1、 - 1 - 2017 2018学年上学期第二次月考 高三数学（理）试题 (满分 150分 , 考试时间 120分钟 ) 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .） 1.已知集合 2 0 log 2A x x? ? ?， 3 2, xB y y x? ? ? ? R，则 AB等于（ ） A 1 2xx? B 1 4xx? C 2 4xx? D 4xx? 2.设 i是虚数单位，复数 iia?1 （ a R）的实部与虚部相等，则 a =（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 4. 已知 ? ? ? ?3, 2 , 1, 0 ,ab? ? ? ?向量 ab? 向量 2ab? 垂直
2、，实数 ? 的值为（ ） A. 17? B. 17 C. 16? D. 16 5对一切实数 x ，不等式 2 10x a x? ? ? 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A ? ?,2? B ? ?2,? ? C ? ?2,2? D ? ?0,? 5函数sin 4 3yx?的图象的一条对称轴方程是（ ） A1124?B8x ?C4xD24x ?6.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如 右 图所示，则该“堑堵 ”的表面积为 （ ） A 4 B 246? C.4 4 2? D 2 7.已知等比数列 ?na 的前 项积为 nT ，若 2loglog
3、7232 ? aa ，则 9T 的值为（ ） A1024?B 1024 C512?D 512 8. 已知函数 )(),( xhxg 都是 R 上的奇函数， 2)()()( ? xbhxagxf ，且 )( xf 在 ? ?0,? 上最大值为 8，则 ()fx在 ? ?,0? 上的最小值是 （ ） .A? 8? .B? 6? .C? 4? .D? 6 - 2 - 9.已知3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 26 12 201 + 2 =( ) 1 + 2 +3 =( ) 1 + 2 +3 +4 =( )2 2 2， ， ， ，若3 3 3 3 31 + 2 +3 +4 + + =3 02
4、5n，则n?（ ） A8B 9C10D 11 10.在 ABC? 中，“ AB? ” 是 “ cos2 cos2AB? ” 的（ ） A 充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D即不充分又不必要条件 11.数列 ?na 满足1 2 s in 1 22nnna a n? ? ? ?，则数列 ?na 的前 100项和为（ ） A 5050 B 5100 C.9800 D 9850 12.若函数( ) (si n c os )xf x e x a x?在( , )42?上单调递增，则实数 的取值范围 是（ ） A( ,1?B( ,1)?C )?D( )?二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每
5、小题 5分 ,共 20分 ). 13.设 xy， 满足约束条件 802020xyxyx? ? ? ? ?，则 2z x y?的最小值为 _. 14.设命题p：函数2( ) lg( 2 1)f x ax x? ? ?的定义域为 R；命题q：当1 22x? ，时，xa?恒成立，如果命题“ p q”为真命题，则实数a的取值范围是 15.设20lg , 0,(), 0 .axxfxx t dt x? ? ?若 (1) 9ff? ，则 a? 16“中国剩余定理”又称“孙子定理” 1852年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲 1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801
6、 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2017 这 2016 个数中能被 3 除余 1且被 5除余 1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列?na，则此数列的项数为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，已知s i n ( t a n t a n ) t a n t a nB A C A C?. ( )求证： ,abc成等比数列； ( )若 1, 2ac
7、?，求 ABC 的面积 S. - 3 - 18.（本小题满分 12分） 已知数列?na满足1 1?，1 2nnnaa? ?，*nN? （ 1）若函数( ) si n( 2 )f x A x ?（0A?，0 ?）在6x ?处取得最大值4 1a?， 求函数()fx在区间,12 2?上的值域 ； （ 2）求数列?na的通项公式 19 （本小题满分 12分） 已知函数 f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-bx， （ b为常数）。 （ 1）函数 f(x)的图象在点 (1,f(1)处的切线与函数 g(x)的图象相切，求实数 b的值； （ 2）若函数 h(x)=f(x)+g(x)在定义域上不单调，求实数
8、 b的取值范围； 20 （本小题满分 12分） 已知等差数列?na的公差0d?，且1 6 3 411 , 12a a a a? ? ? ? （ 1）求数列?na的通项公式； （ 2）求数列1 122n? ?的前 项和nT 21.（本小题满分 12分） 已知2() xf x e ax?，()gx是fx的导函数 （）求()gx的极值； （）若( ) (1 ) xf x x x e? ? ? ?在0x?时恒成立，求实数a的取值范围 （本小题满分 10 分）请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题- 4 - 记分 . 22.在直 角坐标系xOy中， 已知 直 线 l1：x
