1、3.1导数与积分高考高考理数数(课标专用)考点导数的概念及其几何意义考点导数的概念及其几何意义1.(2018课标,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=xA A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组五年高考答案答案D本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,解得a=1,f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1,f(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.解后反思解后反思求
2、曲线的切线方程需注意的几个问题:(1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点.(2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建立方程组.(3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.2.(2014课标,8,5分,0.660)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案答案Dy=a-,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D.11x思路分析思路分析根据导数的几何意义得y|x=0=2,由此可求得a.方法总结方法总结已知曲线在某点处的切线,求曲线方程中的参数时,常
3、利用“切线的斜率等于曲线所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解.3.(2018课标,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案答案y=2x解析解析本题主要考查导数的几何意义.因为y=,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.21x4.(2018课标,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案答案-3解析解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)ex,则f(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f(0)=a+1=-2,解得a=-3.5.(2
4、016课标,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0),则f(x)=-3(x0),f(1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.1x思路分析思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.6.(2016课标,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案答案1-ln2解析解析直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y=,由y=ln(x+1
5、)得y=,k=,x1=,x2=-1,y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A,B,A、B在直线y=kx+b上,1x11x11x211x 1k1k1,ln2kk11,lnkk12ln,1ln1kkbkkkbk1ln2,2.bk 思路分析思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.7.(2014课标,21,12分,0.244)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.1exbx解析解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)
6、=aexlnx+ex-ex-1+ex-1.由题意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exlnx+ex-1,从而f(x)1等价于xlnxxe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx.所以当x时,g(x)0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g=-.ax2bxbx2x2e10,e1,e10,e1,e1e1e设函数h(x)=xe-x-,则h(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.2e1e思路分析思路分析(1)利用导数的几
7、何意义及切线过切点求a,b的值;(2)利用(1)得f(x)的解析式,将f(x)1等价转化为xlnxxe-x-,构造函数g(x)=xlnx,h(x)=xe-x-,再利用导数分别求出g(x)min,h(x)max,进而得g(x)h(x),从而证得原不等式成立.2e2e方法总结方法总结证明不等式,可构造函数,转化为求解函数最值的问题.考点一导数的概念及其几何意义考点一导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=
8、x3B B组组 自主命题自主命题省省(区、市区、市)卷题组卷题组答案答案A设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f(x1)f(x2)=-1即可.y=f(x)=sinx的导函数为f(x)=cosx,则f(0)f()=-1,故函数y=sinx具有T性质;y=f(x)=lnx的导函数为f(x)=,则f(x1)f(x2)=0,故函数y=lnx不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f(x)=ex,则f(x1)f(x2)=0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f(x)=3x2,则f(x1)f(x2)=90
9、,故函数y=x3不具有T性质.故选A.1x121x x12exx21x22x2.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案答案(-ln2,2)解析解析令f(x)=e-x,则f(x)=-e-x.设P(x0,y0),则f(x0)=-=-2,解得x0=-ln2,所以y0=eln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).0ex0ex3.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.1x答案答案(1,1)解析解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处
10、的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=的导函数为y=-,曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-,由题意知k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).1x21x1x201x201x20 x1x4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析解析(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,知即解得a=2,b=
11、e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).(2)2e2,(2)e1,ff222e22e2,ee 1.aabb考点二定积分的运算及应用考点二定积分的运算及应用1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象
