1、 1 湖南省长沙市 2018 届高三数学上学期第二次月考试题 文 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分150 分。 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.下列集合中，是集合 ? ?xxxA 5| 2 ? 的真子集的是（ ） A ?5,2 B ? ?，6 C ? ?5,0 D ? ?5,1 2.某市国庆节 7 天假期的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这 7 天的认购量与成交量做出如下判断： 日成交量
2、的中位数是 16；日成交量超过日平均成交量的有 2 天；认购量与日期正相关； 10 月 7 日认购量的增量大于 10 月 7 日成交量的增量，上述判断中错误的个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3.设复数 ? ?Rbbiz ?1 ，且 4i3z2 ? ，则 z 的虚部为（ ） A 2? B 4? C 2 D 4 4.如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食 ，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ） 2 A 41? B 12 C. 4 D 121?
3、5.在等比数列 ?na 中，若 84,aa 是方程 0232 ? xx 的两根，则 6a 的值是（ ） A 2? B 2? C. 2 D 2? 6.若点 ? ?yxP, 在线段 AB 上运动，且 ? ? ? ?2004 ， BA ，设 yxT 22 loglog ? ，则（ ） A T 有最大值 2 B T 有最小值 1 C.T 有最大值 1 D T 没有最大值和最小值 7.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 12.6（立方寸），则图中的 x 为（ ） A 1.2 B 1.6 C.1.8 D 2
4、.4 8.变量 yx、 满足条件?1101xyyx ，则 ? ? 222 yx ? 的最小值为（ ） A 223 B 5 C.5 D 29 9.已知函数 ? ? xxxf 2cossin? ，则下列关于函数 ?xf 的结论中，错误的是（ ） A最大值为 1 B图象关于直线 2?x 对称 C.既是奇函数又是周期函数 D图象关于点 ? 0,43x中心对称 10.已知函数 ? ? axf xx ? ?124 没有零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1?a B 0?a C. 0?a D 1?a 11.在 ABC? 中，角 CBA , 的对边分别为 cba, ，若 ABC? 为锐角三角形，且满足3
5、 ? ?CB cos21sin ? CACA si nco sco ssi n2 ? ，则下列等式成立的是（ ） A ba 2? B ab 2? C. BA 2? D AB 2? 12.已知函数 ? ? eexeaxxf ,1(13 ? 是自然对数的底）与 ? ? xxg ln3? 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ? ?40 3?e， B ? ?21,0 3e，C. ? ? 4,21 3eeD ? ? ,43e 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22-23题为选考题，考生根据要求作答 . 二、
6、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.向量 ? ? ? ?2,1,2, ? bma ，若 ba? ，则 ?ba 14.已知函数 ? ?xe xxxf 22 ? ， ?xf 为 ?xf 的导函数，则 ?0f 的值为 15.已知 ? 为锐角，且5528cos ? ?，则 ? ? 42tan ? 16.正方体的 8 个顶点中，有 4 个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. ABC? 的内角 CBA , 的对边分别为 cba, ，已知 2sin8)sin(
7、 2 BCA ? . （ ）求 Bcos ； （ ）若 6?ca ， ABC? 的面积为 2，求 b . 18. 设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且1212 ? nnS， ?nb 为等差数列，且? ? 112211 , abbaba ? . （ ）求数列 na 和 ?nb 的通项公式； （ ）设nnn abc ? ，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT . 4 19. 如图，在四棱锥 ABCDP? 中， ?PD 平面 ABCD ,地面 ABCD 是菱形，?60?BAD , 2?AB , OPD ，6? 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点 . （ ）证明：平面 ?EAC
8、 平面 PBD ； （）若 /PD 平面 EAC ，求三棱锥 EADP? 的体积 . 20. A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士 -12369”的绿色环保活动小组对 2014 年 1 月 -2014 年 12 月内空气质量指数 API 进行监测，如表是在这一年随机抽取的 100 天的统计结果： 指数 API 0,50 (50,100 (100,150 (150,200 (200,250 (250,300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 （ ）若 A 市某企业每天由空气污染造成的经济损
