1、 1 宁夏 2018届高三数学上学期第三次月考试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 0ab? ，则下列不等式中不成立的是（ ） A ab? B 11a b a? C 11ab? D 22ab? 2复数 21iz? ? （ i 是虚数单位）的虚部是（ ） A 2 B -1 C 1 D -2 3已知向量 ? ?1, 1am?r ， ? ?,2bm?r ，则“ 2m? ”是“ ar 与 br 共线”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
2、 4某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是 32 ，则正视图中 x 的值是（ ） A 2 B 92 C 32 D 3 5已知实数 ,xy满足不等式组 1 0,0,3 0,xyxy? ? ?则 11yz x? ? 的最大值为（ ） A 32 B 12 C 4 D 2 6已知 m 为一条直线， ,?为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A若 ,m ? ? ? ，则 m ? B若 ,m? ? ?，则 m ? C若 ,m ? ? ? ，则 m ? D若 ,m ? ? ? ，则 m ? 7已知关于 x 的不等式 ? ?2 1 1 0x k x k? ? ? ? ?对任意实数 x 都成立，则
3、实数 k 的取值范围是（ ） 2 A ? ? ? ?, 3 1,? ? ?U B ? ? ? ?,1 3,? ?U C ? ?1,3? D ? ?3,1? 8若正数 ,xy满足 131yx?，则 3xy? 的最小值为（ ） A 24 B 18 C 12 D 6 9在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，若 2 2 2 3a b c ab? ? ? ?，则 ABC? 的面积为（ ） A 32 B 34 C 34 D 32 10已知函数 ? ? 22 lnf x x x?，则 ?fx的图象大致为（ ） A B C D 11在数列 ?na 中， ? ?1112n n na a a?，
4、 1 1a? ，若数列 ?nb 满足： 1n n nb a a ? ，则数列 ?nb 的前 10项的和 10S 等于（ ） A 1019? B 2021 C 1021 D 1011 12已知等边三角形 ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A 74? B 2? C 94? D 3? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13命题 “ x?R ， sin 0xx?”的否定是 14在等比数列 ?na 中，已知 1 2 3 1a
5、 a a? ? ? ， 2342a a a? ? ? ，则3 8 9 10a a a? ? ? 15若关于 x 的不等式 ? ? ?1 1 0mx x? ? ?的解集为 ? ? ? ?, 2 1,? ? ?U ，则实数m? 16一个棱长为 5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知函数 ? ? ? ? ? ?s in c o s c o s s inf x x x x x? ? ? ?2 3 sin cos ,x x ? R.
6、 （ 1）求函数 ?fx的最小正周期及单调递增区间； （ 2）若角 A 为三角形的一个内角，且函数 ?fx的图象经过点 ? ?,1A ，求角 A 的大小 . 18如图，在空间四边形 ABCD 中， ,EF分别是 ,ABAD 的中点， ,GH分别在 ,BCCD 上，且 : : 1 : 2B G G C D H H C?. （ 1）求证： , , ,EFGH 四点共面； （ 2）设 EG 与 FH 交于点 P ，求证： ,PAC 三点共线 . 19在锐角三角形 ABC 中， ,abc分别是角 ,ABC 的对边，且 3 2 sin 0a c A?. （ 1）求角 C 的大小； （ 2）若 2c? ，
7、求 ab? 的最大值 . 20如图，在三棱锥 P ABC? 中，平面 PAC? 平面 ABC ， 2ABC ?，点 ,DE在线段AC 上，且 2AD DE EC? ? ?， 4PD PC?，点 F 在线段 AB 上，且 EF BC . （ 1）证明： AB? 平面 PFE ； （ 2）若四棱锥 P DFBC? 的体积为 7，求线段 BC 的长 . 4 21在等差数列 ?na 中， 255aa? ? ， 10 17a ? ，若数列 ?nb ， ?nc 的前 n 项和分别为,nnST，且 1 1b? ， 1 3c? 对任意 *n?N 都有 1 2nnn acb ? ? ， 1 2nnn abc ?
