1、 - 1 - 江西省临川区 2018届高三数学上学期第二次月考试题 理 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分） 1 若集合 M x R| 3 x 1， N x Z| 1 x2 ，则 M N （ ） A. 0 B. 1,0 C. 1, 1） D. 2, 1,0,1,2 2 若复数 z 满足 izi ? 3)21( ，则复数 z 的虚部为（ ） A 37? B i37? C 57 D i57 3 设 ,Rxy? ，则 “ 229xy?” 是 “ 3x? 且 3y? ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 4已知平面向量
2、a ， b 满足 3a? ， 2b? ， 3ab? ? ，则 2ab?（ ） A 1 B 7 C 43? D 27 5 曲线 3xy? 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 A ， OAB? (O 是原点 )是以 A 为顶点的等腰三角形，则切线 l 的倾斜角为 （ ） A 30 B 45 C 60 D 120 6 在 ABC? 中， E ， F 分别为边 AB ， AC 上的点，且 2AE EB? ， AF FC? ，若3AB? ， 2AC? ， 60A?，则 BFEF? =（ ） A. 72 B. 92 C. 134 D. 154 7若 ,2?,则 3c o s 2 sin4?,则 si
3、n2? 的值为（ ） A. 118 B. 118? C. 1718 D. 1718? 8对于下列命题： 在 ? ABC中， 若 cos2A=cos2B,则 ? ABC为等腰三角形； ? ABC中角 A、 B、 C的对边分别为 ,abc,若 2, 5, 6a b A ? ? ?，则 ? ABC有两组解； 设 2 0 1 4 2 0 1 4 2 0 1 4s i n , c o s , t a n ,3 3 3a b c? ? ? ? ? 则 ;abc? - 2 - 将函数 2 sin(3 )6yx?的图象向左平移 6? 个单位，得到函数 y =2cos(3x+6? )的图象 . 其中正确命题的个
4、数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 9 已知定义在 R 上的函数 )(xfy? 满足： 对于任意的 Rx? ，都有)(1)2( xfxf ?； 函数 )2( ? xfy 是偶函数； 当 ? ?2,0?x 时， xexf x 1)( ? ， 设 a? )5(?f ，b? )219(f ， c? )441(f ，则 ,abc 的大小关系是 （ ） A b a c? B c a b? C b c a? D a b c? 10 已知函数 ?fx是函数 ?fx的导函数， ? 11f e? ，对任意实数都有 ? ? ? ? 0f x f x? ? ?，则不等式 ? ? 2xf x e ? 的解集
5、为 （ ） A. ? ?,e? B. ? ?1,? C. ? ?1,e D. ? ?,e? 11已知 1 1, 1,()ln , 0 1? ? ?xfx xxx，若 ( ) ( 1)f x k x?恒成立，则 k 的取值范围是 （ ） A.(1, )? B. ( ,0? C. (0,1) D. 0,1 12 设定义域为 R 的函数 125 1 , ( 0 )()4 4 , ( 0 )x xfxx x x? ? ? ? ?若关于 x 的方程22( ) ( 2 1 ) ( ) 0f x m f x m? ? ? ?有 7个不同的实数解，则 m=（ ） A. 2 B. 4或 6 C. 2或 6 D.
6、 6 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13已知 1 1 1( , )Px y ， 2 2 2( , )P x y 是以原点 O 为圆心的单位圆上的两点， 12POP ?（ ? 为钝- 3 - 角）若 3sin( )45?，则 1 2 1 2xx yy? 的 值 为 _ 14已知向量 ? ?1, 3a? ， ? ?3,bm? ，且 b 在 a 上的投影为 3? ，则向量 b 与 a 夹角为_ 15 已知函数 ? ? 323 232tf x x x x t? ? ? ?在区间 ? ?0,? 上既有极大值又有极小值，则 t 的取值范围是 _ 16点 ? ?Pa b， 在函
7、数 2 3ln xyx? 的图象上，点 ? ?Qc d， 在函数 2yx? 的图象上，则 ? ? ? ?22a c b d?的最小值为 _ 三、解答题：（本大题共 6小题， 17 题 10分， 18、 19、 20、 21、 22题 12分，共 70分） 17 已知 ? ? ?0 , : 2 3 0m p x x? ? ? ?， :1 1q m x m? ? ?. （ 1）若 q? 是 p? 的必要条件，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 7m? ， “ p 或 q ” 为真命题， “ p 且 q ” 为假命题，求实数 x 的取值范围 . 18 设向 量 ? ? ? ?3 s in , s
8、in , c o s , s in , 0 ,2a x x b x x x ? ? ? ?（ 1）若 ab? ，求 x的 值； （ 2）设函数 ? ? ,f x a b? ，求 ?fx的最大值 . - 4 - 19 在锐角 ABC 中 , 内角 ,ABC 所对的边分别为 , , ,ABC 且 231 s in 2 2 s in .32BCA ? （ 1）求 A ； （ 2）若 ABC 的外接圆半径为 23，求 ABC 面积的最大值 . 20 如图，在四棱锥 E ABCD? 中，底面 ABCD 为直角梯形，其 中 CD AB,BC AB，侧面 ABE平面 ABCD，且 AB=AE=BE=2BC=
9、2CD=2，动点 F在棱 AE 上，且 EF= FA. （ 1）试探究 的值，使 CE 平面 BDF，并给予证明； （ 2）当 =1 时，求直线 CE 与平面 BDF所成的角的正弦值 . - 5 - 21.已知椭圆 ? 的中心在原点，焦点在 x 轴，焦距为 2，且长轴长是短轴长的 2 倍 （ 1）求椭圆 ? 的标准方程； （ 2）设 (2,0)P ，过椭圆 ? 左焦点 F 的直线 l 交 ? 于 A 、 B 两点，若对满足条件的任意直线 l ，不等式 PA PB ?（ R? ）恒成立，求 ? 的最小值 22.已知函数 ? ? 2ln 2af x x x x?（ aR? ） （ 1）若 0x?
