1、 1 2017 2018 学年第一学期高三年级第一次段考 数学试卷（文） （考试时间： 120分钟 试卷分值： 150分） 一选择题（ 本大题共有 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1. 已知集合 ? ? ? ?22lo g 2 , 0M x x N x x? ? ? ? ? ?，则 MN?I （ ） A. (-? ， 3) B. (-3， +? ) C. (-3， 3) D. (0， 3) 2. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 (3 4)z i i?，则复平面内表示 z 的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四
2、象限 3. 已知向量 ,abrr均为非零向量 ，则“ abrr与 的夹角为钝角 ”是 “ 0ab?rr ”的（ ）条件 A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要 4. 计算 s in 4 5 c o s 1 5 c o s 2 2 5 c o s 7 5? ? ? ?（ ） A 12? B 12 C 32? D 32 5. 执行程序框图 （如右） ，若输入的 a 为 2，则输出的结果为 （ ） A 90 B 110 C 132 D 156 6. 已知不等式 1xe ax?对任 意正实数 x 均成立 ， 则实数 a 的取值范围为（ ） A ? ?,1? B ( ,1)? C ? ?
3、,e? D ( , )e? 7. 若实数 ,xy满足条件 ， 则 2yx? 的最小值为 （ ） A 10? B 9? C 4? D 32? 43xyxxy?2 8. 为了得到函数 2 cos 2 6yx?（ ）的图象，只需将函数 4sin cosy x x? 图象上所有的点（ ） A. 向左平移 12? 个单位长度 B. 向右平移 12? 个单位长度 C. 向左平移 6? 个单位长度 D. 向右平移 6? 个单位长度 9.两个正数 ,mn的等差中项是 2，等比 中项是 3 ，则双曲线 221xymn?的离心率是（ ） A. 3 B. 10 C. 1033或D. 1010 3或 10.已知偶函数
4、 ()fx对任意实数 x 都有 ( +4 ) ( ) 2 (2)f x f x f?，则 (2018)f =（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 11.已知函数 2( ) = ( ) 4 ( )xxf x x a e e a R? ? ? ?有且仅有一个零点 ， 则实数 a =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12.数列 ?na 的通项公式为 ()na k n k R? ? ? ,数列 ?nb 的通项公式为 32nnb ? ，已知数列?nc 满足 ： 且 *6 ( , 6)nc c n N n? ? ?， 则实数 k 的取值范围为（ ） A. (9, 23) B. (10,15 C.
5、(10, 15) D. (9,15) 二填空题（本大题共有 4小题，每小题 5分，共 20 分。） 13. 函数 ( ) 2 sin 3f x x?的定义域为 _ _ _ 14. 已知向量? ?4,2 5a=r，2b=r，且=ab?rr， 则实数 ?_ _ _ ,n n nn n n na a bc b a b? ? ?3 15. 已知 直线 l ： ( 4)y k x?与曲线 2: 4 0C x y? ? ?有且仅有两个交点 ， 则实数 k 的取得范围是 _ 16. 已知三棱锥 P-ABC，在底面 ? ABC中， 60A? ， BC= 3 ， PA? 平面 ABC,PA=2，则此三棱锥的外接
6、球的体积为 _. 三解答题（ 本大题共 6小题，共 70分 。 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 。） 17 （ 本小题满分 10分 ） 在 ABC 中，角 C 大于角 A， cos(C-A)=0， sinB=31 . （ 1） 求 sinA的值； （ 2） 设 AC= 3 ，求 ABC 的面积 . 18.（本小题满分 12分） 已知数列 ?na 满足 ： 11 2 34 7 2 2nna + a + a + + (3 n -2 )a ?LL. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 2nnb =(9n -4)a ， 求数列 ?nb 的前 n 项和 nS . 19. （本小
7、题满分 12 分） 合肥市某高中 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成 7组： 20,30）， 30,40）， ，80,90，并整理得到如下频率分布直方图： 4 （ 1）从总体的 400名学生中随机抽取 一人，估计其分数小于 60 的概率； （ 2）已知样本中分数小于 40的学生有 5人，试估计总体中分数在区间 40,50）内的人数； （ 3）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估 计总体中男生和女生人数的比例 20. （本小题满分 12 分） 如图，四面体
8、ABCD 中 ， ABC 是正三角形， 1AD CD?. （ 1）证明： AC BD? ； （ 2）若 ACD 为直角三角形且 2BD? ，当点 E 为 BD 边的三等分点 （靠近 B 点 ）时，求三棱锥 D ACE? 的体积 . 21. （本小题满分 12 分） BECAD5 椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的一个顶点与抛物线 2 4xy? 的焦点重合，点 13,2?在 C 上 . （ 1）求 C的方程； （ 2）直线 l不经过原点 O， 且不平行于坐标轴 ， l与 C有两个交点 A、 B，设 线段 AB 的中点为 M， 证明：直线 OM的斜率与直线 l的斜率乘积为
9、定值 . 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 （ 1） 求函数的极值点； （ 2） 当 3a? 时， 2( ) ( ) 1 0g x f x x x? ? ?， 已知 12( ) g( ) 0g x x?， 求证 ：1226xx? ? ? . 合肥六中 2017 2018学年第一学期高三年级第一次段考 数学试卷（文）答案 一 选择题 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B D B A B C D D B C 2( ) 4 ln ( 0 )2xf x x a x a? ? ? ?6 二填空题 . 13. 2 2 , 2 ,33k k k Z? ? ? 14.
