1、 1 南昌高三上学期数学学科第二次晚练试卷 （时间 9 月 18 日至 9 月 22 日） 一、选择题 1 设 a log32， b log52， c log23，则 ( ) A a c b B b c a C c b a D c a b 2 已知 服从正态分布 N(1， 2)， a R，则 “ P( a) 0.5” 是 “ 关于 x 的二项式 ? ?ax 1x23的展开式的常数项为 3” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分又不必要条件 D充要条件 3 a ?123x2dx，函数 f(x) 2ex 3x a 的零点所在的区间是 ( ) A ( 2， 1) B ( 1,0
2、) C (0,1) D (1,2) 4 函数 ? ? c o s ( ) ( 0 , 0 )f x A w x w? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如图所示，为了得到? ? sing x A wx? 的图象，只需将函数 ? ?y f x? 的图象（ ） A向左平移 6? 个单位长度 B向左平移 12? 个单位长度 C向右平移 6? 个单位长度 D向右平移 12? 个单位长度 5 在三棱锥P ABC?中，, 2 ,A B C A B B C? ? ?2PA PC?，AC中点为 M， 3cos 3PMB?，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.3?B.2?C.6D.6?二、填空题 (本大题
3、共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在相应题号后的横线上 ) 6 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 _ 附加题： 已知函数 f(x) x2 ax 3 在 (0,1)上为减函数，函数 g(x) x2 alnx 在 (1,2)上为增函数，则 a 的值等于 _ 7 已知函数 f(x) x 1x 1， g(x) x2 2ax 4，若任意 x10,1 ，存在 x21,2 ，使f(x1) g(x2)，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题 (解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤 ) 8 已知命题 p：关于 x 的不等式 ax 1(a 0， a1) 的解集是 x|x 0，命题 q：函 数 y
4、lg(ax2 x a)的定义域为 R，如果 “ p q” 为真命题， “ p q” 为假命题，求实数 a 的取值范围 2 9 已知函数 f(x) 2cos2x 2 3sinxcosx(xR) (1)当 x0 ， 2)时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c 3， f(C) 2，若向量 m (1，sinA)与向 量 n (2， sinB)共线，求 a， b 的值 附加题： 9 已知在四棱锥 P ABCD 中 ， 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 ， PAD 是正三角形 ， 平面 PAD 平面 ABCD， E， F，
5、 G 分别是 PA， PB， BC 的中点 . (1)求证： EF 平面 PAD； (2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小； (3)若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点 ， 问当 AM 的长度等于多少时 ， 直线 MF 与平面EFG 所成角的正弦值等于 155 ？ 3 参考答案 一、选择题 1 答案 D解析 3 2 3,1 2 5， 3 2， log3 3 log32 log33， log51 log52 log5 5， log23 log22， 12 a 1,0 b 12，c 1， c a b. 2. 答案 (1) (2)A 3 解析： a ?123x2dx x3
6、|21 7， f(x) 2ex 3x 7. f(0) 2e0 30 7 5， f(1) 2e 3 7 2(e 2)0.f(0)f(1)0，因此函数 f(x)在 0,1上单调递增， 5 所以 x0,1 时， f(x)min f(0) 1. 根据题意可知存在 x1,2 ， 使得 g (x) x2 2ax 4 1， 即 x2 2ax 50 ，即 a x2 52x能成立， 令 h(x) x2 52x， 则要使 a h(x)在 x1,2 能成立，只需使 a h(x)min， 又函数 h(x) x2 52x在 x1,2 上单调递减， 所以 h (x)min h(2) 94，故只需 a 94. 三、解答题
7、(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 8 解 由关于 x 的不等式 ax 1(a 0， a1) 的解集是 x|x 0，知 0 a 1； 由函数 y lg(ax2 x a)的定义域为 R， 知不等式 ax2 x a 0 的解集为 R， 则? a0， 1 4a212 或 ? 0a1，a 12， 解得 a1 或 0a 12， 故实数 a 的取值范围是 ? ?0， 12 1， ) 题点发散 1 本例条件不变，若 “ p q” 为真，则 a 的取值范围为 _ 答案： ? ?12， 1 解析： 由 “ p q” 为真，知 p， q 都为真 a 的取值范围为 ? ?12， 1 . 题点发散 2 在本
8、例条件下，若命题 “ q (p q)” 为真，綈 p 为真，求实数 a 的取值范围 解： 由命题 q (p q)为真、綈 p 为真，知 p 假， q 真， p 假： a0 或 a1 ； q 真： a 12. 6 实数 a 的取值范围为 1， ) 题点发散 3 若本例条件变为：已知命题 p： “ ? x 0,1， ae x” ；命题 q： “ ? x0 R，使得 x20 4x0 a 0” 若命题 “ p q” 是真命题，求实数 a 的取值范围 解： 若命题 “ p q” 是真命题，那么命题 p， q 都是真命题 由 ? x 0,1， ae x，得 ae ； 由 ? x0 R，使 x20 4x0
