1、 - 1 - 福建省永春县四校 2018届高三数学上学期第一次联考试题 理 考试时间 ： 120 分钟 试卷总分 ： 150 分 参考公式： 本试卷分第 I卷和第 II卷两部分 第 I卷（选择题，共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后， 请把答案填写在答题卡相应位置上 。 1.设集合 ? ?|2A x x?,集合 B 为函数 lg( 1)yx?的定义域 ,则 AB? A. ? ?1,2 B. ? ?1,2 C. ? ?1,2 D. ? ?1,2 2.已知复数 21iz i? ? ，则
2、zz? A.2i B.2 C.4i D.i 3. ? ? ? ? ? ? ? ?s i n 6 5 c o s 2 0 c o s 6 5 c o s 1 1 0x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?的值为 A. 12 B. 32 C. 22? D. 22 4.设 ,Rab? ， 则 “ ab? ” 是 “ aa bb? ” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 2017年金砖 五国 国家领导人第九次会晤于 9月 3日 -5日在福建厦门举办。 会议采用右图作 为会标。若已知图中正方形的边长为 a ，现欲估计图中五个色块的总面积，向正
3、方形内随机撒豆子 ,若撒在五色块上和正方形内的豆子数分别为 ,mn,则五色块总面积的估计值为 A.man B.nam C. 2man D. 2nam 样本数据 1x ， 2x ， ， nx 的标准差 ? ? ? ? ? ?2 2 2121 ns x x x x x xn ? ? ? ? ? ? ? 其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V Sh? 其中 S 为底面面积， h 为高 锥体 体积公式 13V Sh? 其中 S 为底面面积， h 为高 球的表面积、体积公式 24SR? ， 343VR? 其中 R 为球的半径 - 2 - 6.已知双曲线? ?22: 1 0 , 0xyC a bab?
4、? ? ?的左焦点为 F ,第二象限的点 M 在双曲线 C 的渐近线上，且O a?，若直线 MF的斜率为ba，则双曲线 C 的渐近线方程为 A.yx?B.2?C.3?D.4?7. 现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图 1、图 2、图 3，则 至少存在 一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是 A. B. C. D. 8.已知 0.22a? ， 2log 3b? ， sin7c ?， 则 A.a c b? B.b a c? C.c a b? D.a b c? 9.已知函数 ( ) 2 s i n ( 3 ) ( 0 )f x x ? ? ? ? ? ?，将 ()fx的图象
5、向右平移 6? 个单位所得图象关于点 ,04?对称，将 ()fx的图象向左平移 ( 0)? 个单位所得图象关于 y 轴对称， 则 ?的值 不可能 是 A. 4? B. 512? C. 712? D. 1112? 10.在 ? ? ? ?6411xy?的展开式中，记 mnxy项的系数为 ),( nmf ，则? )3,0()2,1()1,2()0,3( ffff A.45 B.60 C.120 D.210 11.已知 ,abe 是同一平面内的三个向量，且 1e? ， ab? ， 2ae? ， 1be?，当 ab?取得最小值时 ， a 与 e 夹角的正切值等于 A. 33 B.12 C.1 D. 2
6、2 12.设函数 ()fx= ln 2x ax ax ? ? ? ,其中 01a?，若不等式 ( ) 0fx? 恰有两个整数解，则实数 a 的取值范围是 - 3 - A. 6 ln 3 4 ln 2,12 6?B. 6 ln 3 4 ln 2,12 6?C. 4 ln2,16?D. 4 ln20,10?第 II卷（非 选择题，共 90 分 ） 二、填空题 ：本大题 共 4小题，每小题 5分，共 20分， 请把答案填在答题卡的横线上 。 13. 中 国有 个 名句 “ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”. 其中 的 “ 筹 ” 原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小
7、竹棍摆在平面上进行运算，算 筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表： 表示 一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要 纵横相间 ，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示， 以 此类推，例如 6613用 算筹表示就是： ， 则算筹式 “ ” 表示 的阿拉伯计数 为 14. 已知椭圆22:143xyC ?的左焦点为 F,上顶点 A，右顶点 B，过 A、 B、 F三点的圆的一般方程 . 15. 设 点 ? ? ? ? 22, , | 4 3 0 P x y x y x y y? ? ? ? ?，则2yx?的取值范围是 . 16. 已知 ,ab
8、c分别为内角 ,ABC 的对边， 2a? ，且 sin sinsin 2A B c bCb? ?，则 ABC? 面积的最大值为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 请在答题卡各自题目的答题区域内作答 。 17. （本题满分 12分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 2a? ， 1 2 , ( 0 )nnS S n? ? ? ?， 存在 实数 ? ， 使得 1na? 为等比数列 . (1)求满足条件 ? 的值及 数列 na 的通项公式 ； - 4 - (2)设 3 1 3 2 3 3 3l o g ( 1 ) l o g ( 1 )
9、l o g ( 1 ) l o g ( 1 )nnb a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求数列 1nb?的前n 项和 nT . 18. （本题满分 12分） 为 了研究学 生的数学 核心 素养 与 抽象（能力指标 x ） 、推理（能力指标 y ） 、建模（能力指标 z ） 的相关性，并将它们 各 自量 化 为 1、 2、 3三 个等级，再用综合指标 w x y z? ? ? 的 值评定学生的数学 核心 素养；若 7w? ， 则数学核心素养为 一 级；若 56w?， 则数学 核心 素养为二级；若 34w?， 则数学核心素 养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人
