1、 - 1 - 湖北省荆州市 2018 届高三数学上学期第三次双周考（ 11 月）试题 理 一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1.已知复数 z 满足 24iz i? ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A (2,4) B (2, 4)? C ( 2, 4)? D ( 4,2)? 2.已知集合 ? ?4 0 , 21 xxA x B y yx ? ? ? ?，则 AB? （ ） A (0,4 B (0,1) C (0,1 D 4,1? 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是
2、（ ） A ln( ) , ( )xf x e g x x? B 2 4( ) , ( ) 22xf x g x xx ? ? ? C s in 2( ) , ( ) s in2 c o s xf x g x xx? D 2( ) , ( )f x x g x x? 4. 已知平面向量 1(3,4), ( , )2a b x?，若 a b ，则实数 x? （ ） A 23? B 23 C 38 D 38? 5. 命题“ 2, ), 3 1xx? ? ? ? ? ?”的否定为（ ） A 00 2, ), 3 1xx? ? ? ? ? ? B 00 2, ), 3 1xx? ? ? ? ? ? C
3、 2, ), 3 1xx? ? ? ? ? ? D ( , 2 ), 3 1xx? ? ? ? ? ? 6. 已知函数 2( ) s in c o s s in , 0f x x x x? ? ? ? ? ? ?，则“ 1? ”是“函数 ()fx的最小正周期为 ? ”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 7. 已知数列 na 满足11 31, 31nn naaa a? ? ?，则 20a （ ） A 0 B 23? C 32? D 32 8. 已知实数 0, 0xy?，且 lg 2 lg8 lg 2xy?，则 113xy?的最小值为（ ） A 4 B
4、 3 C 2 D 1 - 2 - 9. 已知双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的渐近线与抛 物线 2 2 ( 0)y px p?的准线分别交于 ,AB两点，若抛物线的焦点为 F ，且 0FA FB?，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B 3 C 2 D 5 10. 已知 ,?均为锐角， 53c o s ( ) , s in ( )1 3 3 5? ? ? ? ? ? ?，则 cos( )6?（ ） A 3365 B 6365 C 3365? D 6365? 11. 已知三棱锥 A BCD? 的一条棱长为 a ，其余棱长均为 1，当三棱锥 A BCD? 的
5、体积最大时，它的外接球的表面积为（ ） A 53? B 54? C 56? D 58? 12. 已知曲线 xaye? 与 2yx? 恰好存在两条公切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2ln2 2, )? ? B (2ln2, )? C ( ,2ln2 2? ? D ( ,2ln2 2)? ? 二、填空题： （本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 .只需要填写演算结果） 13 已知函数 2( ) sin 4f x x x? ? ?，则 22 ()f x dx? ? 14 正方形 ABCD 中， M 、 N 分别是 BC 、 CD 的中点，若 AC AM BN?，且 R?、 .
6、则 ? 15 已知数列 na 满足 1 1 1 10 , 2 ( 1 ) 2 ( 1 )n n n n n n n n na a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，且1 13a?，则数列 na 的通项公式 na 16 已知函数 ()y f x? 是定义域为 R 的偶函数，当 0x? 时，5 s in ( ), 0 142()1( ) 1 , 14xxxfxx? ?, 若关于 x 的方程 25 ( ) ( 5 6 ) ( ) 6 0f x a f x a? ? ? ?()aR? 有且仅有 6 个不同的实数根 ，则实数 a 的取值范围是 三、解答题： （本大题共
7、 有 6 个 小题，共 70 分， 要求写出详细的 演算步骤 及解题过程 ） 17.（本题满分 10 分）已知函数 2 1( ) c o s 3 s i n ( ) c o s ( ) ,2f x x x x x R? ? ? ? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的最小正周期及其图像对称轴的方程； - 3 - （ 2）在锐角三角形 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a b c、 、 .已知 ( ) 1, 3,f A a? ? ? sin sinb C a A? ，求 ABC 的面积 . 18.（本题满分 12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 4724,
8、 63SS?. （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若 2 ( 1)na nnnba? ? ? ?，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 19.（本题满分 12 分）如图，直角三角形 ABC 中， 6 0 , 9 0 , 2 ,A A B C A B E? ? ? ? ? ? ?为线段 BC 上一点，且 13BE BC? ，沿 AC 边上的中线 BD 将 ABD 折起到 PBD 的位置 . （ 1）求证： PE BD? ； （ 2）当平面 PBD? 平面 BCD 时，求二面角 C PB D?的余弦值 . - 4 - 20.（本题满分 12 分）荆州市政府为促进淡水鱼养殖业的发展，将价