8、 ? 成立 . （ 1）求数列 ?na ， ? ?nncb? 的通项公式； （ 2）证明： *n?N 时， 12 20nnST? ? ? . 22已知函数 ? ? 21ln 2f x x x ax? ? ?，在 1xx? 和 2xx? 处有两个极值点，其中 12xx? ，a?R . （ 1）当 3a? 时，求函数 ?fx的极值； （ 2）若 21exx? （ e 为自然对数的底数），求 ? ? ? ?21f x f x? 的最大值 . 5 宁夏育才中学 2018届高三月考 3数学试题（文科） 参考答案、提示及评分细则 一、选择题 1-5:BBACB 6-10:DDCCD 11、 12： CC
9、二、填空题 13 x?R ， sin 0xx? 14 128 15 12? 16 53 三、解答题 17解：（ 1）? ? 22c o s s in 2 3 s in c o sf x x x x x? ? ? ?c o s 2 3 s in 2 2 s in 2 ,6x x x x? ? ? ? R. 函数 ?fx的最小正周期 22T ? ?， 由 ? ?2 2 22 6 2k x k k? ? ? ? ? ? ? ? Z，解得 ? ?36k x k k? ? ? ? ? Z. 函数 ?fx的单调递增区间为 ? ?,36k k k? ? ? Z. （ 2）由 ? ? 2 sin 2 16f
10、A A ? ? ?，得 2266Ak? ? ? ? 或? ?52266A k k? ? ? ? ? Z， 又角 A 是三角形的内角， ? ?0,A ? ，故 3A ? . 18证明：（ 1）因为 ,EF分别为 ,ABAD 的中点， 所以 EF BD . 在 BCD? 中， BG DHGC HC? ， 所以 GH BD ，所以 EF GH . 所以 , , ,EFGH 四点共面 . （ 2）因为 EG FH P?I ，所以 P EG? ，又因 为 EG? 平面 ABC ， 所以 P? 平面 ABC ， 同理 P? 平面 ADC ， 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的一个公共点 . 6
11、又平面 ABC 平面 ADC AC? . 所以 P AC? ，所以 ,PAC 三点共线 . 19解：（ 1）由 3 2 sin 0a c A?及正弦定理， 得 ? ?3 s in 2 s in s in 0 s in 0A C A A? ? ?. 所以 3sin 2C? ，因为 ABC? 是锐角三角形，所以 3C ? . （ 2）因为 2c? ， 3C ? ，所以由余弦定理，得 22 2 cos 43a b ab ? ? ?，即 22 4a b ab? ? ? . 所以 ? ? 22 4 3 4 32aba b a b ? ? ? ? ? ?，即 ? ?2 16ab?. 所以 4ab? ，当且
12、仅 当 2ab? 取“ =” . 故 ab? 的最大值是 4. 20（ 1）证明：因为 DE EC? ， PD PC? ，所以点 E 为等腰 PDC? 边 DC 的中点，所以 PE AC? . 又平面 PAC? 平面 ABC ，平面 PACI 平面 ABC AC? ， PE? 平面 PAC ， PE AC? ，所以 PE? 平面 ABC . 因为 AB? 平面 ABC ，所以 PE AB? . 因为 2ABC ?， EF BC ，所以 AB EF? . 又因为 ,PEEF? 平面 PFE ， PE EF E?I . 所以 AB? 平面 PFE . （ 2）解：设 BC x? ，则在 RtABC
13、? 中， 2 2 236A B A C B C x? ? ? ?. 所以 211 3622ABCS A B B C x x? ? ? ? ?. 由 EF BC ， 23AF AEAB AC?，得 AFE ABC?: ， 故 22439AFEABCSS? ?，即 49AFE ABCSS?， 由 12AD AE? ， 1 1 42 2 9A F D A F E A B CS S S? ? ? ? ? 221 3699ABCS x x? ? ?. 7 从而四边形 DFBC 的面积为12A B C A F DD F B CS S S x? ? ?四 边 形 2 2 2173 6 3 6 3 69 1
14、8x x x x x? ? ? ? ?. 由（ 1）知 PE? 平面 ABC ，所以 PE 为四棱锥 P DFBC? 的高 . 在 RtPEC? 中， 2 2 2 24 2 2 3P E P C E C? ? ? ? ?. 所以 13P D F B C D F B CV S P E? ?四 棱 锥 四 边 形217= 3 6 2 3 73 1 8 xx? ? ? ?. 所以 4236 243 0xx? ? ?. 解得 2 9x? 或 2 27x ? . 由于 0x? ，因此 3x? 或 33x? . 所以 3BC? 或 33BC? . 21（ 1）解：设数列 ?na 的公差为 d ， 则 ?
