1、 - 1 - 江西省奉新县 2018届高三数学上学期第四次月考试题 理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1 已知集合 M=x|y=ln(2-x2 ),N=x| Zxeee x ? ? ,1 21 ，则 MN? （ ） A ?1 B ? ?1,0? C ? ?1,0,1? D ? 2已知 221 ( 3 2 )z m m m i? ? ? ? ?（ ,m Ri? 为虚数单位），则 “ 1m? ” 是 “ z 为纯虚数 ”的 （） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3.记
2、 nS 为等差数列 na 的前 n项和 .若 3 4 812, 64a a S? ? ?，则 na 的公差为 （ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知向量 ,ab的夹角为 060 ，且 2ab?，则向量 ab? 在向量 a 方向上的投影为 （ ） A 3 B 3 C 3? D 3? 5若点 P(2,0)到双曲线 x2a2y2b2 1的一条渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C 2 2 D 2 3 6.已知函数 ? ? ? ?s i n 3 c o s 0f x x x? ? ? ? ?的图 象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 2 ，若将函数 ?
3、?y f x? 的图象向左平移 6 个单位长度得到函数 ? ?y g x? 的图象，则在下列区间中使 ? ?y g x? 是减函数的是 ( ) A (),03? B ( , )44? C (0 )3， D ( , )43 7.已知数列 na 中， 1 1, naS? 为数列 na 的前 n 项和，当 2n? 时，恒有 2n n n nka a S S? 成立，若99 150S ?，则 k 的值是 （ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.设 x， y满足约束条件?0,002063yxyxyx ，若目标函数 z=ax+by（ a 0， b 0）的是最大值为 12，- 2 - 则 23ab
4、? 的最小值为 （ ） A 625 B 38 C 311 D 4 9已知直线 x+y k=0（ k 0）与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A、 B， O是坐标原点，且有，那么 k的取值范围是（ ） A B C D 10.设过曲线 () xf x e x? ?上任意一点处的切线为 1l，总存在过曲线 ( ) 2 si ng x xa x?上一点处的切线 2l，使得 12ll?，则实数 a的取值范围是 （ ） A.( 2,3? B. ( 2,3)? C. ( 1,2)? D. 1,2? 11.在 ABC? 中，已知 9 , s i n c o s s i n , 6ABCA B A C B A
5、 C S? ? ? ? ?， P 为线段 AB 上的点，且| | | |C A C BC P x yC A C B? ? ? ?则 xy 的最大值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 12已知函数()f x?是定义域为 R的偶函数 . 当0x?时，5 sin , 0 x 2 44()1( ) 1 , x 22xxfx? ? ? ?， 若关于x的方程2 ( ) ( ) 0f x af x b? ? ?（,ab R?） ,有且仅有 6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ） A5( , 1)2?B59( , )24C9( -4?，D 5 9 9( , ) ( , 1)2 4 4? ? ? ?
6、二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 13.设函数 ? ?f x x axm 的导函数 ( ) 2 1f x x ,则 21 ()f x dx?的值等于 14.已知离心率为 2的双曲线 221xymn? ?Rnm ?, 的焦点与椭圆 145 22 ? yx 的焦点重合 ,则 mn =_ . 15.如图，梯形 ABCD 中， / / , 6 , 2A B C D A B A D D C? ? ?， 若 2AD BC? ? ，则 AC BD?_. 16. 已知函数 2017( ) sinf x x x x? ? ? ?，若 0,2? ?, ? ? ? ?2c o s 3 s i
7、 n 3 2 0f m f m? ? ? ? ?恒成立，则实数 m 的取值范围是 D CBA- 3 - 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17 (本题 10分 )如图，直角三角形 ABC的顶点 A的坐标为 ( 2,0)，直角顶点 B的坐标为 (0， 2 2)，顶点 C在 x轴上 (1)求 BC边所在直线的方程 (2)圆 M是 ABC的外接圆，求圆 M的方程 18.（本题 12分 )已知向量 )1,(sin ? xm ，向量 )21,cos3( ? xn ，函数 mnmxf ? )()( (1)求 ()fx的最小正周期 T ； (2)已知 a ， b ， c 分别
8、为 ABC? 内角 A ， B ， C 的对边， A 为锐角， 23a= ， 4c= ，且 ()fA恰是 ()fx在 0 ， 2p 上的最大值，求 A ， b 和 ABC? 的面积 S . 19. （本题 12分）在等差数列 ?na 中， 1 3a? ，其前 n 项和为 nS ，等比数列 ?nb 的各项均为正数， 1 1b? ，且 2211bS?， 3329Sb? （ 1）求数列 ?na 和 ?nb 的通项公式； （ 2）令 1( 1)2n nn nac nb?，设数列 ?nc 的前 n 项和为 nT ，求 1n nT T?（ *nN? ）的最大值与最小值 - 4 - 20（本题 12分） 已
