1、 - 1 - 2018 届高三上学期第一次联考数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设复数 z 满足 ? ?21 1i iz? ?， 则 z? （ ） A 1i? B 1i? C. 1i? D 1i? 2.若集合 ? ? 213 1 4 , 11xA x x B x x ? ? ? ? ?， 则集合 AB?（ ） A ? ?2, 1? B ? C. ? ?1,1? D ? ?2, 1? 3.函数 ? ?2 1logf x x x?的一个 零点 落在下列哪个区间
2、 （ ） A ? ?0,1 B ? ?1,2 C.? ?2,3 D ? ?3,4 4.若实数 ,xy满足 2 2 02 6 003xyxyy? ? ? ? ?， 且 3z x y?则 z 的最大值为 （ ） A 32B 32?C. 9 D 3? 5.给出下列四个命题 ， 其中假命 题 是 （ ） A.“ ,sin 1x R x? ? ? ” 的否定为 “ 00,sin 1x R x? ? ? ” B.“ 若 ab? ，则 55ab? ? ? ” 的逆否命题是 “ 若 55ab? ? ? ， 则 ab? ” C ,2 1 0xxR? ? ? ? D ? ?0 0,2x? ，使得 0sin 1x
3、? 6.已知 3, 1, 0O A O B O A O B? ? ? ?， 若 33OP OA OB?， 则 AOP?（ ） A6?B3?C. 23?D 56?7.函数 2cos 3 sin cosy x x x? 在区间 ,64?上的值域是 （ ） A 1,12?B 13,22?C. 30,2?D 310,2?8.已知数列 ?na 满足 111, 2nnna a a? ? ?， 则 10a? （ ） - 2 - A 1024 B 1023 C. 2048 D 2047 9.已知 ? ? ? ?sin 03f x x ? ? ?，63ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 且 ?fx在区
4、间 ,63?上有最小值 ， 无最 大值，则 ? 的值为 （ ） A 73B 113C.143D 2310.某几何体的三视图如图所示 ， 根据 图中 标出的 数据， 可 得 这个几何体的表面枳为 （ ） A 4 43? B 4 45? C. 85D 12 11.函数 ? ? ? ? ?8 sin 2 01 022xxfx f x x? ? ?， 则函数 ? ? ? ? 4logh x f x x?的零点个数为 （ ） A 2 个 B 3 个 C. 4 个 D 5 个 12. 在数列 ?na 中 ， 1 1a? ， 当 2n? 时 ， 其前 n 项和为 nS 满足 ? ?2 1n n nS a S
5、?， 设2 2log nn nSb S ?，数列 ?nb 的 前 n 项和为 nT ， 则满足 6nT? 的最小正整数 n 是 （ ） A 12 B 11 C. 10 D 9 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量 ,ab满足 ? ?1, 2 ,a b a a b? ? ? ?， 则 a 与 b 的 夹角 的大小是 14 若函数 ?fx是 定义在 R 上的偶函数 ， 且在区间 ? ?0,? 上是单调增函数 .如果实数 t 满足? ? ? ?1ln ln 2 1f t f ft?时 ， 那么 t 的取值范围是 15.已知 棱长为 6
6、 的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为 16.在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 且 2 2 2s in s in s in 2 s in s inA B C A B? ? ? ?，5sin 5A? ， 若 5 10ca? ? ? ，则 b? - 3 - 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 ABC? 中， ,ABC 所对的边分别为 ,abc， ,83Cb?， ABC? 的面积为 103 . （ 1） 求 c 的值 ； （ 2） 求 ? ?cos BC? 的值
7、 . 18.已知函数 ? ? 32f x x ax bx c? ? ? ? ?在点 ? ?1, 1Pf 处的切线方程为 31yx? ? . （ 1） 若函数 ?fx在 2x? 处有极值，求 ?fx的解析式 ； （ 2） 若函数 ?fx在区间 ? ?2,0? 上单调递增 ， 求实数 b 的 取值 范 围 . 19.某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体 .该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种液体的体积比保护罩的容积少 0.5 立方米，且每立方米液体费用 500 元 ； 需 支付 一定 的保险费用， 且 支付的保险 费用与保护罩容积成反比
8、， 当容积为 2 立方米时， 支付的保险费用为 4000 元 . （ 1） 求 该博物馆 支付总费用 y 与保护 罩容积 x 之间的函数关系式 ； （ 2） 求该 博物馆 支付总 费 用 的 最 小值 . 20.已知数列 ?na 的 前 n 项和 2 2nS n n? ，数列 ?nb 满足 1 213n nnba? ? . （ 1） 求 ,nnab； （ 2） 设 nT 为数列 ?nb 的前 n 项和，求 nT . 21已知 函数 ? ? ? ?222 lnf x x a x x x x? ? ? ? ?. （ 1）当 2a? 时，求 ?fx的单调 区间 ； （ 2） 若 ? ?0,x? ?
