1、 - 1 - 2017 2018学年上学期高三年第二次阶段考 数学（理科）试卷 满分 ： 分，考试时间 ： 分钟 第 I卷（选择题 共 60 分） 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题只有一项符合题目要求 1.已知复数 z 是一元二次方程 0522 ? xx 的一个根，则 z 的值为（ ） A 5 B 2 C 5 D 2 2. “20 ?” 是 “ 1sin22 ? ?yx 表示椭圆 ” 的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.九章算术中 “ 开立圆术 ” 曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之
2、，即立圆径” “ 开立圆术 ” 相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d，公式为3169dV? 如果球的半径为 13 ， 根据 “ 开立圆术 ” 的方法求球的体积为（ ） A 481? B 6? C 481 D 6? 4.已知焦点在 x 轴上，中心在 原点 的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，若该椭圆的 离心率为 13 ，则椭圆的方程是（ ） A 2 2 14x y? B 22198xy? C 22143xy? D 22189xy? 5.若 函数 )(xfy? 的周期为 2 ,当 2,0?x 时 , 2)1()( ? xxf 如果1log)()( 5 ? xxfxg ，则函数的所有零点之和
3、为（ ） A 8 B 6 C 4 D 10 6.等腰直角三角形 ABC 中， 9 0 , 2,A AB AC D? ? ? ?是斜边 BC 上一点，且 3BD DC? ， 则 ? ?AD AB AC? ? ?（ ） A 1 B 2 C 2 D 4 7.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ） - 2 - A 43 B 75? C 55? D 7 2 5? 8.已知等差数列 ?na 的公差 0d? ，且 1a ， 3a ， 13a 成等比数列，若 1 1a? ， nS 为数列 ?na的前 n 项和，则 2 163nnSa? 的最小值为（ ） A 3 B 4 C 23 2? D 92 9.已
4、知两点 ? ?,0Aa ， ? ?,0Ba? （ 0a? ），若曲线 22 2 3 2 3 0x y x y? ? ? ? ?上存在点 P ，使得 90APB? ? ? ，则 a 的取值范围为（ ） A ? ?0,3 B ? ?1,3 C ? ?2,3 D ? ?1,2 10.函数 ?fx是定义在区间 ? ?0,? 上的可导函数，其导函数为 ?fx，且满足? ? ? ? 2 0xf x f x?，则不等式 2017 )5(55 20172017 ? x fxfx ）（）（ 的解集为（ ） A 2012 ?xx B 2012 ?xx C 02012 ? xx D 20122017 ? xx 11
5、.已知函数 ? ? sin( )f x x? 0, ,02? ? ?的周期为 ，将函数 ?fx的图像沿着 y轴向上平移一个单位得到函数 ?gx图像设 ? ? 1gx? ，对任意的 ,3 12x ? ? ?恒成立，当? 取得最小值时， 4g?的值是（ ） A 12 B 1 C 32 D 2 12.已知函数? ? )2(,1 )20(,1)2()( x xxxxf，其中 ?x 表示不超过 x 的最大整数设 *nN? ，定义函数 )(xfn ： )()(1 xfxf ? ， )()( 12 xffxf ? ， ， )2)()( 1 ? ? nxffxf nn ，则下列说法正确的有 （ ） ? ?y
6、x f x? 的定义域为 2,23?； 设 ? ?0,1,2A? ， ? ?3 | , B x f x x x A? ? ?，则AB? ； 2 0 1 6 2 0 1 78 8 1 39 9 9ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；若集合 ? ? ? ?12 | , 0 , 2 M x f x x x? ? ?，则 M 中至少含有 8 个- 3 - 元素 A 1个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 第 II卷（非选择题 共 90 分） 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13.设变量 ,xy满足约束条件： 222yxxyx?，则 4 4? x yxZ 的最大值是 _
7、 14.已知正四棱锥 O ABCD的体积为223，底面边长为 3 ，则以 O为球心， OA为半径的球的体积为 _ 15.在 满足 1622 ?yx 的 两个实数 yx, 之间插入三个实数，使这五个 实 数构成 一个 等差数列，则 这个等差数列后三项和的最大值为 _ 16.如图，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，动点 P 在其表面上运动，且 PA x? ，把点 P 的轨迹长度 ? ?L f x? 称为 “ 喇叭花 ” 函数，给出下列结论： 132 16f ?； ? ? 31 2f ? ； ? ? 32 2f ? ； 21 333f ?其中正确的结论是： _（填上
8、你认为所有正确的结论序号） 三解答题：本大题共 6小题，其中第 22题、第 23 题 10，其它各题都是 12分，共 70分。 17.已知 )(xf 是递增的一次函数，且满足 14)1()( 2 ? xxfxf ， 若点 )(,( *Nnan n ? 在函数 )(xf 的图象上 （ ）求数列 na 的通项公式； （ ）设 nann ab 2)1( ? ，求数列 nb 的前 n 项和 nT - 4 - 18.已知椭圆 C： )0(12222 ? babyax 的离心率为 23 ，过左焦点 F 且垂直于 x 轴的弦长为1 （ I） 求椭圆 C的标准方程； （ ）点 )0,(mP 为椭圆 C长轴上的
9、一个动点，过点 P 且斜率为 21 的直线 l 交椭圆 C于 A， B两 点，问： 22 PBPA ? 是否为定值？若是，求出这个定值并证明，否则，请说明理由 19在 ABC? 中， cba, 分别是角 CBA , 的对边，且 1)1t a n(t a nc o sc o s2 ?CACA . （ I）求 B 的大小 ; （ II）若 D 为 AC 的中点，且 1?BD ，求 ABC? 面积的最大值 . 20.四棱锥 ABCD?P 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，32?DAB ， OBDAC ? ，且 ?PO 平面 ABCD ， 3?PO ，点 GF, 分别是线段 PDPB, 的中点
10、，点 E 在 PA 上，且 PEPA 3? （ ）求证： BD 平面 EFG ； （ ）求直线 AB 与平面 EFG 的成角的正弦值； （ ）请画出平面 EFG 与四棱锥 ABCD?P 的表面的交线， 并写出作图的步骤 21.已知函数 ? ? 2xf x e x x? ? ?， ? ? 2 , , Rg x x ax b a b? ? ? ? （ ）当 1a? 时，求函数 ? ? ? ? ? ?F x f x g x?的单调区间； （ ）若曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?0,1 处的切线 l 与曲线 ? ?y g x? 切于点 ? ?1,c ，求 ,abc的值； （ ）若 ? ? ? ?