12、限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.422答案答案D由得x=0或x=2或x=-2(舍).S=(4x-x3)dx=4.34,yxyx2024124xx20评析评析本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.2.(2014江西,8,5分)若f(x)=x2+2()A.-1B.-C.D.11100()d,()df xxf xx 则1313答案答案B令11122310000111()d,()2,()d(2)d2|2,B.333f xxmf xxmf xxxmxxmxmmm 则所以解得故选mmm3.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)
13、dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sinx,g(x)=cosx;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3111212答案答案C由得f(x)g(x)=sinxcosx=sinx,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以为区间-1,1上的正交函数;由得f(x)g(x)=x2-1,所以f(x)g(x)dx=(x2-1)dx=-,所以不是区间-1,1上的正交函数;由得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以为区间-1,1上的正
14、交函数.故选C.12121211111133xx1143114.(2014湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=2305671236答案答案A由f(x)dx=sin(x-)dx=-cos(x-)=-cos+cos=0,得cos=sin,从而有tan=,则=n+,nZ,从而有f(x)=sin=(-1)nsin,nZ.令x-=k+,kZ,得x=k+,kZ,即f(x)的图象的对称轴是x=k+,kZ,故选A.230230230233232333xn3x3256565.(2015湖南,11,5分)dx=
15、.20(1)x答案答案0解析解析dx=(2-2)-0=0.20(1)x212xx206.(2015天津,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案答案16解析解析曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由解得x=0或x=1,所以S=(x-x2)dx=-=.2,yxyx10231123xx10121316考点一导数的概念及其几何意义考点一导数的概念及其几何意义1.(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()
16、A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2251 t113C C组组 教师专用题组教师专用题组答案答案C由v(t)=0得t=4.故刹车距离为s=v(t)dt=dt=4+25ln5(m).404025731tt23725ln(1)2ttt402.(2012课标,12,5分)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)1222答案答案B由y=ex得ex=2y,所以x=ln2y,所以y=ex的反函数为y=ln2x,所以y=ex与y=ln2x的图象关于直线y=x对称,所以两条曲
17、线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令(ln2x)=1,解得x1=1,令=1,解得x2=ln2,所以两点为(1,ln2)和(ln2,1),故d=(1-ln2),故选B.1212121x1e2x23.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=.答案答案2解析解析令ex=t,则f(t)=lnt+t,所以f(x)=lnx+x(x0),所以f(x)=+1,所以f(1)=1+1=2.1x4.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在
18、直线L的下方.lnxx解析解析(1)设f(x)=,则f(x)=.所以f(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1).g(x)满足g(1)=0,且g(x)=1-f(x)=.当0 x1时,x2-10,lnx0,所以g(x)1时,x2-10,lnx0,所以g(x)0,故g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)=0(x0,x1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.lnxx21 lnxx221lnxxx 考点二定积分的运算及应用考点二定积分的运算及应用1.(2014陕西,3,5分)定积分(2x+ex)
19、dx的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-110答案答案C(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e1-1=e,故选C.10102.(2013江西,6,5分)若S1=()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S12222231231111d,d,e d,xxx Sx SxS S Sx则的大小关系为答案答案BS1=x3=,S2=lnx=ln2,S3=ex=e2-e.ln21e,故S2S10),将点B的坐标代入,得p=,故抛物线的方程为y=x2.从而曲边三角形OEB的面积为x2dx=.又SABE=22=2,254225502253275x5010312故曲边三角形OAB
20、的面积为,从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形ABCD的面积为2=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为=1.2.43836 1021681635.(2013湖南,12,5分)若x2dx=9,则常数T的值为.0T答案答案3解析解析x2dx=9,解得T=3.0T33x0T33T6.(2013福建,15,5分)当xR,|x|1时,有如下表达式:1+x+x2+xn+=.两边同时积分得:11x111112222220000023123101211ddddd,1:11111111ln2.2223212,:1111111CCCC2223212nnnnnnnnxx xxxxxxxnn从而得到如下等
21、式请根据以上材料所蕴含的数学思想方法 计算.答案答案11n1312n解析解析+x+x2+xn=(1+x)n,两边同时积分得:+xdx+x2dx+xndx=(1+x)ndx,从而得到如下等式:+=.0Cn1Cn2CnCnn1020C dnx1201Cn1202Cn120Cnn1200Cn12121Cn212132Cn31211nCnn112n11n1312n考点一导数的概念及其几何意义考点一导数的概念及其几何意义1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f(x),且满足f(x)=2xf(1)+ln,则f(1)=()A.-eB.2C.-2D.e1x三年模拟A A组组 201
22、2016 62012018 8年高考模拟年高考模拟基础题组基础题组答案答案B由已知得f(x)=2f(1)-,令x=1得f(1)=2f(1)-1,解得f(1)=1,则f(1)=2f(1)=2.1x2.(2018广东深圳二模,7)设函数f(x)=x+b,若曲线y=f(x)在点(a,f(a)处的切线经过坐标原点,则ab=()A.1B.0C.-1D.-21x答案答案D由题意可得,f(a)=a+b,f(x)=1-,所以f(a)=1-,故切线方程是y-a-b=(x-a),将(0,0)代入得-a-b=(-a),故b=-,故ab=-2,故选D.1a21x21a1a211a1a211a2a3.(2017山西名校