9、失 P （单位：元）与空气质量指数 API（记为 t ）的关系为：300 3001001000,1500 ,40040? ? ?t tttP ， ，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失 ? ?600200，?P 元的概率； （）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为中度污染，完成 22? 列联表，并判断是否有 95%的把握认为 A 市本年度空气中度污染与供暖有关？ 非中度污染 中度污染 合计 供暖季 _ _ _ 非供暖季 _ _ _ 合计 _ _ 100 下面临界值 表供参考 . ? ?kKP ?2 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
10、5 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：? ? )()()( )(22dbcadcba beadnK21. 已知函数 ? ? ? ? ? ? ?Raxxaxf ? ln212 . （ ）若曲线 ? ? ? ? xxfxg ? 上点 ? ?11 g， 处的切线过点 ? ?2,0 ，求函数 ?xg 的单调减区间； （）若函数 ? ?xfy? 在 ? 2,10，上无零点，求 a 的最小值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为
11、极点，以 x 轴正半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为? ? 4cos24 ? . （ ）将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）过点 )02(，P 作斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于 BA, 两点，试求PBPA 11 ?的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? |121| ? xxxf 的最大值为 k . （ ）求 k 的值； （ ）若 ? ?0,0211 ? nmknm ，求证： 22 ? nm . 6 数学（文科）参考答案 一、选择题 1-5:DCAAC 6-10:CBCDA 11、 12： AA 二、填空题 13.5 14.2 15. 43? 16. 1:3
12、 三、解答题 17.【解析】（ ） ? ? 2sin8sin 2 BCA ? , ? ?BB cos14sin ? ， 1cossin 22 ? BB ， ? ? 1co sco s116 22 ? BB ， ? ? ? 01co s15co s17 ? BB , 1715cos ?B . （）由（）可知 178sin ?B ， 2sin21 ? BacS ABC， 217?ac ， 17152172c o s2 22222 ? caBaccab ? ? 415173615215 222 ? accaca ， 2?b . 18. 【解析】（ ）当 1?n 时， 111 ?Sa ， 当 2?n
13、时，1211 2 12 122 12 ? ? ? ? nnnnnn SSa， 经验证当 1?n 时，此式也成立，所以121? nna， 从而 2,1211211 ? aabbab ， 又因为 ?nb 为等差数列，所以公差 ? ? 12211,2 ? nnbd n ， 7 故数列 ?na 和 ?nb 通项公式分别为： 12,211 ? ? nba nnn. （）由（）可知 ? ? 112122 112 ? nnn nnc ， 所以 ? ? 1210 212252321 ? nn nT ? 2? 得 ? ? ? ? nnn nnT 2122322523212 1321 ? ? -得： ? ? ?
14、? nnn nT 21222221 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nnnnn nnn 232321242121221 21221 11 ? ? . 数列 ?nc 的前 n 项和 ? ? nn nT 2323 ? . 19. 【解析】（ ）证明： ?PD 平面 ABCD , ?AC 平面 ABCD ， PDAC? .四边形 ABCD 是菱形， BDAC? . 又 DBDPD ? , ?AC 平面 PBD . 而 ?AC 平面 EAC ,平面 ?EAC 平面 PBD . （） /PD 平面 EAC ,平面 ?EAC 平面 OEPBD? , OEPD/ , O 是 BD 中点， E
15、是 PB 中点 . 取 AD 中点 H ，连结 BH ，四边形 ABCD 是菱形， ?60?BAD ， ADBH? ,又 ? BHDPDADPDBH ,. ?平面 PAD , 323 ? ABBH . PADBPADEEADP VVV ? ? 212236221613121 ? ? BHS PAD . 8 20. 【解析】（ ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 ? ?600200，?P 元”为事件 A . 由 6004004200 ? t ，得 250150 ?t ，额数为 39， 10039)( ?AP . （）根据题中数据得到如表： 非中度污染 中度污染 合计 供暖季 22 8 30
16、 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 2K 的观测值 ? ? 841.3575.470301585 722863100 22 ? ?K 所以有 95%的把握认为 A 市本年度空气中度污染与供暖有关 . 21. 【解析】（ ） ? ? ? ? ? ? xaxaxg ln223 ? ， ? ? xaxg 23 ? ， ? ag ?11 ， 又 ? 11?g ， 101 211 ?a ，解得： 2?a . 由 ? ? 02223 ? xxxxg ，解得： 20 ?x ， 函数 ?xg 在（ 0,2）递减； （） ? ? 0?xf 在 ? 210，恒成立不可能， 故要使 ?xf 在 ? 210，无零点，只需任意 ? ? 0,21,0 ? xfx恒成立， 即对 1ln22),21,0( ? x xax 恒成立， 令 ? ? )21,0(,1ln22 ? xx xxl ， 则 ? ? ? ?2122ln2?x xxxl ， 再令 ? ? 22ln2 ? xxx