10、，恒有 ? ?f x x? 成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）若函数 ? ? ? ?g x f x x?有两个相异极值点 1x ， 2x ，求证： 1211 2ln ln aexx? - 6 - 10月月考数学（理）试卷答案 1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8. D 9.D 10.B 11.D 12.A 13 2.10? 14 15. 90,8?16.8 17. （ ） ? ? ?0 , : 2 3 0m p x x? ? ? ?， :1 1q m x m? ? ?， : 2 3px? ? ? ， :1 1q m x m? ? ? ?， q? 是 p? 的必要条件
11、， 13, 12mqp m? ? ? ?，解得 2m? ，当2m? 时， : 1 3qx? ? ? ，满足题 意；综上： 02m?； （ ）若 7m? ，可得 : 6 8qx? ? ? ， “ p 或 q ” 为真命题， “ p 且 q ” 为假命题， p 与 q 有一个为真，一个为假， : 2 3px? ? ? ， 若 p 真 q 假可得， x 为空集； 若 p 假 q 真可得， 62x? ? ? 或 38x?. 18.(1)由 ，及 ，得 又 ，从而 ，所以 (2) ， 当 时， 取最大值 1 所以 f(x)的最大值为 19. (1)由 ，得 ， - 7 - ，在锐角 中， ，即 ， 由
12、，得 . (2)由（ 1）知 ，且 ，由正弦定理， ，得 ，由余弦定理， ，得 。当且仅当 “ ” 时等号成立， ，则 ，即 面积的最大值是 . 20.1）当 时， 平面 . 证明如下：连接 交 于点 ，连接 . ， . ， . . 又 平面 ， 平面 ， 平面 . （ 2）取 的中点 ,连接 .则 . 平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 平面 . ，且 ， 四边形 为平行四边形， . - 8 - 又 ， . 由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ， ， . 当 时，有 ， 可得 . ， ， . 设平面 的一个法向量为 ， 则有 即 令 ，得 ， . 即 . 设 与平
13、面 所成的角为 ， 则 . 当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 . 21.（ 1）依题意， 2ab? ， 1c? ， 解得 2 2a? ， 2 1b? ，椭圆 ? 的标准方程为 2 2 12x y? （ 2 ）设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 所以- 9 - 1 1 2 2( 2 , ) ( 2 , )P A P B x y x y? ? ? ? ?1 2 1 2( 2 ) 2 )x x y y? ? ? ?， 当直线 l 垂直于 x 轴时 ， 121xx? ? ， 12yy? 且 21 12y ?， 此时 1( 3, )PA y? ，21( 3 , ) ( 3
14、 , )P B y y? ? ? ? ?， 所以 221 17( 3 ) 2P A P B y? ? ? ? ? 当直线 l 不垂直于 x 轴时 ， 设直线 l ： ( 1)y k x?， 由22( 1),2 2,y k xxy? ?整理得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 所以 212 2412kxx k? ? ? ?， 212 22212kxx k? ?， 所以 21 2 1 2 1 22 ( ) 4 ( 1 ) ( 1 )P A P B x x x x k x x? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 2(1 ) ( 2 )
15、( ) 4k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? 22222(1 ) 12kk k? ?22224( 2 ) 412kkkk? ? ? ? ?2217 221kk ? ? 21 7 1 3 1 72 2 ( 2 1) 2k? ? ? 要使不等式 PA PB ?（ R? ）恒成立，只需 max()PA PB? ? 172? ，即 ? 的最小值为 172 22.（ ）由 0x? ，恒有 ? ?f x x? ，即 ln 12axx?， ln 1 2xax? ? 对任意 0x? 成立， 记 ? ? ln 1xHx x? ， ? ?22 ln xHx x?， 当 ? ?20,xe? ， ?
16、 ?0Hx? ， ?Hx单调递增； 当 ? ?2,xe? ? ， ? ?0Hx? ， ?Hx单调递减， ?Hx最大值为 ? ?2 21He e? ， 212a e?， 22a e? （ ）函数 ? ? ? ?g x f x x?有两个相异的极值点 1x ， 2x ， 即 ? ? ln 0g x x ax? ? ?有两个不同的实数根 - 10 - 当 0a? 时， ?gx单调递增， ?gx不可能有两个不同的实根； 当 0a? 时，设 ? ? lnh x x ax?，则 ? ? 1 axhx x? ， 当 10 x a? 时， ? ?0hx? ， ?hx单调递增； 当 1x a? 时， ? ?0h
17、x? ， ?hx单调递减， 1 ln 1 0haa? ? ? ?， 10 a e? ， 不妨设 210xx?， ? ? ? ?12 0g x g x?， 22ln 0x ax?， 11ln 0x ax?， ? ?2 1 2 1ln lnx x a x x? ? ?， 先证12112ln lnxx?，即证 2 1 2 12 1 1 2ln ln 2x x x xx x x x? ， 即证 222 2 1 2 11 1 2 1 21ln x x x x xx x x x x? ? ?， 令 21 1xt x?，即证 11ln 2ttt?，设 ? ? 11ln 2t t t t? ? ? ?， 则 ? ? ? ?22102tt t? ?，函数 ?t? 在 ? ?1,? 单调递减， ? ? ? ?10t?， 12112ln lnxx?，又 10 a e? ， 1ae? ， 1211 2ln ln aexx?
