1、 - 1 - 2017 2018学年度上学期第五次考试 高三数学（理）试卷 一、选择题（每小题 5分，共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上） 1已知集合 | lg A x y x?， 2 | 2 3 0B x x x? ? ? ?，则 AB?（ ） A. ? ?0,3 B. ? ?1,0? C. ? ? ? ?, 0 3,? ? ? D. ? ?1,3? 2. 已知 ? ?3 3 2 3i z i? ? ? ?(i 是虚数单位 ),那么 z 的共轭复数对应的点位于复平面内的 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.
2、若 l 、 n是互不相同的空间直线 , 、 是不重合的平面 ,则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若 / / , ,ln? ? ? ?，则 /ln B. 若 ,l? ? ?，则 l ? C. 若 / / , ,l ? ? ? 则 l ? D. 若 , / /ll? ，则 ? 4.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 34, 3, 10nS a S?，则数列 1nS?的前 100项的和为（ ） A. 200101 B. 100101 C. 1101 D. 2101 5. 若 0, 0xy?，且 2 8 0x y xy? ? ?，则 xy 的最小值为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D
3、. 64 6.D 是 ABC? 所在平面内一点， ? ?,A D A B A C R? ? ? ? ? ?，则 0 1,0 1? ? ? ?是点D 在 ABC? 内部（不含边界）的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 7. 已知 ABC? 的三个内角 ,ABC 的大小依次成等差数列，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，并且函数 ? ? 2 2f x ax x c? ? ?的值域是 ? ?0,? ，则 ABC? 的面积是 （ ） A. 34 B. 32 C. 33 D. 3 - 2 - 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（
4、 ） A. 3222? B. 53222? C. 3322? D. 73222?9. 设 0.60.6a? ， 1.50.6b? ， 0.61.5c? ，则 ,abc的大小关系是（ ） A. abc? B. a c b? C. bac? D. b c a? 10.已知函数 ()y f x? 是定义域为 R 的偶函数 . 当 0x? 时，5 sin( ) ( 0 1 )42()1( ) 1 ( 1 )4xxxfxx? ?.若关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 0f x af x b? ? ?（ ,ab R? ） ,有且仅有 6个不同实数根，则实数 a的取值范围是（ ） A 59( , )24?
5、 B 9( , 1)4? C 5 9 9( , ) ( , 1)2 4 4? ? ? ? D 5( , 1)2?11. 已知函数 ?fx是定义在 ? ?0,? 的可导函数， ?fx为其导函数，当 0x? 且 1x? 时， ? ? ? ?201f x xf xx? ? ,若曲线 ? ?y f x? 在 1x? 处的切线的斜率为 34? ,则 ?1f ? （ ） A. 0 B. 1 C. 38 D. 15 12.已知 a 为常数，函数 ? ? ? ?lnf x x x ax?有两个极值点 1 2 1 2, ( )x x x x? ，则（ ） A. ? ? ? ?12 10, 2f x f x? ?
6、 ?B. ? ? ? ?12 10, 2f x f x? ? ?C. ? ? ? ?12 10, 2f x f x? ? ?D. ? ? ? ?12 10, 2f x f x? ? ?- 3 - 二、填空题（每小题 5 分 ，共 20 分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13. 在等比数列 ?na 中， 3232, 3aa?，则 11 201117 2017aa? ? _ 14. 在平面内 , 6A B A C B A B C C A C B? ? ?，若动点 ,PM满足 2,AP PM MC?，则BM 的最小值是 _ 15. 已知区域 2: 2 010yD x yxy? ? ? ? ?，则
7、圆 ? ? ? ?22: 2 2C x a y? ? ? ?与区域 D 有公共点，则实数 a 的取值范围是 _. 16. 在三棱锥 S ABC? 中， ABC? 是边长为 3 的等边三角形， 3 , 2 3SA SB?， 二面角 S AB C?的大小为 120 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 _ 三、解答题 (本大题共 70分 =10分 +125 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17. （本题满分 10分）在 ABC? 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 CBCCBB c o sc o s4)c o ss i n3)(c o ss i n3(
8、 ? （ ）求角 A 的大小； （ ）若 CpB sinsin ? ，且 ABC? 是锐角三角形，求实数 p 的取值范围 18.（本题满分 12 分） 如图， ABC? 的外接圆 O 的半径为 5 ， CD O? 所在的平面，- 4 - /BE CD ， 4CD? ， 2BC? ，且 1BE? ， tan 2 5AEB? （ 1）求证：平面 ADC ? 平面 BCDE （ 2）试问线段 DE 上是否存在点 M ，使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 27 ？若存在，确定点 M 的位置，若不存在，请说明理由 19. （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 ? ?
9、cos , sine ? ，设, ( 0)OA e?，向量 c o s , s in22OB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 1）若 6?，求向量 OA与 OB 的夹角； （ 2）若 2AB OB? 对任意实数 ,?都成立，求实数 ? 的取值范围 - 5 - 20. （本题满分 12分）如图，已知四棱锥 P ABCD? 的底面的菱形， 60BCD ?，点 E 是BC 边的中点， AC DE与 交于点 O ， PO ABCD? 平 面 （ 1）求证： PD BC? ； （ 2）若 6 3 , 6 2A B P C P A D C? ? ? ?， 求 二 面 角的大小； （ 3
10、）在（ 2）的条件下，求异面直线 PB 与 DE 所成角的余弦值。 21. （本题满分 12分）已知数列 ?na 的前 n 项和 nS 满足： 21nnSa? . （ 1）数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 1111nnn aab ?，且数列 ?nb 的前 n 项和为 nT ，求证： 13nT?. - 6 - 22. （本题满分 12分）已知函数 ? ? ? ?21 1 ln2f x x m x x? ? ? ?. （ 1）若函数 ?fx存在单调递减区间，求实数 m 的取值范围； （ 2）设 1 2 1 2, ( )x x x x? 是函数 ?fx的两个极值点，若 72m? ，求 ? ?