9、y ? ?tan（?0，2?），抛物线 C：? ? ty tx 2（ t为参数） 以 原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ） 求直线 l1 和抛物 线 C的极坐标方程 ； （ ）若 直线 l1 和抛物 线 C相交于点 A（异于原点 O），过原点作与 l1垂直的直线 l2， l2和抛物 线 C相交于点 B（异于原点 O），求 OAB的面积的最小值 23.(本小题满分 10分 )选修 4?5：不等式选讲 已知函数? ? 21f x x? （ ）求不等式? ? 1fx?的解集 A； （ ）当,mn A?时，证明：1m n mn? ? ? 龙海二中 2017 2018学年上学期第二次月
10、考 高三数学（理）参考 答案 一、选择题。 (本题 12 小题，每小题 5分，共 60分，每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答卷中 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B D B D C C A B A 二、填空题 ： (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .) 13. -2 ； 14. (12)，； 15.3； 16.134 三、解答题： (本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17 解： (I)由已知得： s in ( s in c o s c o s s in ) s in s inB
11、 A C A C A C?， ? 2分 sin sin ( ) sin sinB A C A C?， ? 3分 2sin sin sinB A C? ， ? 4分 再由正弦定理可得： 2b ac? ， ? 5分 所以 ,abc成等比数列 .? 6分 (II)若 1, 2ac?，则 2 2b ac?， ? 7 分 - 5 - 2 2 2 3cos24a c bB ac?， ? 9分 2 7sin 1 cos 4CC? ? ?， ? 10 分 ABC 的面积 1 1 7 7s in 1 22 2 4 4S a c B? ? ? ? ? ?.? 12 分 18.解：（ 1）1 2nnnaa? ?，
12、则1122n?， ? 1分 2 2nna? ?， ? 2分 ? 3分 又6x ?时，( ) 5fx?，sin( ) 13? ?， 且0 ?， 解得6?， ? 4分 ( ) 5 si n( 2 )6f x x ?， 而,12 2?， 故70,66x ?，从而1si n( 2 ) ,162x ? ? ? ?， ? 5分 综上知5( ) ,52? ? 6分 （ 2）由（ 1）得：1 1a?，2 2?，1 2nnaa?， 当n为奇数时 ，11221 22nnnaa ? ? ?； ? 8分 当 为偶数时 ，22 ? ? 10分 数列?na的通项公式为1222,2,nn nnan? ?为 奇 数 ，为 偶
13、 数 .? 12分 19.（ 1）因为 ? ? lnf x x? ，所以 ? ? 1fxx? ，因此 ? 1 1f ? ， 所以函数 ?fx的图象在点 ? ?1, 1f 处的切线方程为 1yx?， ? 3分 - 6 - 由21, 1,2yxy x bx?得 ? ?2 2 1 2 0x b x? ? ? ?. 由 ? ?24 1 8 0b? ? ? ? ?，得 12b? .（还可以通过导数来求） ? 5分 （ 2）因为 h(x)=f(x)+g(x)=lnx+0.5x2-bx(x0) ， 所以 ? ? 211 x b xh x x bxx? ? ? ?若函数在定义域内不单调，则可知 ? ?0hx?
14、 在 ? ?0,? 上有解， ? 8分 因为 0x? ，设 ? ? 2 1u x x bx? ? ?，因为 ? ?0 1 0u ? ， 则只要20, 24 0,bb?解得 2b? ， 所以的取值范围是 ? ?2,? .? ? 12分 20解析： （ 1）因为1 6 3 4 12a a a a? ? ? ?， 所以16,aa是方程2 12 11 0? ? ?两根，且aa?， 解得1, 11?， （ 2分） 所以615 10a a d? ? ?，即d?， （ 4分） 所以21nan? (5 分 ) （ 2）（方法一）因为1122 2 2n n n nn n na a? ?， (7分 ) 所以3 1
15、 12 1 2 12 1 3 2 1 1 1 12 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n nn n n n na a a aa a a a nT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (12分 ) （方法二）因为1 12 1 2 32 2 2nn n? ? ? ? ?， 所以231 1 3 2 32 2 2 2 2n nn? ? ? ? ?， 所以2 3 4 11 1 1 1 3 2 32 2 2 2 2 2n nnT ? ? ? ? ? ? ?， - 7 - 所以212 3 4 1 1111 1 1 2 2 2 2 3 1 1 2 32212 2 2 2 2 2 2
16、4 2 212nn n n nnnT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以12 1 122n nnT ?21.解：（）2() xf x e ax?，( ) ( ) 2xg x f x e ax? ? ?，( ) 2xg e a?， ? 1分 当0a?时，( ) 0gx?恒成立，()无极值； ? 2分 当?时， ?，即ln(2 )xa?， ? 3分 由( )，得l )?；由( ) 0?，得ln(2 )?， ? 4分 所以当ln(2 )?时，有极小值2 ln(2 )a a a?.? 5分 （）( ) (1 ) xf x x x e? ? ?，即x x xe ax x e xe? ? ? ?，即10e ax? ?， ? 6分 令( ) 1xh e ax? ? ?，则 ) xh x e a， ? 7分 当1a?时，由0x?知 ) 0hx?，( (0) 0h h?，原不等式成立， ? 8分 当?时，( )?，即ln?，( ) 0?，得ln?；( ) 0hx?，得ln?， 所以()在(0,ln )a上单调递减， ? 10分 又(0) 0h ?，1a?不合题意， ?
