1、 1 广西柳州市 2018 届高三毕业班上学期摸底联考 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ? ? ? ?2 3 4 0A x Z x x? ? ? ? ?， ? ?1 lnB x y x? ? ? ， 则 AB?（ ） A ? ?0,e B ? ?0,e C ?1,2 D ? ?1,2 2.已知复数 z 在复平面内对应点是 ? ?1, 2? ， i 为虚数单位，则 21zz? ?（ ） A 1i? B 1i? C 312i?D 312i?3.如
2、图是调査某地区男 女 中学生喜欢理科的等高条形阴影部分 表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的 （ ） 性别与 喜欢 理科有关 女生中喜欢理科的 比 为 20% 男生不比女生喜欢 理科 的可能性 大些 男生不軎欢理科的比为 40% A B C D 4.? ?62xy? 的展开式中 ， 24xy 的 系数为 （ ） A 60 B 60? C 240 D 240? 5.已知焦点在 x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和 为 6， 若该椭圆的 离心率 为13 ，则椭圆的方程是 （ ） A 2 2 14x y?B 22198xy?C 22143xy?D 22189xy?6.同时具有以
3、下性质 ：“ 最小正周期是 ? ； 图象关于直线3x ?对称 ； 在 ,63?上2 是增函数 ； 一个对称中心为 ,012?” 的一个函数是 （ ） A sin26xy ?B sin 23yx?C sin 26yx?D sin 23yx?7.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ， 从 集合 A 中任取一个元素 a ， 则函数 ? ?, 0,ay x x? ? ?是增函数的概率为 （ ） A 37B 45C. 35D 348.过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ） A 932B 916C.38D 3169.数列 ?na 的
4、通项公式为 *cos ,2n na n N?，其前 n 项和为 nS ，则 2017S ? （ ） A 1008 B 1008? C. 1? D 0 10.过双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的右焦点 F 作圆 2 2 2x y a?的切线 FM （切点为 M ），交 y 轴于点 P .若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3 C. 2 D 5 11.已知函数 ? ? 21xf x e ? ， 直线 l 过点 ? ?0,e? 且与曲线 ? ?y f x? 相切 ， 则切点的横坐标为（ ） A 1 B 1? C. 2 D 1e? 12.已知
5、向量 AB 与 AC 的夹角为 60? ， 且 2, 4AB AC?， 若 AP AB AC? ， 且 AP BC? ，则实数 ? 的值为 （ ） 3 A 45B 45?C. 0 D 25?第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若变量 ,xy满足约束条件 11yxxyy?， 则 2z x y?的最大值为 14. 设等比数列 ?na 的前 n 项积为 9 ， 若 16 7512? ， 则 12a 的值 是 15. 已知函数 ?fx对任意 xR? 都有 ? ? ? ? ? ?6 2 3f x f x f? ? ?， ? 1y f x?的图象关
6、于点? ?1,0 对称且 ? ?24f ? ， 则 ? ?22f ? 16. 如图 所示 ，在四面体 A BCD? 中，若截面 PQMN 是正方形， 则下列命题中正确的是 (将所有正确答案序号填写到横线上 ) AC BD? ； /AC 截面 PQMN ； AC BD? ； 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 ,AB分别在射线 ,CMCN (不含端点 C )上运动 ， 23MCN ?， 在 ABC? 中，角,ABC 所对的边分别是 ,abc. （ 1） 若 b 是 a 和 c
7、的等差中项，且 4ca? ， 求 c 的值 ； （ 2） 若 2c? ， 求使 ABC? 面积最大时 ,ab的值 . 18. 在一次诗词知识竞赛调査中，发现 参赛选手多数分为两个年龄段 :20 30;30 40 （单位：岁） ，其中答对诗词名句与否的人数如图所示 . 4 （ 1） 完成下面的 22? 列联表 ； 判断是否有 90% 的把握认为答对诗词名 与 年龄有关，请说明你的理由 ；（参考公式： ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ? ） （ 2） 若计划在这次场外 调查 中按年龄段分层抽样选取
8、 6 名选手，求 3 名选手中在 20 30 岁之间的人数的分布列和期望 . 19.如图 ， 在四棱锥 P ABCD? 中 ， / / , 9 0A D B C A D C P A B? ? ? ? ?, 12BC CD AD?， E 为棱 AD 的中点， PA CD? . （ 1） 证明 ： CD? 平面 PAD ； （ 2） 若二面角 P CD A?的大小为 45? ,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 . 20. 已知 过 抛物线 ? ?2: 2 0C y px p?的 焦点 F ， 斜率为 2 的 直线 交抛物线于? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, , ,A x y
9、B x y x x?两点，且 6AB? . （ 1）求该抛物线 C 的方程 ； （ 2）已知 抛物线上一点 ? ?,4Mt ， 过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ， 且 MD ME? ，判断直线 DE 是否过定点 ？ 并说明理由 . 5 21. 已知 函数 ? ? lnf x ax x x? 在 2xe? 处取得极小值 . （ 1） 求实数 a 的值 ； （ 2）设 ? ? ? ? ? ?2 2 lnF x x x x f x? ? ? ?，其导函数为 ?Fx? ，若 ?Fx的图象交 x 轴于两点? ? ? ?12,0 , ,0C x D x 且 12xx? ， 设线段 CD 的中点
10、为 ? ?,0Ns ， 试问 s 是否为 ? ? 0Fx? ? 的 根 ？ 说明理由 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4 4:坐标系与参 数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 244xtyt? ? ?(其中 t 为参数 ） .以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相 同 的单位长度，曲线 2C 的极坐标方程为2cos 42?. （ 1） 把曲线 1C 的方程化为普通方程 ， 2C 的方程化为直角坐标方程； （ 2） 若曲线 1C ， 2C 相交于 ,AB两点 ， AB 的中点为 P
11、， 过点 P 做曲线 2C 的垂线交曲线 1C 于,EF两点，求 PE PF? . 23. 选修 4 5:不等式选讲 已知函数 ? ? 1 2017f x x? ? ? . （ 1） 解关于 x 的不等式 ? ? 2017f x x? ； （ 2） 若 ? ? ? ? ?24 3 4 1f a f a? ? ? ? ?，求实数 a 的取值范围 . 6 试卷答案 一、选择题 1-5: CDCCB 6-10: CCADA 11、 12： AC 二、填空题 13. 3 14. 2 15. 4? 16. 三、解答题 17. （ 1） 因为 ,abc成等差 数列，故 4, 2a c b c? ? ? ?