23、联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3cosxB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin2xD.f(x)=ex+x答案答案CA选项中,f(x)=-3sinx,其图象不关于y轴对称,排除A选项;B选项中,f(x)=3x2+2x,其图象的对称轴为x=-,排除B选项;C选项中,f(x)=2cos2x,其图象关于y轴对称;D选项中,f(x)=ex+1,其图象不关于y轴对称.134.(2016安徽安庆二模,7)给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导函数,f(x)是函数f(x)的导函数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x
24、0)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sinx-cosx的拐点是M(x0,f(x0),则点M()A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上答案答案Bf(x)=3+4cosx+sinx,f(x)=-4sinx+cosx,结合题意知4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0,f(x0)在直线y=3x上.故选B.5.(2018安徽淮南一模,21)已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)在函数f(x)=x2-lnx的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,
25、且切点的横坐标都在区间上?若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由.1,12解析解析(1)由题意可得f(1)=1,且f(x)=2x-,f(1)=2-1=1,则所求切线方程为y-1=1(x-1),即y=x.(2)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2,不妨设x1x2,结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得=-1,又函数f(x)=2x-在区间上单调递增,函数的值域为-1,1,故-12x1-0,排除选项C.故选A.0,2思路分析思路分析求出函数的导函数,得到切线斜率的解析式,然后判断图象.易错警示易错警示求导时注意不要计算错误.2.(2018安徽淮北
26、一模,12)若存在实数x使得关于x的不等式(ex-a)2+x2-2ax+a2成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.1212 14 1,21,4答案答案A存在实数x使不等式(ex-a)2+x2-2ax+a2成立,即(ex-a)2+x2-2ax+a2min,易知(ex-a)2+x2-2ax+a2即为(ex-a)2+(x-a)2,表示点(x,ex)与(a,a)的距离的平方.由(a,a)在直线l:y=x上,设与直线l平行且与曲线y=ex相切的直线的切点为(m,n),可得切线的斜率为em=1,解得m=0,n=1,切点为(0,1),由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=ex上的点之间的距离的
27、最小值,可得(0-a)2+(1-a)2,解得a=,则a的取值集合为.故选A.1212121212 解题关键解题关键将(ex-a)2+x2-2ax+a2转化为(ex-a)2+(x-a)2,得其表示点(x,ex)与(a,a)的距离的平方是求解本题的关键.3.(2018安徽江南十校4月联考,10)若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a0)存在公共切线,则a的取值范围为()A.(0,1)B.C.D.exa2e1,42e,242e,4答案答案D曲线y=x2在点(m,m2)的切线斜率为2m,曲线y=(a0)在点的切线斜率为en,如果两条曲线存在公共切线,那么2m=en.又由直线的斜率公式得到2m=,则有
28、m=2n-2,则由题意知4n-4=en有解,即y=4x-4,y=ex的图象有交点.若直线y=4x-4与曲线y=ex相切,设切点为(s,t),则es=4,且t=4s-4=es,可得切点为(2,4),此时=,故要使满足题意,需,则a,故a的取值范围是a.故选D.exa1,enna1a1a21enmamn1a1a1a1a1a1a24e1a24e2e42e4解题关键解题关键将原问题转化为方程有解问题,进而转化为两函数图象有交点问题是解题的关键.方法总结方法总结解有关公切线问题的一般步骤:设出切点坐标(x1,y1),(x2,y2);由f(x1)=f(x2)建立方程关系结合公切线知识求解.4.(2017江
29、西南昌联考,11)已知函数f(x)是定义在(0,+)上的可导函数,f(x)为其导函数,当x0且x1时,0,若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为-,则f(1)=()A.0B.1C.D.2()()1f xxfxx343815答案答案C当x0且x1时,0,可得x1时,2f(x)+xf(x)0;0 x1时,2f(x)+xf(x)1时,g(x)0;0 x1时,g(x)0构造函数g(x)=x2f(x),进而判断出x=1是g(x)的极值点是解题的关键.2()()1f xxfxx二、填空题二、填空题(每题每题5 5分分,共共5 5分分)5.(2017安徽六安第一中学模拟,14)已知a0,展开式的常数项为
30、240,则(x2+xcosx+)dx=.6axxaa24x答案答案+2163解析解析展开式的常数项为a4=240,得a4=16,a=2,故所求式子为(x2+xcosx+)dx=x2dx+xcosxdx+dx.dx=2dx=2,x2dx=x3=,xcosxdx=(xsinx+cosx)=0,(x2+xcosx+)dx=+2.6axx26C2224x22222224x2224x2024x2213221632222|2224x163思路分析思路分析展开式常数项为a4=240,得a4=16,a=2,进而代入定积分求值.6axx26C解题关键解题关键本题考查的知识点较多,关键是利用二项展开式的通项公式求
31、出a,利用积分的几何意义求得dx=2;利用微积分基本原理求得xcosxdx=(xsinx+cosx)=0.2224x2222|三、解答题三、解答题(共共1010分分)6.(2017福建漳州八校2月联考,21)已知函数f(x)=x2+ax-3,g(x)=,当a=2时,f(x)与g(x)的图象在x=1处的切线相同.(1)求k的值;(2)令F(x)=f(x)-g(x),若F(x)存在零点,求实数a的取值范围.lnkxx解析解析(1)当a=2时,f(x)=x2+2x-3,f(x)=2x+2,则f(1)=4,又因为f(x)和g(x)的图象在x=1处的切线相同,g(x)=,所以g(1)=k=f(1)=4.
32、(4分)(2)因为F(x)=f(x)-g(x)有零点,所以方程x2+ax-3-=0有实根,即a=有实根.令h(x)=-x+,则h(x)=-1-=.令(x)=4-8lnx-x3-3x(x0),则(x)=-3x2-31时,(x)0;所以当x1时,h(x)0.故h(x)在(1,+)上为减函数,在(0,1)上为增函数,即h(x)max=h(1)=2.易知当x+时,h(x)-,当x0时,h(x)-.根据h(x)的大致图象可知a2.(10分)思路分析思路分析(1)根据导数几何意义得f(1)=g(1),由此即可求解.(2)利用参变量分离法将零点问题转化为相应函数的值域问题.方法总结方法总结已知函数有零点求参
33、数取值范围的常用方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出两相应函数的图象,然后数形结合求解.编后语 老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可
34、以抓住老师的思路。根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。2023-6-30最新中小学教学课件402023-6-30最新中小学教学课件41谢谢欣赏！
