1、 1 2018届高三第一学期开学考试 数学 (文科 )试卷 （ 共 4页； 完卷时间 120分钟；满分 150分） 第卷 （选择题 共 60分） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确选项涂在答题 卡的相应位置上） 1 设集合 ? ?2 3 2 0M x x x? ? ? ?，集合? ? 4)21( xxN，则 MN=（ ） A ? ?2xx? B ? ?1xx? C ? ?2xx? D R 2. 已知复数 z 满足 2zi i x?()xR? ，若 z 的虚部为 1，则 z? （ ） A 2 B 22 C5D33. 若
2、2 cos 2 sin( )4?，且 ()2? ，则 cos2? 的值为 （ ） A 78? B 158? C 1D 158 4. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A.命题 “ 若 xy? ,则 sin sinxy? ” 的逆否命题为真命题 . B. “ 1x? ” 是 “ 2 5 6 0xx? ? ? ” 的必要不充分条件 C. 命题 “ Rx? ,使得 2 10xx? ? ? ” 的否定是 :“ Rx? ,均有 2 10xx? ? ? ”. D. 命题 “ 若 2 1x? ,则 1x? ” 的否命题为 : “ 若 2 1x? ,则 1x? ”. 5. 我国古代数学典籍九章算术第七章“盈
3、不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的 两边相对分别打洞穿墙，大、小 鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为 500尺，则需要几天时间才能打穿 （结果取整数）（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 6. 记 21s in23s in,23c o s,21c o s ? cBA ，则 A,B,C 的大小关系是（ ） A A B C? B A C B? C B A C? D. C B A?
4、2 7. 如图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第 1 次到第第 14 次的考试 成绩依次记为 A1 ， A2 ， ?A 14 ， 如图 2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 函数 f（ x） x2ax（其中 aR ）的图象不可能是 9. 函数 ( ) s in ( )( 0 , 0 )f x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，的图象与 2( ) 2 co s ( ) 16g x x ? ? ?的图象的对称轴相同，则 ()fx的一个增区间为（ ） A 5 ,66?B
5、,36?C 5 ,12 12?D 7,12 12?10. 已知数列 ?na 满足 1 1a? ， ? ?1 1 2nnaa nn? ? ?，若 2 1 2 1nnaa? ， 2 2 2 ()nna a n N ? ?则数列 ? ?( 1)n na? 的前 40项的和为 （ ） A. 1920 B. 325462 C. 4184 D. 2041 11. 已知函数 2( ) ln ( 1 ) ( 2 ) ( )f x x x a x a a R? ? ? ? ? ? ?若存在唯一的正整数 0x ，使得 0( ) 0fx? ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ln3 ln 2 1,32?B.
6、ln3 ln2 1( , )32? 3 C. ln3 ln 2 1,32? ?D. ? ?ln3,ln2 1? 12 已知 f（ x）为定义在 (0, )? 上的可导函数 ,且 ( ) ( )f x xf x? 恒成立 ,则不等式0)()1(2 ? xfxfx 的解集为（ ） A (0,1) B (1,2) C (1, )? D (2, )? 第 卷 （非选择题 共 90分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13. 已知向量 ,ab满足 (4, 3), 3ab? ? ?，若向量 ,ab的夹角为 23? ，则 23ab?_. 14. 已知
7、a?R ，设函数 ( ) lnf x ax x? 的图象在点（ 1， (1)f ）处的切线为 l，则 l在 y轴上的截距为 _ . 15. 三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵 爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用 2 勾 股 +（股勾）2=4 朱实 +黄实 =弦实，化简，得勾 2+股 2=弦 2，设勾股中勾股比为 1： 3，若向弦图内随机抛掷 1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 _ 16. 已知直线 nl ：
8、 2y x n? 与圆 nC ： 222 nx y a n? ? ? 交于不同的两点 nA 、 nB ， nN? ，数列 ?na 满足： 1 1a? ， 21 14n n na A B? ?，则数列 ?na 的通项公式为 _ . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12分） 已知 ?na 是公差为 3的等差数列，数列 ?nb 满足 1 2 1 11= 3 n n n nb b a b b n b?1 ， ， . 4 （ I）求 ?na 的通项公式； （ II）求 ?nb 的前 n项和 . 18（本小题满分 12分） 在 ABC? 中