12、， 在 ABC? 中 ， 23MCN ?，所以 1cos2C?， 由余弦定理得 2 2 2 1cos22a b cC ab? ? ?代入得 2 9 14 0cc? ? ? ， 解得 2c? 或 7c? ； 因为 4c? ，故 7c? . （ 2） 2c? ， 1cos2C?， 由余弦定理得 ： 2 2 2 2 cosc a b ab C? ? ? ， 即 224 2 3a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ?， 43ab?， （当且仅当 ab? 时成立 ）， 1 3 3sin2 4 3S ab C ab? ? ?， 当 ab? 时， ABC? 面积最大为 33， 此时 23
13、3ab?， 则当 233ab?时， ABC? 面积最大为 33. 18.（ 1） 由已知得 22? 列联表为 : 7 ? ? ? ? ? ?22 n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? ?1 2 0 7 0 1 0 3 0 1 0 3 2 .7 0 62 0 1 0 0 4 0 8 0? ? ? ? ? ? ?， 有 90% 的把握认为答对诗词名句与年龄有关 . （ 2） 设 3 名选手中在 20 30 岁之间的人数为 ? ， 则 ? 的可能取值为 0， 1， 2， 20 30 岁之间的人数是 2 人， ? ? 3436 10 5CP C? ? ? ?, ? ?
14、 214236 31 5CCP C? ? ? ?, ? ? 124236 12 5CCP C? ? ? ? ? 的分布列为 : ? ? 1 3 10 1 2 15 5 5E ? ? ? ? ? ? ? ?. 19.（ 1） 证明：由已知， PA CD? ， 又 90ADC? ? ? ，即 CD AD? ， 且 PA AD A?， CD? 平面 PAD . （ 2） CD? 平面 PAD ， PDA? 为二面角 P CD A?的平面角，从而 45PDA? ? ? . 如图所示，在平面 ABCD 内，作 Ay AD? ， 以 A 为原点，分别以 ,ADAP 所在直线为 x 轴，z 轴建立空间直角坐
15、标系 A xyz? ， 8 设 1BC? ，则 ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 1 , 0 , 0 , 2 ,1 , 0A P E C， ? ? ? ? ? ?1 , 0 , 2 , 1 ,1 , 0 , 0 , 0 , 2P E E C A P? ? ? ?. 设平面 PCE 的法向量 ? ?,n x y z? ， 则 200n PE x zn EC x y? ? ? ? ? ? ? ?， 取 2x? ， 则 ? ?2, 2,1n? . 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ? , 则? ? 22221s in 32 2 2 1n A Pn A
16、 P? ? ? ? ?. 直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 13. 20. （ 1） 拋物线的焦点 ,02pF?， 直线 AB 的方程为 : 22pyx?. 联立方程组 2 22 2y pxpyx? ? ?，消元得 : 22 204px px? ? ?， 21 2 1 22, 4px x p x x? ? ?. ? ? 2 221 2 1 21 2 4 3 4 6A B x x x x p p? ? ? ? ? ? ? ? 解得 2p? . 抛物线 C 的方程为 ： 2 4yx? . （ 2） 由 （ 1） 可得点 ? ?4,4M ， 可得直线 DE 的斜率 不为 0， 设直线 D
17、E 的方程为 ： x my t?， 9 联立2 4x my tyx? ? ，得 2 4 4 0y my t? ? ? ， 则 216 16 0mt? ? ? . 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,D x y E x y，则 1 2 1 24 , 4y y m y y t? ? ? ?. ? ? ? ?1 1 2 24 , 4 4 , 4M D M E x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 24 1 6 4 1 6x x x x y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 24 1 6 4 1
18、 64 4 4 4y y y y y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 212 1 2 1 2 1 23 4 3 216yy y y y y y y? ? ? ? ? ? ? 221 6 1 2 3 2 1 6 0t m t m? ? ? ? ? ? 即 2212 32 16 16t t m m? ? ? ?， 得 ： ? ? ? ?226 4 2 1tm? ? ?， ? ?6 2 2 1tm? ? ? ， 即 48tm?或 44tm? ? ， 代人式检验均满足 0? ， 直线 DE 的方程为： ? ?4 8 4 8x m y m m y? ? ? ? ? ?或 ? ?44x m y? ? ? . 直线过定点 ? ?8, 4? （定点 ? ?4,4 不满足题意，故舍去 ） . 21.（ 1） 因为 ? ? lnf x ax x x? ， 所以 ? ? ln 1f x a