9、知椭圆的焦点坐标为1F(-1,0)，2(1,0)，过2F垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q两点，且 |PQ|=3， （ 1） 求椭圆的方程； （ 2） 过2的直线 l与椭圆交于不同的两点 M、 N，则1FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由 . 21 （本题 12分） 已知函数 ( ) 2 ( ) 8 ,xmf x e x a a R? ? ? ? ?. （ 1）若 1m? 时，函数 ()fx存在两个零点，求 a 的取值范围； （ 2）若 2m? 时，不等式 ( ) 0fx? 在 0, )x? ? 上恒成立，求 a 的取值范围 . 22
10、（ 1）（本题 6分） 求不等式 2212 aaxx ? 的解集 （ 2）（本题 4分）已知 babaabba ? 22,0,0 求证 - 5 - 数学（理科）参考答案 一、选择题： BCBAA DBACD CD 二、填空题： 13. 65 14. 31? 15. 14? 16. ? ? ,31三、解答题： 17 解： (1)设 C(x0,0)，则 kAB 2 20 ( 2) 2. ? 2分 kBC 0 2 2x0 0 2 2x0. AB BC， kAB kBC 1， ? 3分 即 22 2x0 1， x0 4， ? 5分 C(4,0)， kBC22 ， ? 6分 直线 BC的方程为 y 02
11、2 (x 4)，即 y22 x 2 2. ? 8分 (2)圆 M以线段 AC为直径， AC的中点 M的坐标为 (1,0)， ? 9 分 半径为 3， ? 10 分 圆 M的方程为 x2 y2 2x 8 0. ? 12 分 18.解： (1) 2 1( ) ( ) s i n 1 3 s i n c o s 2f x m n m x x x? ? ? ? ? ? ? ? 2分 1 c o s 2 3 11 s in 22 2 2x x? ? ? ?31s in 2 c o s 2 222xx? ? ? sin(2 ) 26x ? ? ? ? 5分 因为 2? ，所以 22T ? ? ? 6分 (
12、2) 由 ( )知： ( ) s in ( 2 ) 26f A A ? ? ?0, 2x ?时 , 526 6 6x? ? ? ? ? ? 由正弦函数图象可知 ,当 2 62x ?时 ()fx取得最大值 3 所以 2 62A ?, 3A ? ? 8分 由余弦定理， 2 2 2 2 c o sa b c bc A? ? ? 2 11 2 1 6 2 4 2bb? ? ? ? ? 2b? ? 10 分 从而 11s i n 2 4 s i n 6 0 2 322S b c A? ? ? ? ? ? 12 分 - 6 - 19.解：（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ，等比数列 ?nb 的公比
13、为 q ， 则23 3 1 1 ,2 ( 3 3 3 2 ) 9 ,dqd d q? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分 解得 3d? ， 2q? ， ? 4分 所以 3nan? ， 12nnb ? ? 6分 （ 2）由（ 1）得 13 ( )2 nnc ? ? ?，故 11 ( )2 nnT ? ? ?， ? 7分 当 n 为奇数时， 11 ( )2 nnT ?， nT 随 n 的增大而减小，所以1 31 2nTT? ? ?； ?8分 当 n 为偶数时， 11 ( )2 nnT ?， nT 随 n 的增大而增大，所以23 14 nTT? ? ?， ?9分 令 1()f x x x? ， 0
14、x? ，则21( ) 1 0fx x? ? ?，故 ()fx在 0x? 时是增函数 故当 n 为奇数时，1 11 1 50 6n nTTTT? ? ? ? ?； ? 10 分 当 n 为偶数时，2 21 1 70 12n nTTTT? ? ? ? ? ?， ? 11 分 综上所述， 1n nT T?的最大值是 56 ，最小值是 712? ? 12分 20（ 1） 设椭圆方程为22xyab?=1（ ab0） ,由焦点坐标可得 c=1? 1分 由 PQ|=3，可得ba=3， 解得 a=2， b=3，故 椭圆方程为43?=1 ? 4分 （ 2） 设 M11( , )xy， N22( , ),不妨1y
15、0, 20,设1FMN的内切圆的径 R， 则1FMN的周长 =4a=8，112FMNS ?（ MN+ M+ N） R=4R 因此1FMNS最大， R就最大，1 2 1 2 1 21 ()2A M NS F F y y y y? ? ? ?， ? 6分 - 7 - 由题知，直线 l的斜率不为零，可设直线 l的方程为 x=my+1， 由221143x myxy? ?得22(3 4)my?+6my-9=0， 得21 23 6 134mmy m? ? ? ?，22 23 6 1y m? ? ? ?， ? 8分 则12AMNS ?AB（12yy?） = =2212 134mm ?，令 t=2 1?,则
16、t 1,? 10 分 则22212 1 12 12 13 4 3 1 3A M NmtSmt t t? ? ? ?,令 f（ t） =3t+1t，当 t 1时， f(t)在 1,+ )上单调递 增，有 f(t) f(1)=4, AMNS123=3,即当 t=1,m=0时，AMNS123=3, AMNS=4R，maxR=34，这时所求内切圆面积的最大值为16 . 故直线 l:x=1， AMN内切圆面积的最大值为 ? 12分 21. 解：（ 1） ( ) 2 1xf x e?令 ( ) 0fx? 得 ln2x? ? 1分 x ( , ln2)? ln2? ( ln2, )? ? ()fx ? 0
17、? ()fx 递减 极小值 递增 , ( ) . , ( )x f x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3分 且 ( ) 0fx? 有两个不等实根 ( ln 2) 0f? ? ? 即 1 ( ln 2 ) 8 0a? ? ? ? ? 9 ln 2a? ? ? -5分 （ 2） ( ) 2 2 ( )xf x e x a? ? ?，令 ( ) 2 2( )xh x e x a? ? ? 则 ( ) 2 2xh x e? ?又 0x? ， ( ) 0hx?， ( )fx? 在 0, )? 在单调递增? 6分 又 m in( ) ( 0 ) 2 (1 )f x f a?