9、，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且 1sin co s sin co s 3a A C c A A c?， D 是 AC 的中点，且 25co s , 2 65B B D?， () 求角 A 的大小； () 求 ABC 的最短边的边长。 19（本小题满分 12分） 在 ABC? 中，角 CBA 、 的 对边分别为 cba, ，且 BA baCc coscoscos ? （ ）求角 C的大小； （ ）若 ABC? 的外接圆直径为 1，求 22 ba? 的取值范围 . 20（本 小题满分 12分） 已知公差不为 0 的等差 数列 ?na 中， 1 3 7,a a a 成等比数列，且 2
10、21nnaa?，等比数列 ?nb 满足1 143nn nbb? ? （ 1）求数列 ?na ， ?nb 的通项公式； （ 2）令 n n nc a b? ，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT . 21（ 本小题满分 12分） 已知函数 f（ x） =ln +ax 1（ a0 ） （ I）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）已知 g（ x） +xf（ x） = x，若函数 g（ x）有两个极值点 x1， x2（ x1 x2），求证： g（ x1）0 5 22.（本小题满 分 10分） 选修 4 4：极坐标与参数方程 已知直线 l： sin （ 3?）32m，曲线 C：1 3 cos ,3 s
11、in .xy? （ ）当 m 3时，判断直线 l与曲线 C的位置关系； （ ）若曲线 C上存在到直线 l的距离等 于32的点，求实数 m的范围6 2018届高三第一学期开学考试 数学 (文科 )试卷 参考答 案 1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.A 12.C 13. 91 14. 1 15. 134 16. 12? nna 17.（ I）由已知， 1 2 2 1 1 2 1, 1, ,3a b b b b b? ? ? ?得 1 2 2 1 1 2 1, 1, ,3a b b b b b? ? ? ?得 1 2a? ，所以数列 ?na是首项
12、为 2，公差为 3的等差数列，通项公式为 31nan?. （ II）由（ I）和 11n n n na b b nb? ，得1 3nn bb? ?，因此 ?nb 是首项为 1，公比为 13 的等比数列 .记 ?nb 的前 n 项和为 nS ，则 111 ( )313 .1 2 2 313nn nS ? ? ? ?18.（ ） 1s in c o s s in c o s 3a A C c A A c?， 1s i n s i n c o s s i n s i n c o s s i n3A A C C A A C? 即 1sin sin sin3A B C? . 由 25cos 5B? 得
13、5sin 5B? ， ? ?C A B? ? ?， ? ?3 sin 5 sinA A B?， 则 sin cosAA? ，得 tan 1A? 4A ? （ ）根据余弦定理得 2212 2642c b bc? ? ?， 51sin sin53AC?且 21sin sin23BC? ， 3 5 2 1 0,5 3 5c b c a? ? ?， 2 2 29 1 3 265 1 0 5a a? ? ?. 7 解得 25a? ， 2 2, 6bc?. ABC? 的最短边的边长 22. 19.解（ ）由题得 BA BACC coscos sinsincossin ? 所以 BCACBCAC si nc
14、 o ssi nc o sc o ssi nc o ssi n ? 即 BCBCACAC c o ssi nsi nc o ssi nc o sc o ssi n ? 得 )sin ()sin ( CBAC ? 所以 CBAC ? 或 )( CBAC ? ? （不成立） 即 BAC ?2 所以 3?C （ ）由 3?C ，设 ? ? 3,3 BA 32,0 ? BA ，所以 33 ? ? 因为 BBRbAARa s ins in2,s ins in2 ? 故 2c o s12c o s1s ins in 2222 BABAba ? ?2c o s211)232c o s ()232 c o s
15、 (211?2c o s211)232c o s ()232 c o s (211?由 33 ? ? 得 所 以 32232 ? ? 故 2343 22 ? ba20.8 21.（ I）解： f（ x） =ln +ax 1= lnx+ax 1，定义域是（ 0， + ） f （ x） = a 0时，令 f （ x） =0，得 x= ， 0 x ， f （ x） 0， x ， f （ x） 0， 函数的单调减区间是（ 0， ），单调增区间是（ ， + ）； a 0， f （ x） 0在（ 0， + ）上恒成立，函数单调递减； （ ）证明：已知 g（ x） +xf（ x） = x，则 g（ x） =
16、xlnx ax2， g （ x） =lnx 2ax+1， 函数 g（ x）有两个极值点 x1， x2（ x1 x2）， g （ x）在定义域上有两个零点 x1， x2（ x1 x2）， 9 x 1， x2是 lnx 2ax+1=0的两个根， lnx 1 2ax1+1=0， g （ x1） = ， g （ x） =lnx 2ax+1， g （ x） = a 0时， g （ x） 0恒成立， g （ x）在（ 0， + ）内单调递增， g （ x）至多一个零点； a 0时，令 g （ x） =0得 x= ， 0 x ， g （ x） 0， x ， g （ x） 0， g （ x） max=g （
17、） =ln = ln2a 0， 0 a 且 0 x1 x2， g （ x1） = ，抛物线开口向上，对称轴为 x= ， g （ x1） 0 22.（ ）当 3m?时，直线 l：33sin( )32?，展开可得：1 3 3 3si n + c os )2 2 2? ? ? ?（， 化为直角坐标方程： 3 3 3 0xy? ? ?， 曲线 C：1 3 cos3 sinxy? ?， 利用平方关系化为：22( 1) 3xy? 圆心(1,0)C到直线 l的距 离| 3 3 3 | 32dr? ? ?因此直线l与曲线C相切 （ ） 曲线 上存在到直线 l的距离等于32的点， 圆心(1,0)C到直线l的距离33 3322md ? ? ?解得2