10、 3? 15. 3 1 1 3( , , )3 2 2 3? 16.823? 三解答题 . 17. 解： （）由题意知 : 0 CA? ? ? ,? 2CA?， 2CA?,由 A+B+C=? , 2 2AB? ? ? 。 1c o s 2 c o s ( ) s in23A B B? ? ? ?， 2 11 2sin 3A?，又 sin 0A? ， 3sin 3A? （）由正弦定理得 sin sinAC BCBA? ，得 3BC? 由 6s in s in ( ) c o s23C A A? ? ? ?,所以 1 1 6 3 2s in 3 32 2 3 2ABCS a b C? ? ? ?
11、? ? ?. 18.（ 1）当 1n? 时， 1 2a? ； 当 2n? 时，由题给等式可得 1 2 3 n 14 7 2 2na + a + a + + (3 n -5 )a ? ?LL，两式作差得 nn(3n-2)a=2 ，因为 1 2a? 满足上式 所以 232nna n? ?。 （ 2） 3 2 2nnbn? ? ?（ ） 。错位相减法可得 13 1 2 2nnSn ? ? ? ?（ ） . 7 19. （ 1）由图可知，样本中分数不小于 60 的频率为 (0 .0 2 2 0 .0 4 ) 1 0 0 .8? ? ? ?，所以样本中分数小于 60的频率为 1 0.8 0.2?. 所以
12、从总体的 400名学生中随机抽取一人，其分数小于 60 的概率估计为 0.2. （ 2）由题意可知，样本中分数不小于 70的学生人数为 (0 .0 2 0 .0 4 ) 1 0 1 0 0 6 0? ? ? ?， 所以样本中分数不小于 70的男生人数为 160 302? . 所以样本中的男生人数为 30 2 60? ，女生人数为 100 60 40?，男生和女生人数的比例为 60:40 3:2? . 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 3:2 . 20.（ 1）取 AC的中点为 F，连接 DF， BF，因为 AD=CD, ABCV 是正三角形，所以 DF? AC,BF? A
13、C,又 BF 与 DF 相交于 F。 ?AC? 平面 BDF 又 BD? 平面 BDF ? AC? BD。 （ 2） 6218D AC E A D EFVV?21. 解：（ 1） 2 2 14x y?. （ 2）设直线 ? ?: 0, 0l y kx b k b? ? ? ?, ? ? ? ? ? ?1 1 2 2, , , , ,MMA x y B x y M x y,把 kx b?F8 代入 2 2 14x y?得 ? ?2 2 24 1 8 4 4 0 .k x k b x b? ? ? ? ? 由题意知 0? ，所以12 28x 41kbx k? ? ? ?。 故 12224 ,2 4
14、 1 4 1M M Mxx k b bx y k x bkk? ? ? ? ? ?于是直线 OM的斜率 1 ,4MOMMyk xk? ? ? 即 14OMkk? ? ,所以直线 OM 的斜率与直线 l的斜率乘积为定值 . （也可以用点差法） 22.（ 1）解：定义域为： 0+?（ ， ） 2 4() x x afx x? ? 当 =16-4a 0 a 4?V 即 时， ( ) 0fx? ? ，函数 ( ) (0, )fx ?在 单调递增，无极值点； 当 = 1 6 -4 a 0 a 4 a 0V 即 0 或时，令 ( ) 0f x= 得 1 2 4 , 2 4x a x a? ? ? ? ?
15、， 当 04a?时 ， 2 4 2 4 0aa? ? ? ? ? 列表： x (0, 2 4 )a?-24a?-(2 4 , 2 4 )aa?- 24a?(2 4 , )a? ?()fx?+ 0 - 0 + ()fx极大值 极小值 当 0a? 时 ， 2 4 0 , 2 4 0aa? ? ? ? ? 列表： x (0, 2 4 )a? 24a? (2 4 , )a? ? ()fx? - 0 ? ()fx 极 小 值 9 ； 综上：当 4a? 时，函数无极值点； 当 04a?时 ，函数有极大值点 24a?- ，极小值点 24a? ； 当 0a? 时，函数有极 小 值点 24a? ，无极 大 值点
16、 . （ 2）证明： 221 2 1 1 1 2 2 233( ) g ( ) 6 3 l n 6 3 l n 022g x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?整理得： 21 2 1 2 1 2 1 21 ( ) 2 ( ) ln2 x x x x x x x x? ? ? ? ? ?令 12 , ( ) ln ( 0 )t x x h t t t t? ? ? ? 1() tht t? ? ，易得 ()ht ?在 (0,1) 单 增 ， 在 ( 1 , + ) 单 减，故 ( ) (1) 1h t h? ? 于是 21 2 1 21 ( ) 2 ( ) 12 x x x x? ? ? ? ? ?解得： 1 2 1 22 6 2 6x x + x x? ? ? ? ?或 （ 舍 ），故 1226x x +? .
