1、 1 广西柳州市 2018 届高三毕业班上学期摸底联考 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ? ?3A x x?， ? ?2 3 28 0B y y y? ? ? ?， 则 AB?（ ） A ? B ? ?7, 4? C ? ?7,4? D ? ?3,3? 2.已知复数 z 满足 ? ?24zi? ， i 是虚数单位，则复数 z 的虚部是（ ） A 45B 45?C 45iD 45i?3.如图是调査某地区男 女 中学生喜欢理科的等高条形阴影部分
2、表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的 （ ） 性别与 喜欢 理科有关 女生中喜欢理科的 比 为 20% 男生不比女生喜欢 理科 的可能性 大些 男生不 軎欢理科的比为 40% A B C D 4.已知 tan 4? ， 则 2sin cos sin17 sin 4? ? ? ?的值为 （ ） A 1468B 2168C 6814D 68215. 若变量 ,xy满足约束条件 11yxxyy?， 则 2z x y?的最大值为 （ ） A 1 B 2 C. 3 D 4 6.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系 ， 随机调查了该社区 5 户家庭，得到如图2 统计数据表： 收入 x （
3、万元） 8.3 8.5 9.9 11.4 11.9 支出 y （万元） 6.3 7.4 8.1 8.5 9.7 据上表得回归直线方程 y bx a?，其中 0.76,b a y bx? ? ? ，据此估计，该社区一户收入为15 万元家庭的年支出为（ ） A 11.4 万元 B 11.8 万元 C 12.0 万元 D 12.2 万元 7.函数 ? ? ? ?1 cos sinf x x x? 在 ? ?,? 上的图象的大致形状是（ ） A B C D 8.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ， 从 集合 A 中任取一个元素 a ， 则函数 ? ?, 0,ay x x? ? ?是增
4、函数的概率为 （ ） A 37B 45C. 35D 343 9.过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ） A 932B 916C.38D 31610.空间中，设 ,mn表示不同的直线， ,? 表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若 ,? ? ? ?，则 /? B若 ,mm?，则 /? C. 若 ,m ? ?，则 /m? D若 ,n mn ?，则 /m? 11.过双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?的右焦点 F 作圆 2 2 2x y a?的切线 FM （切点为 M ），交 y 轴于点 P .若 M 为线段
5、FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3 C. 2 D 5 12.已知函数 ? ? 21xf x e ? ， 直线 l 过点 ? ?0,e? 且与曲线 ? ?y f x? 相切 ， 则切点的横坐标为（ ） A 1 B 1? C. 2 D 1e? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.平面向量 a 与 b 的夹角为 60? ， ? ?2,0 , 1ab?，则 2ab? 14. 已知焦点在 x 轴上 ， 中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，若该椭圆的离心率为 13， 则椭圆的方程是 15.在锐角 ABC? 中，角 ,
6、AB 所对的边分别为 ,ab， 若 2 sin 2b A a?， 则角 B 等于 15. 已知函数 ?fx对任意 xR? 都有 ? ? ? ? ? ?6 2 3f x f x f? ? ?， ? 1y f x?的图象关于点? ?1,0 对称且 ? ?24f ? ， 则 ? ?22f ? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 点 ? ?*, nSn n Nn?均在函数 32yx?的图象上 . （ 1） 求证： 数列 ?na 为等差数列 ； （ 2） 设 nT 是数列12nnaa?的前 n
7、 项和 ， 求 nT . 4 18. 在三棱锥 P ABC? 中， PAC? 和 PBC? 是 边长为 2 的等边 三角形 ， 2AB? ， ,OD分别是 ,ABPB 的中点 . （ 1） 求证 ： /OD 平面 PAC ； （ 2） 求证 :OP? 平面 ABC ； （ 3） 求三棱锥 D ABC? 的体积 . 19. 某校 高一 年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 0 , 5 0 , 5 0 , 6 0 , 6 0 , 7 0 , 7 0 , 8 0 , 8 0 , 9 0 ,
8、9 0 ,1 0 0进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图 . （ 1） 体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好 ” .已知该校 高一 年级有 1000名学生，试估计 高一 年级中“体育良好”的学生人数 ； （ 2） 为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在 ? ?60,70 和 ? ?80,90 的样本学生中随机抽取 2 人，求在抽取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在 ? ?60,70 的概率 . 20. 已知 抛物线 C 的顶点在原点 ， 焦点在 x 轴上 ， 且抛物线上有一点 ? ?4,Pm到 焦点的 距离为 5.