9、格控制在适当的范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴 .设淡水鱼的市场价格为 x 元 /千克，政府补贴为 t 元 /千克 .根据市场调查，当 8 14x? 时，淡水鱼的市场日供应量 M 千克与市场日需求量 N 千克近似满足关系； 21 0 0 0 ( 8 ) , ( 8 , 0 ) , 5 0 0 4 0 ( 8 ) , ( 8 1 4 )M x t x t N x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.当市场日供应量与市场日需求量相等时的市场价格称为市场平衡价格 . （ 1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求其定义域； （ 2）为使市场平衡价格不高于 10 元 /千克，政府补贴至少为
10、每千克多少元？ 21.（本题满分 12 分）已知椭圆 22: 1( 0 )yxC a bab? ? ? ?的上、下两个焦点分别为 1F 、 2F ，过点 1F 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M 、 N 两点， 2MNF 的面积为 3 ，椭圆的离心率为32 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）已知 O 为坐标原点，直线 : y kx m?与 y 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A 、 B 两个不同的点 .若存在实数 ? ，使 4OA OB OP?，求实数 m 的取值范围 . 22.（本小题满分 12 分）已知函数 ln() 1xxfx x? ? 与 ( ) ( 1)g x a
11、x?. （ 1）若曲线 ()y f x? 与曲线 ()y gx? 恰好相切于点 (1,0)P ，求实数 a 的值； （ 2）当 1, )x? ? 时， ( ) ( )f x g x? 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 3）求证：21 4(2 1) 41niiln n i? ?. ( *)nN? . - 5 - 高三第三次双周考参考答案及评分标准 数学（理科） 一、选择题： DBDCA BCADA AD 二、填空题： 13. 2? 14. 85 15. 12n? 16. 5(0,1 4 三、解答题： 17. 解：（ 1） ( ) cos(2 )3f x x ? ? 2 分 ()fx? 的最小
12、正周期为 ? ? 3 分 ()fx的图像对称轴的方程为 : ,26kx k z? ? ? ? 5 分 （ 2）由（ 1）知： ( ) c o s(2 ) 13f A A ? ? ? ?，又 A 为 锐角， 3A ? 7 分 由正弦定理 sin sinb C a A? 即： 2 9bc a? 1 9 3s in24ABCS b c A? ? ? ? 10 分 18. 解：（ 1）设 na 的首项为 1a ，公差为 d ，由已知得： 1 3, 2ad? 21nan? ? ? ? 6 分 （ 2）由（ 1）知： 12 1, 3na n a? ? ? 当 n 为偶数时， 12nnT b b b? ?
13、? 12 1 2 3 4 1( 2 2 2 ) ( ) ( ) ( )naaa ana a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 (1 4 ) 21 4 2n n? ? ? 8(4 1)3 n n? ? ? ? 9 分 当 n 为奇数时， 12 1 2 2 1( 2 2 2 ) ( ) ( )naaan n n nT a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 (4 1) 23 n n? ? ? ? ? 11 分 - 6 - 8 ( 4 1 ) ,38 ( 4 1 ) 2 ,3nnnnnTnn? ? ?
14、 ?为 偶 数为 奇 数? 12 分 19. 解：（ 1）略 ? 6 分 （ 2） 3 3 13co s1313? ? 12 分 20.解：（ 1） 24 2 0 0 48 5ttx ? ? ? ，定义域为 0,10 ? 6 分 （ 2）由（ 1）： 24 200 48 105ttx ? ? ? ? ?，解得： 1t? ?政府补贴至少为每千克 1 元 . ? 12 分 21. 解：（ 1） 22 14yx ? ? 4 分 （ 2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，联立方程组 22 14y kx myx? ?，消去 y 并整理得： 2 2 2( 4 ) 2 4 0
15、k x k m x m? ? ? ? ? 依题意：12 2212 22 2 2 22 ,4444 4 ( 4 ) ( 4 ) 0kmxxkmxxkk m k m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，? 6 分 又 14 , ,44O A O B O P O P O A O B P A B? ? ? ? ? 、 、共成 1 144? 即 3? ，且 1230xx? ? 8 分 由得： 222 41mk m ? ? 10 分 - 7 - 将 222 41mk m ? ?代入得： 15 1522m? ? 12 分 22. 解：（ 1） 12a? . ? 2 分 （ 2）令 ln(
16、) ( ) ( ) ( 1 )1xxF x f x g x a xx? ? ? ? ? 则21 ln() ( 1)xxF x ax? ?， ( ) 0Fx?在 1, )? 恒成立的必要条件为 (1) 0F? ? . 即 2 04 a? ， 12a? ? 5 分 又当 12a? 时， l n l n 1( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )1 1 2x x x xF x a x x h xxx? ? ? ? ? ? ? 222 2 ln ( 1 )() 2 ( 1 )x w x xhx x? ? ? ? ? ?，令 2( ) 2 2 2 ln ( 1)x x x? ? ? ? ? 则 2 2(1
17、 )( ) 0xx x? ?，即 ( ) (1) 0xg? ?， ()hx? 在 1, )? 递 减 ( ) (1) 0h x h? ? ?，即 ( ) ( ) 0F x h x? ( ) 0Fx?在 1, )? 恒成立的充分条件为 12a? . 综上，可得： 12a? ? 8 分 （ 3）设 ln(2 1)nSn?为 na 的前 n 项和，则 21lnn na n? ?要证原不等式，只需证：22 1 4ln 2 1 4 1nn? ? 10 分 由（ 2）知： 12a? 时 ( ) ( )f x g x? 即： 21ln ( 1)2x x x?（当且仅当 1x? 时取 等号） . 令 211nx n? ，则 22 1 2 1 1 2 1ln 1