9、a 0， 知 16 4a0 ， a4 ，因此 e a4. 则实数 a 的取值 范围为 e,4 20.已知函数 f(x) 2cos2x 2 3sinxcosx(xR) (1)当 x0 ， 2)时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c 3， f(C) 2，若向量 m (1，sinA)与向量 n (2， sinB)共线，求 a， b 的值 解 (1)f(x) 2cos2x 3sin2x cos2x 3sin2x 1 2sin(2x 6) 1， 令 2 2k2 x 6 2 2k ， kZ ， 解得 k 3 x k 6 ， kZ
10、 ， 因为 x0 ， 2)， 所以 f(x)的单调递增区间为 0， 6 (2)由 f(C) 2sin(2C 6) 1 2， 得 sin(2C 6) 12， 而 C(0 ， ) ，所以 2C 6 ( 6 ， 136 )， 所以 2C 6 56 ，解得 C 3. 因为向量 m (1， sinA)与向量 n (2， sinB)共线， 所以 sinAsinB 12. 由正弦定理得 ab 12， 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcos 3 ， 即 a2 b2 ab 9. 7 联立 ，解得 a 3， b 2 3. 9.【解析】 解法一： (1)证明： 平面 PAD平面 ABCD， AB AD， AB
11、 平面 PAD， E， F 分别为 PA， PB 的中点 ， EF AB， EF 平面 PAD. (2)过 P 作 AD 的垂线 ， 垂足为 O， 平面 PAD 平面 ABCD， 则 PO 平面 ABCD. 连 OG， 以 OG， OD， OP 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 ， PA PD AD 4， OP 2 3， OD OA 2， 得 A(0， 2， 0)， B(4， 2， 0)， C(4， 2， 0)， D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2 3)， E(0， 1， 3)， F(2， 1， 3)， G(4， 0， 0)， 故 EF (2， 0， 0)， EG (4， 1，
12、 3)， 设平面 EFG 的一个法向量为 n (x， y， z)， 则?n EF 0n EG 0， 即 ?2x 04x y 3z 0， 取 z 1， 得 n (0， 3， 1)， 又平面 ABCD 的一个法向量为 n1 (0， 0， 1)， 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是： |cos n， n1 | ? ?n n1|n|n1| 12， 故平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小是 60 . (3)设 AM x， M(x， 2， 0)， 则 MF (2 x， 1， 3)， 设 MF 与平面 EFG 所成角为 ， 则 sin |cos n， MF |?n MF|n
13、|MF | 3（ 2 x） 2 4 155 ， 8 解得 x 1 或 x 3， M 靠近 A， x 1， 当 AM 1 时 ， MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等于 155 . 解法二： (1)证明：过 P 作 PO AD 于 O， 平面 PAD 平面 ABCD， 则 PO 平面 ABCD，连 OG，以 OG， OD， OP 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， PA PD AD 4， OP 2 3， OD OA 2， 得 A(0， 2， 0)， B(4， 2， 0)， C(4， 2， 0)， D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2 3)， E(0， 1， 3)， F(2， 1，
14、 3)， G(4， 0， 0)， 故 EF (2， 0， 0)， AD (0， 4， 0)， PD (0， 2， 2 3)， EF AD 0， EF PD 0， EF 平面 PAD. (2)EF (2， 0， 0)， EG (4， 1， 3)， 设 平面 EFG 的一个法向量为 n (x， y， z)， 则?n EF 0n EG 0，即 ?2x 04x y 3z 0， 取 z 1，得 n (0， 3， 1)， 平面 ABCD 的一个法向量为 n1 (0， 0， 1)， (以下同解法一 ) 解法三： (1)证明： 平面 PAD 平面 ABCD， AB AD， AB 平面 PAD. E， F 分别
15、 为 PA， PB 的中点， EF AB， EF 平面 PAD; 9 (2)取 AD 的中点 H，连 GH， 则 EF HG， AB HG， HG 是所求二面角的棱， HG 平面 PAD， AH HG， EH HG， EHA 是锐二面角的平面角， 又 AEH 为正三角形， EHA 60. (3)过 M 作 MK 平面 EFG 于 K，连结 KF， 则 KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成的角， 因为 AB EF，故 AB 平面 EFG， 故点 M 到平面 EFG 的距离等于点 A 到平面 EFG 的距离， HG 平面 PAD， 平面 EFGH 平面 PAD， 且平面 EFGH 平面 PAD EH. A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高，等于 3， 即 MK 3， 155 3FM， FM 5，在直角梯形 EFMA 中， AE EF 2， AM 1 或 AM 3 M 靠近 A， AM 1. 当 AM 1 时， MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等于 155 .