9、（ 1）求该抛物线 C 的方程 ； （ 2）已 知 抛物线上一点 ? ?,4Mt ， 过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ， 且 MD ME? ，判断直线 DE 是否过定点 ？ 并说明理由 . 5 21. 已知 函数 ? ? lnf x ax x x? 在 2xe? 处取得极小值 . （ 1） 求实数 a 的值 ； （ 2）当 1x? 时，求证 ? ? ? ?31f x x?. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4 4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 244xtyt? ? ?(其中 t
10、为参数 ） .以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相 同 的单位长度，曲线 2C 的极坐标方程为2cos 42?. （ 1） 把曲线 1C 的方程化为普通方程 ， 2C 的方程化为直角坐标方程； （ 2） 若曲线 1C ， 2C 相交于 ,AB两点 ， AB 的中点为 P ， 过点 P 做曲线 2C 的垂线交曲线 1C 于,EF两点，求 PE PF? . 23. 选修 4 5:不等式选讲 已知函数 ? ? 1 2017f x x? ? ? . （ 1） 解关于 x 的不等式 ? ? 2017f x x? ； （ 2） 若 ? ? ? ? ?24 3 4 1f a f a
11、? ? ? ? ?，求实数 a 的取 值范围 . 6 试卷答案 一、选择题 1-5: DBCBC 6-10: BACAB 11、 12： AA 二、填空题 13.23 14. 1 15. 4?16. 4? 三、解答题 17. (1)依题意， 32nS nn ?， 即 232nS n n?， 2n? 时， ? ? ? ? ? ?221 3 2 3 1 2 1n n na S S n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?65n? 当 1n? 时 ， 111aS?符合上式， 所以 ? ?*65na n n N? ? ? . 又 ? ?1 6 5 6 1 5 6nna a n n? ? ? ?
12、 ? ? ?， ?na 是一个以 1 为首项， 6 为公差的等差数列 . （ 2） 由 （ 1） 知， ? ? ? ?12 2 1 1 13 6 5 6 16 5 6 1 5nna a n nnn? ? ? ? ? ? ?， 故 1 1 1 1 1 113 7 7 1 3 6 5 6 1nT nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 213 6 1 6 1nnn? ? ?. 18. （ 1） ,OD分别为 ,ABPB 的中点， /OD PA . 又 PA? 平面 PAC ,OD? 平面 PAC ， /OD 平面 PAC . （ 2）
13、连接 ,OCOP , O 为 AB 中点， 2AB? , ,1OC AB OC?. 同理， ,1PO AB PO?. 又 2PC? ， 2 2 2 2PC OC PO? ? ?， 90POC? ? ? . 7 PO OC? . ,P O O C P O A B A B O C O? ? ? ?， PO? 平面 ABC . （ 3） 由 （ 2） 可知 OP? 平面 ABC ， OP 为三棱锥 P ABC? 的高，且 1OP? . 1 1 1 12 1 16 6 2 6D A B C A B CV S O P? ? ? ? ? ? ?. 19.（ 1）由折线图知，样本中体育成绩大于 或等于 70
14、 分的学生有 30 人 . 所以 该 校高一年级学生中 ，“体育良好”的学生人数大约为 301000 75040?人 . （ 2） 设“至少有 1 人体育成绩在 ? ?60,70 为事件 M ， 记体育成绩在 ? ?60,70 的学生为 12,AA，体育成绩在 ? ?80,90 的学生为 1 2 3,BB B ， 则从这两组学生 中随机抽取 2 人，所有可能的结果如下 ：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , , ,
15、 ,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B共 10 种 . 而事件 M 所包含的结果有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , , , , ,A A A B A B A B A B A B A B共 7 种，因此事件 M 发生的概率为 710. 20. （ 1） 由题意设抛物线方程为 2 2y px? ， 其准线方程为2px?， ? ?4,Pm到焦点的距离等于 A 到其准线的距离， 452p?， 2p? . 抛物线 C 的方程为 2 4yx? . （
16、2） 由 （ 1） 可得点 ? ?4,4M ， 可得直线 DE 的斜率不为 0， 设直线 DE 的方程为 ： x my t?， 联立2 4x my tyx? ? ，得 2 4 4 0y my t? ? ? ， 则 216 16 0mt? ? ? . 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,D x y E x y，则 1 2 1 24 , 4y y m y y t? ? ? ?. 8 ? ? ? ?1 1 2 24 , 4 4 , 4M D M E x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 24 1 6 4 1 6x x x x y y y y? ?
17、? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 24 1 6 4 1 64 4 4 4y y y y y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 212 1 2 1 2 1 23 4 3 216yy y y y y y y? ? ? ? ? ? ? 221 6 1 2 3 2 1 6 0t m t m? ? ? ? ? ? 即 2212 32 16 16t t m m? ? ? ?， 得 ： ? ? ? ?226 4 2 1tm? ? ?， ? ?6 2 2 1tm? ? ? ， 即 48tm?或 44tm? ? ， 代人式检验均满足 0
18、? ， 直线 DE 的方程为： ? ?4 8 4 8x m y m m y? ? ? ? ? ?或 ? ?44x m y? ? ? . 直线过定点 ? ?8, 4? （定点 ? ?4,4 不满足题意，故舍去 ） . 21.（ 1） 因为 ? ? lnf x ax x x? ， 所以 ? ? ln 1f x a x? ? ? ?， 因为函数 ?fx在 2xe? 处取得极小值， 所以 ? ?2 0fe? ? ，即 2ln 1 0ae? ? ? ， 所以 1a? ， 所以 ? ? ln 2f x x? ?， 当 ? ? 0fx? ? 时 ， 2xe? ，当 ? ? 0fx? ? 时， 20 xe? 所以 ?fx在 ? ?20,e? 上单调递减，在 ? ?2,e? ? 上单调递 增 . 所以 ?fx在 2xe?