10、员随机访问了某校 10名 学生，得到如下结果： （ 1） 在这 10名 学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； （ 2） 从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为 a ， 从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人 ，其综合指标为 b ， 记随机变量 X a b? ， 求随机变量 X 的 分布列及其数学期望 . 19. （本题满分 12分） 如图，已知四边形 11AACC 和 11AABB 都是菱形，平面 11AACC? 平面 11AABB ，且11 60 oAC C BAA? ? ? ?， 1 2AA? . （）求证： 11AA BC? ； （）求二面角 1C AB
11、 C?的余弦值 . 20. （本题满分 12分） 已知定点 )1,0(F ， 动点 )1,( ?aM （ R?a ），线段 FM 的中垂线 l 与 ax? 交于点 P （）求动点 P 的轨迹 ? 的方程； （）当 PFM? 为正三角形时，过点 P 作直线 l 的垂线，交抛物线于 P ， Q 两点 ， 求证：点 F 在以线段 PQ 为直径的圆内 21.（本题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ? 21 , 1 .x xf x g x a xe? ? ?（ 1）若函数 ?fx和 ?gx的图象在 1x? 处的切线平行，求 a 的值； （ 2）当 ? ?0,1x? 时，不等式 ? ? ? ?f x
12、g x? 恒成立，求 a 的取值范 围 . - 5 - 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答 ， 如果多做，则按所做的第一题计分 。 作答时 ， 用2B铅笔在答题卡上 把 所选题号 对应 的 题号 涂黑 。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4 4： 坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 221 : ( 2) 1C x y? ? ?，曲线 2C 的参数方程为 3cos ,sin ,xy ? ?（ ? 为 参数） .在以原点 为极点， x 轴正半轴为极轴 的 极坐标系 中 ，直线 l 的极坐标方程为()6?R . （）求 1C 的极坐标方程及 2C 的普通方程 ；
13、（） l 与 1C 相切于点 A ， 在 第三象限内与 2C 交于 点 Q ，求 1CAQ? 的面积 . （ 23） （本小题满分 10 分）选修 4 5： 不等式证明选讲 设函数 axaxxf ? 2)( ， 0?a . （ 1） 当 1?a 时，求 )(xf 的最小值； （ 2） 若关于 x 的不等式 axxf ? 5)( 在 ? ?2,1?x 上有解，求实数 a 的取值范围 . 2018届高三年毕业班第一次联 合考试数学（理）科试卷 参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分） 1.A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.C
14、 11.D 12.A 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.1798 14.22 3 203y x y? ? ? ? ?15. 2 1, 2 1? 16. 3 三、解答题：（ 17-21 题各 12分， 22（ 23）题 10分，共 70分） 17. （本题满分 12分） 解法一：（ 1）当 2n? 时， 11 2n n n na S S a? ? ? ?， ?2 分 由 1 2a? ，可知 2 22a ?， 23 2 2 2a ? ? ?， 因为 1na? 为 等 比 数 列 ， 即 22 1 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a? ? ? ? ?，求得
15、 0? 或3? ， ?4 分 因为 0? ，则 3? ，故 ( 1)na? 是以 3首项， 3 为公比的等比数列， 永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 - 6 - 因此 13nna ? ， 所以 31nna ?； ?6 分 （ 2） 3 1 3 2 3 3 3l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 )nnb a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 n? ? ? (1 )2nn? ， ?8 分 故 1 2 1 12 ( )( 1 ) 1nb n n n n? ? ?所以 nT =2 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( )
16、 ( ) 2 2 3 1nn? ? ? ? ? ? ? ?= 21nn? ?12 分 解法二：（ 1）当 2n? 时， 11 2n n n na S S a? ? ? ?， 因为 1na? 为等比数列 ， 设公比为 q ，则 1 1311nnaa q? ?， 整理得 3nna qa q? ? ? ?， 即 3q?， 因此 1na? 为首项为 3，公比为 3的 等比数列 ， 故 13nna ? ， 所以 31nna ? （ 2）同解法一 18. （本题满分 12分） 解：（ I）由题可知：建模能力一级的学生是 9A ；建模能力二级的学生是 2 4 5 7 10, , , ,A A A A A；建模能 力三级的学生是 1 3 6 8, , ,A A A A .?2 分 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 A ， 则 ? 4分 （ II）由题可知，数学核心素养一级： 1 2 3 5 6 8, , , , ,A A A A A A，数学核心素养不是一级的：4 7 9 10, , ,A A A A ； X 的可能取值为 1,2,3,4,5. ? 5 分 - 7 - ? 10 分 随
