分） 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.A 8.C 9.A 10.D 11.C 12.A 二：填空题：（每题 5 分共 20 分） 13.82 14.117125 15.4 16.4 三：解答题： 17. （ 10分） 解：（ ）由题意可得 2（ a3+1） =a2+a4，
8、即 2（ 2a2+1） =a2+4a2，解得： a2=2 a1= =1 数列 an的通项公式为 an=2n-1 （ ） bn=an+log2an+1=2n-1+n， Tn=b1+b2+b3+?+bn= （ 1+2+3+?+n ） +（ 20+21+22+?+2n -1） = = 18. （ 12分） 解：（ 1）根据题意， atanB=2bsinA?a =2bsinA?asinB=2bsinAcosB， 由正弦定理可得 sinAsinB=2sinBsinAcosB， 变形可得 2cosB=1，即 cosB= ， 又由 0 B ， 故 B= ， （ 2）由（ 1）可得： B= ， - 8 - 则
9、 C= - - = ， 由正弦定理 = ，可得 c= sinC= ， SABC= bcsinA= = 19.（ 12分） 解：（ 1）当 n=1时 ，得 a1=1， 当 n2 时， 得 an=3an-1， 所以 ， （ 2）由（ 1）得： ， 又 得 两式相减得： ， 故 ， 所以 Tn= - 20.(12 分） 证明：依题设， M在以 BD为直径的球面上，则 BMPD 因为 PA 平面 ABCD， 则 PAAB ，又 AB AD， ADPA=A ， 所以 AB 平面 PAD， 则 ABPD ， ABBM=B ， 因此有 PD 平面 ABM （ 2）解：设平面 ABM与 PC 交于点 N， 因
10、为 ABCD ，所以 AB 平面 PCD， 则 ABMNCD ， 由（ 1）知， PD 平面 ABM，则 MN 是 PN在平面 ABM上的射影， 所以 PNM 就是 PC与平面 ABM所成的角， - 9 - 且 PNM=PCD ， tan 故直线 PC与平面 ABM所成的角的正切值为 2 21. (12分） 证明：（ 1）连结 A1C交 AC1于点 O，连结 EO， ACC 1A1是正方 形， O 为 A1C的中点， 又 E为 CB的中点， EOA 1B， EO ?平面 AEC1， A1B?平面 AEC1， A 1B 平面 AEC1 解：（ 2）以 A为原点， AB 为 x轴， AC为 y轴，
11、 AA1为 z轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， B1（ 2， 0， 2）， C（ 0， 2， 0）， C1（ 0， 2， 2）， E（ 1， 1，0）， 设 M（ 0， 0， m），（ 0m2 ），则 =（ -2， 0， m-2）， =（ 1， -1， -2）， B 1MC 1E， =-2-2（ m-2） =0，解得 m=1， M （ 0， 0， 1）， =（ 1， 1， -1）， =（ 0， 2， 1）， 设平面 MEC1的法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=-1，得 =（ 3， -1， 2）， AC 平面 ABB1A1， 取平面
12、ABB1A1的法向量为 =（ 0， 2， 0）， - 10 - cos = =- ， 平面 MEC1与平面 ABB1A1所成锐二面角的余弦值为 22.(12 分） 解：（ ） ， x 0，求导， 令 y=0 ，解得： x= ，或 x=2， 当 y 0，解得： 0 x ，或 x 2，当 y 0，解得： x 2， ? （ 3分） 函数 y=2f（ x） -5g（ x）在 上递增，在 上递减，在（ 2， + ）上递增 ? （ 5分） （ ） ， ， 设 p（ x） =x2-mx+1，设两个极值点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， ? （ 6分） 函数有两个大于零极值点， =m 2-4 0，得 m 2且 x1+x2=m， x1x2=1， AB斜率 = ? （ 8分） ， 由题意函数存在零点即 有解，两根均为正且 x1x2=1， ? （ 9分） 若 x1 x2，则 0 x1 1， x2 1，消元得 整理得 令 ，则 ， q （ x）在区间（ 1， + ）上单调递增， q （ x） q（ 1） =0， 函数 y=h（ m） +2m-2 没有零点 ? （ 12 分）