9、时 ， ? ? 2 0f x x?恒 成立，求 整数 a 的最 小值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为21,221.2xtyt? ? ?（ t 为参数） .在以原点 O 为极轴 ，x 轴 正半轴为极轴的极坐标系中 ， 圆 C 的方程为 4cos? . （ 1） 写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程 ； - 4 - （ 2） 若点 P 坐标为 ? ?1,1 ， 圆 C 与直线 l 交于 ,AB两点 ,求 PA PB? 的值 . 23.选修 4-
10、5：不等式选讲 已知 1ab?， 对 ? ? 14, 0 , , 2 1 1a b x xab? ? ? ? ? ? ? ? ?. （ 1） 求 14ab?的最小值 ； （ 2） 求 x 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1-5: CABCC 6-10: ACBCA 11、 12： DD 二、填空题 13. 34?14. 1,ee?15. 92?16. 5 三、解答题 17.（ 1） 1 sin2ABCS ab C? ?， 5a? ； 2 2 2 2 co s 4 9c b a ab C? ? ? ?， 7c? . （ 2）由（ 1）得 2 2 2 4 9 2 5 6 4 1c o s2
11、7 0 7a c bB ac? ? ? ? ? ?， 2 43sin 1 cos7BB? ? ?， 所以 ? ? 4 3 3 1 1 1 3c o s c o s c o s s i n s i n3 3 7 2 7 2 1 4B C B B? ? ? ? ? ? ? ?18. ? ? 232f x x ax b? ? ? ? ?， 函数 ?fx在 1x? 处的切线斜率为 3? ， 所以 ? ?1 3 2 3f a b? ? ? ? ? ? ?， 即 20ab? ， 又 ? ?1 1 2f a b c? ? ? ? ? ? ?得 1abc? ? ? . （ 1） 函数 ?fx在 2x? 时有极
12、值 ， 所以 ? ?2 12 4 0f a b? ? ? ? ? ? ?， 由 解得 2, 4, 3a b c? ? ?， 所以 ? ? 322 4 3f x x x x? ? ? ? ?. （ 2） 因 为函数 ?fx在 区间 ? ?2,0? 上单调 递增 ，所以导函数 ? ? 23f x x bx b? ? ? ? ?在区间 ? ?2,0?- 5 - 上的值 恒大于或等于零，则 ? ? ?2 1 2 2 000f b bfb? ? ? ? ? ? ? ? ?得 4b? . 19.总费用 ? ? ? ?8 0 0 0 8 0 0 05 0 0 0 .5 5 0 0 2 5 0 , 0 .5y
13、 x x xxx? ? ? ? ? ? ?（ 2） 因为 8 0 0 0 8 0 0 05 0 0 2 5 0 2 5 0 0 2 5 0 3 7 5 0y x xxx? ? ? ? ? ? ?当且仅当 8000500xx?且 0.5x? ， 即 4x? 立方米时不 等 式取等 号， 所以 ，博物馆 支付总费用的最小值为 3750 元 . 20（ 1） 21nan?； 21114133nn nna nb ?；（ 2）115 4 52 2 3n nnT ?. （ 1）令 1n? ，可得 111 2 3aS? ? ? ? ； 当 2n? 时， 1 21n n na S S n? ? ? ?； 1
14、3a? 亦满足 ； 所以 21nan?； 而 1 213n nnba? ? ， 所以 21114133nn nna nb ?（ 2） 由题意得：0 1 2 2 13 7 1 1 4 5 4 13 3 3 3 3n nnT ? ? ? ? ? ? 所以1 2 11 3 7 4 5 4 13 3 3 3 3n nnT ? ? ? ? ? -得： 11 2 11112 1 1 1 4 1 4 1333 4 3 413 3 3 3 3 313nn n n nnnT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 解得115 4 52 2 3n nnT ?21 （ 1） ?fx的定义域为 ? ?0,?
15、 ，当 2a? 时 ， ? ? ? ?222 2 lnf x x x x x x? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?2 12 2 2 2 1 ln 2 4 2 lnf x x x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?fx递增区间为 ?10, ; ,2? ，递减区间为 1,12?. （ 2） 若 ? ?0,x? ? 时， ? ? 2 0f x x?恒成立，则 ? ?22 ln 0ax x x x? ? ?恒成立， 因为 0x? ， 所以 ? ?2 1 ln 0a x x? ? ?恒成立 ， 即： ? ?2 1 lna x x? ? 恒成立， 令
16、? ? ? ?2 1 lng x x x? ? ? ， 则 ? ?maxa g x?， 因为 ? ? 122 ln 2 ln 2xg x x xxx? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ?gx? 在 ? ?0?， 上是减函数，且 ?10g? ? ， - 6 - 所以 ?gx在 ? ?0,1 上为增函数，在 ? ?1,? 上是减函数 ， 1x? 时 ， ? ?max 0gx ?， 0a? ， 又因为 aZ? ， 所以 min 1a ? . 22（ 1） 直线 l 的普通方程为： 20xy? ? ? ， 圆 C 的 直角 坐标方程为： ? ?2 224xy? ? ? （ 2）将21,221.2x
17、tyt? ? ?代入 ? ?2 224xy? ? ? 得 ： 2 2 2 2 0tt? ? ? 得 1 2 1 22 2 0 , 2 0t t t t? ? ? ? ? ? ? ?， 则 ? ? 21 2 1 2 1 244P A P B t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? 23.（ 1） 0, 0ab?且 1ab? ? ?1 4 1 4 4 45 5 2 9b a b aaba b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 当且 仅当 2ba? 时等号成立，又 1ab?，即 12,33ab?时，等号成立， 故 14ab?的最小值为 9. （ 2） 因为对 ? ?, 0,ab? ? ， 使 14 2 1 1xxab? ? ? ? ?恒成立， 所以 2 1 1 9xx? ? ? ?， 当 1x? 时， 29x? ， 71x? ? ? ， 当 112x? ? ?时， 39x?， 112x? ? ?， 当 12x?时， 29x? ， 1 112 x?， 7 11x? ? ? .