15、? ? ?1114 5 ,9 1 7 .a d a dad? ? ? ? ? ? ?解得 1 10,3.ad ? ? ? ?10 3 1nan? ? ? ?，即 3 13nan?. 由1 2nnn acb ? ?，1 2nnn abc ? ?两式相减得 ? ?11 12n n n nc b c b? ? ? ?， 又 1120cb? ? ? ， 0nncb?， 11 12nnnncbcb? ?, ? ?nncb? 是等比数列 . 1122nnncb? ? ? ?（ 2）证明：由1 2nnn acb ? ?，得 12n n na b c?， ? ?1 2 2 3 12nna a a b b b
16、? ? ? ? ? ? ?LL? ?12 nc c c? ? ? ?L ， ? ?1 1 2 122n n nS T a a a b? ? ? ? ? ? ? ?L? ? 21 0 3 1 3 3 2 3222 2 2nn nn? ? ? ? ? ? ?， 8 223 2 3 3 2 322 6 2 6n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 当正整数 4n? 时， 12 nnST? ? 取得最小值 -20. *n?N 时， 12 20nnST? ? ? . 22解：（ 1）由 ? ? 21ln 32f x x x x? ? ?， ? ?0x? ，则 ? ? 2 31xxfx
17、 x? ? ， 当 2 3 1 0xx? ? ? 时，得 352x ? 或 350 2x ? ；当 2 3 1 0xx? ? ? 时，得3 5 3 522x? . 即函数 ?fx在 350,2?上单调递增，在 3 5 3 5,22?上单调递减，在35,2? ?上单调递增， ?fx的极大值为 3 5 3 5 1 1 3 5ln2 2 4f ? ? ?， ?fx的极小值为 3 5 3 5 1 1 3 5ln2 2 4f ? ? ? . （ 2） ? ? ? ? 221 1 1ln 2xf x f x x? ? ? ? ? ?222 1 2 1x a x x? ? ?， 又 ? ? 1f x x a
18、x? ? ? ? ? ? ?2 1 0x ax xx? ?，所以 12,xx是方程 2 10x ax? ? ? 的两个实根， 由韦达定理得： 12x x a?， 121xx? ， ? ? ? ? 221 1 1ln 2xf x f x x? ? ? ? ? ?222 1 2 1x a x x? ? ? ?222 211 1ln 2x xxx? ? ? ? ? ?222 211 1 211ln 2x xxx x x? ? ?2 2 11 1 21ln 2x x xx x x?. 9 设 ? ?21 exttx?，令 ? ? 11ln , e2g t t t tt? ? ? ?， ? ? ? ? 222 11 1 11022 tgt t t t? ? ? ? ? ? ?. ?gt在 ? ?e,? 上是减函数， ? ? ? ? e1e1 2 2 eg t g? ? ? ?， 故 ? ? ? ?21f x f x? 的最大值为 e11 2 2e? .