11、? ?12f x f x? 的最小值 . - 7 - 南昌二中 2017 2018学年度上学期第五次考试 高三数学（理）试卷参考答案 1已知集合 | lg A x y x?， 2 | 2 3 0B x x x? ? ? ?，则 AB?（ ） A. ? ?0,3 B. ? ?1,0? C. ? ? ? ?, 0 3,? ? ? D. ? ?1,3? 【答案】 A 2.已知 ? ?3 3 2 3i z i? ? ? ?（ i 是虚数单位），那么 z 的共轭复数对应的点位于复平面内的( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 B 【解 析】 ? ?3 3i 2
12、3iz? ? ? ?， ? ? ? ? ?2 3 i 3 3 i2 3 i 6 6 3 i 1 3 i=1 2 23 3 i 3 3 i 3 3 iz? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? z 的共轭复数对应的点的坐标是 13,22?， ? z 对应的点在第二象限，故选 B. 3.若 l 、 n是互不相 同的空间直线， 、 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若 / / , ,ln? ? ? ?，则 /ln B. 若 ,l? ? ?，则 l ? C. 若 / / , ,l ? ? ? 则 l ? D. 若 , / /ll? ，则 ? 【答案】 D 【解析】对于 A，由 /
13、/ , ,ln? ? ? ?可得 l n 或 l 与 n 异面，故 A不正确； 对于 B，由 ,l? ? ?可得 l 与 ? 的位置关系有相交、平行、在 ? 内三种，故 B不正确； 对于 C，由 / / ,l ? ? 可得 l 与 ? 的位置关系不确定，故 C不正确； 对于 D，由 /l ? ，设经过 l 的平面与 ? 相 交于直线 c ，则 l c ，又因为 l ? ，故 c ? ，又因为 c ? ，所以 ? ，故 D正确 . 故选 D. - 8 - 4.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 34, 3, 10nS a S?，则数列 1nS?的前 100项的和为（ ） A. 200101
14、B. 100101 C. 1101 D. 2101 【答案】 A 【解析】 ? ?143 4 1 4 2 3 243 , 1 0 , 5 , 22aaa S a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以等差数列 ?na 的公差 3 2 1 21 , 1d a a a a d? ? ? ? ? ? ? ，通项公式为 nan?， 则其前 n 项和为 ? ? ? ?1 1 2 1 1= , 22 1 1n nnnS S n n n n? ? ? ?则数列 1nS?的前 100项的和为 1 1 1 1 1 1 2 0 02 1 . . . . 2 12 2 3 1 0 0 1 0 0
15、1 1 0 1 1 0 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故选 A 5.若 0, 0xy?，且 2 8 0x y xy? ? ?，则 xy 的最小值为（ ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 64 【答案】 D 【解析】（ 1） ，且， ， ， ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 64，故选 D. 点睛：本题主要考查了基本不等式 .基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提 “ 一正、二定、三相等 ” 的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可 (2)在运用基本不等式时，要特别注意 “ 拆 ”“ 拼
16、”“ 凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的条件 6.D 是 ABC? 所在平面内一点， ? ?,A D A B A C R? ? ? ? ? ?，则 0 1,0 1? ? ? ?是点D 在 ABC? 内部（不含边界）的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】 B 【解析】若 ? ?,A D A B A C R? ? ? ? ? ?，点 D 在 ABC? 内部，则 0 1, 0 1? ? ? ?，反之不成立，例如 12?时，点 D 为边 BC 的中点， 0 1, 0 1? ? ? ? ?是点 D 在
17、ABC?内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选 B. - 9 - 7.已知 ABC? 的三个内角 ,ABC 的大小依次成等差数列，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，并且函数 ? ? 2 2f x ax x c? ? ?的值域是 ? ?0,? ，则 ABC? 的面 积是 （ ） A. 34 B. 32 C. 33 D. 3 【答案】 A 【解析】 在 AB C 中，角 A B C、 、 依次成等差数列， 180 2A B CA C B? ? ? ? ，解得60B? ， 函数 ? ? 2 2f x ax x c? ? ?的值域是 ? ?0,? ，即函数 ?fx的最小值 242 0 , 14ac aca? ? ? ? 则 ABC? 的面积 13s in24S ac B? ? ? ? 故选 A 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A. 3222? B. 53222? C. 3322? D. 73222? 【答案】 D 【解析】由三视图可知，几何体为下面一个直三棱柱，上面一个三棱锥 三棱柱的底面面积为： 111122? ? ? ，侧面积为： 2 1 1 2 2? ? ? ?； 三棱锥的侧面积为： ? ? 21 1 3 31 1 1 1 2 12 2 4 2? ? ? ? ? ? ? ? ?. - 10 - 该几何体的表面积是 73222?. 故选 D.