11、f x g x? 恒成立，求 ab? 的最大值 - 5 - 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22（本小题满分 10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x轴非负半轴重合，直线 l的极坐标方程为 3 co s sin 6 0? ? ? ? ? ?，圆 C的参数方程为 5 cos1 5 sinxy? ?， （）求直线被圆所截得的弦长； （）已知点 ? ?0, 2P ? ，过 P 的直线 l 与圆所相交于 AB、 不同的两点，求 PAPB? 23（本小题满分 10分）已知点 ? ?,Pab 在圆 C： 22x y x y? ? ? ? ?
12、 ?, 0,xy? ? 上， （）求 11ab? 的最小值； （）是否存在 a ， b ，满足 ? ? ?1 1 4ab? ? ?？如果存在，请说明理由 南安一中 2017 2018 学年上学期高三年第二次阶段考 高三数学（理科）试卷参考答案 一 、 选择题： （ 5 12=60） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D B A D B B B D C C 11.【解析】因为 T? ，则 2? ，所以 ? ? sin(2 )f x x ?，所以 ? ? sin(2 ) 1g x x ? ? ?，所以函数 ? ? sin (2 ) 1 1g x x ? ?
13、? ?，所以 sin(2 ) 0x ?，所以 2 22k x k? ? ? ?，k?Z ；又 ,3 12x ? ? ?，所以 2 2,36x ? ? ?， 2 2,36x ? ? ? ? ? ? ? ?，所以2 3 06? ? ?，所以 36? ，又 ,02? ?，所以 ,03? ?，所以 ? 取得最小值 3? 时， 3s in ( 2 ) 14 4 3 2g ? ? ? ? ? ?，所以 4g?的值是 32 故选 C 12.【解析】 ? ? 0x f x?，当 01x?时， ? ? ? ? ? ? 20 , 2 1 3x f x x x x? ? ? ? ? ?，所以- 6 - 2 13 x
14、?；当 12x?时， ? ? ? ?1, 1x f x x x? ? ? ?成立，所以 12x?；当 2x? 时， ? ? 12fx? 成 立 ， 所 以 2 13 x? ； 因 此 定 义 域 为 2,23?； ? ? ? ? ? ?1 0 , 0 2 , 2 1 1f f f B? ? ? ? ?; ? ? ? ? ?0 2 , 2 1 , 1 0 , 0f f B? ? ? ?; ? ? ? ? ? ?2 1 , 1 0 , 0 2 , 2f f f B? ? ? ? ?，因此 AB? ; 因为 8 2 2 1 4 1 4 5 5 8, , ,9 9 9 9 9 9 9 9f f f f
15、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即5188,499f f T? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,因此2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 6 2 0 1 7 4 18 8 8 2 8 8 8 8 1 0,9 9 9 9 9 9 9 9 9f f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由上可知 8 2 14 50,1,2, , , ,9 9 9 9为 M 中元素，又 2233f?，所以
16、 M 中至少含有 8 个元素综上共有 3个正确说法，选 C. 二 、 填空题： （ 4 5=20） 13 2 14 ?68 15 103 16 16. 【 解 析 】12f? 由如图三段相同的四分之一个圆心为 A半径为 12 的圆弧 长组成，因此 1324f ? ?1f 由如图三段相同的四分之一个圆心为 A半径为 1 的圆弧长组成，因此 ? ? 31 2f ? ? ?2f 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为 1,BDA 半径为 1 的圆弧长组成，因此? ? 132 3 2 142f ? ? ? ? ? 213f?由如图三段相同弧长组成，圆心角为 6 ， 半径为 23， - 7 - 因此 21
17、 23 33 6 33f ? ? ? ? ?， 因此选 三、解答题： 本大题共 6小题，共 70 分 。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.解：（ ） 由 )(xf 是递增的一次函数， 可 设 )0()( ? kbkxxf ， 即有 14)()1()( 2 ? xbkkxbkxxfxf ，可得 42?k 且1,02 22 ? bkbkkb ， 解 得 1,2 ? bk ，即 12)( ? xxf ， 由 题 意 可 得12 ? nan ； ? 5分 （ ） 因为 nnann nnab n 4222)1( 12 ? ? 即有前 n 项和 nn nT 4434241 32 ? ， 则 1432 44342414 ? nn nT ， 相减可得， 1432 4444443 ? nnn nT =
