1、 1 上海市 2016届高三数学 3 月月考试题 理 考生注意： 1.本试卷共 4页， 23道试题，满分 150分，考试时间 120分钟 . 2.本考试分设试卷和答题纸 . 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 . 一 、填空题 （ 本大题共 有 14 题， 满分 56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4分，否则一律得零分 1. 已知集合 ? ? ? ?032,lg 2 ? xxxBxyxA ，则 AB? _. 2.复数 (1 i)(1 i)a?是实数，则实数 a =_. 3. 方程 22lo g ( x 1 ) 2 lo g (
2、x 1 )? ? ? ?的解集为 _. 4.已知 圆锥的轴与母线的夹角为 3? ， 母线 长 为 3， 则 过圆锥 顶点 的轴截面面积的 最大值 为_. 5.已知 0 yx? ? ? ，且 tan tan 2xy?， 1sin sin 3xy?，则 xy? . 6. 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 7=42S ,则 2 3 7a a a?= . 7.圆 22( 2) 4C x y? ? ?： , 直线 1 :3l y x? ， 2 :1l y kx?， 若 12,ll被圆 C 所截得的弦 的 长 度 之比为 1:2 ，则 k 的值为 _. 8 设 正三棱柱的所有顶点都在 一个球
3、面上， 且 该 正三棱柱的 底面边 长为 3 ，侧 棱长为 2， 则 该球 的 表面积 为 _. 9. 已知 4( ) ln( )f x x ax? ? ?，若对任意的 Rm? ，均存在 0 0x? 使得 0()f x m? ，则实数 a 的 取值范围是 10.直线 = ( 1)( 0)y k x k?与抛物线 2=4yx相交于 ,AB两点，且 ,AB两点在抛物线的准线 上的射影分别是 ,MN，若 2BN AM? ，则 k 的值是 11.在极坐标中，直线 sin 3? 被圆 4sin? 截得的弦长为 . 12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶的概率是 0.9，他有 3颗弹子，射
4、击结束后尚余子弹数目 ? 的 数学期 望 E? = 13. 已知 ABC? ，若存在 1 1 1ABC? ，满足1 1 1c o s c o s c o s 1s in s in s inA B CA B C? ? ?,则称 1 1 1ABC? 是 ABC? 的 一个2 “友好”三角形 . 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是 _：（ 请写出符合要求的条件的序号 ） 9 0 , 6 0 , 3 0A B C? ? ? ； 7 5 , 6 0 , 4 5A B C? ? ?； 7 5 , 7 5 , 3 0A B C? ? ?. 14.如图，在 ABC 中， 90ACB ?， 2AC
5、? ， 1BC? ， 点 A 、 C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大 距离是 . 二 、选择题 （ 本大题共 有 4 题， 满分 20 分 ） 每题 有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答 案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 15已知数列 na 中，11 11, 1n naa a?，若利用下面程序 框图计算该数列的第 2016项，则判断框内的条件是 ( ) A 2014?n B 2016n? C 2015?n D 2017n? 16在 锐角 ABC? 中 ， 内角 ,
6、ABC的对边分别为 ,abc ， 若22 1sin cos 2CC?，则下列各式正确的是 ( ) A 2a b c? B 2a b c? C 2a b c? D 2a b c? 17已知集合 22 ( , ) | 1M x y x y? ? ?，若实数 ,?满足： 对任意的 ( , )x y M? ，都有 ( , )x y M? ，则称 ( , )? 是集合 M 的“和谐实数对” .则以 下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( ) A 4|),( ? ? B 4|),( 22 ? ? C 44|),( 2 ? ? D 4|),( 22 ? ? 18. 已知正方体 ABCD A B C D? ，记
7、过点 A 与三条直线 , , AB AD AA 所成角都相等的直线条数为 m , 过点 A 与三个 平面 , , AB AC AD 所成角都相等的直 线的条数为 n ，则下面结论正确的是 ( ) ？结束输出 A否是A =1A +1n = n +1n = 1, A =1开始3 A B C E C1 A1 B1 F A 1, 1mn? B 4, 1mn? C. 3, 4mn? D 4, 4mn? 三、解答题 （ 本大题共 有 5 题， 满分 74 分 ） 解答 下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的 步骤 19.（本题满分 12分） 本题共有 2个小题，第 (1)小题满分 6分，第
8、(2)小题满分 6分 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 2BAC ?， 2AB AC?， 1 6AA? ，点 EF、 分别在棱 11AA CC、 上，且 1 2AE CF? （ 1）求 四棱锥 B AEFC? 的体积 ； （ 2）求 BEF? 所在半平面 与 ABC? 所在半平面 所成 二面 角 ? 的 余弦值 20.（本题满分 14分） 本题共有 2小题，第 （ 1） 小题满分 6分， 第 （ 2） 小题满分 8分 . 如图 ， 某城市设立以城中心 O为 圆心、 r 公里 为 半径圆形保护区， 从 保护区边缘起，在城中心 O正东方向上一条高速公路 PB、西南方向上 有 一条
9、一级公路 QC， 现 要在保护区边缘 PQ 弧上选择一点A 作 为 出口，建一条连接 两 条公路且与圆 O相切 直 道 BC已知通往一级公路道路 AC每公里造价 为 a万元，通往高速公路 的 道路 AB每公里造价 为2ma万元，其中 ,arm 为 常数，设POA?，总造 价 为 y 万元 （ 1） 把 y 表示成 ? 的 函数 ()yf? ，并 求出定义域； （ 2）当 622m ? 时，如何确定 A点 的 位置才能使 得总造价最低？ 21.（本题满分 14分） 本题共有 2个小题，第 (1)小题 6分，第 (2)小题 8分 . 已知椭圆 22: 1 (a b 0 )xyC ab? ? ? ?
10、的 右顶点、上顶点 分别为 A、 B，坐标 原点到直线 AB 的 距离 为 433 ， 且 2ab? . （ 1）求 椭圆 C的 方程； 4 （ 2） 过椭圆 C的 左焦点 1F 的直线 l 交椭圆于 M、 N两 点， 且该 椭圆 上存在点 P，使得四边形 MONP（图形上字母按此 顺序排列）恰好 为平行四边形 ，求 直线 l 的 方 程 . 22.（本题满分 16分） 本题共有 3个小题 .第 (1)小题满分 4分，第 (2)小题满分 6分，第 (3)小题满分 6分 . 对于函数 (x)f ，若在定义域内存在实数 x ，满足 ( x) (x)ff? ? ，称 (x)f 为“局部奇 函数” .
11、 （ 1） 已知二次函数 2( x ) 2 4 ( R )f a x x a a? ? ? ?，试判断 (x)f 是否为“局部奇函数”？ 并说明理由 ； （ 2）若 (x) 2xfm?是定义在区间 1,1? 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围 ； （ 3）若 12( x ) 4 2 3xxf m m? ? ? ? ?是定义 在 R 的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围 . 23.（本题满分 18分） 本题共有 3个小题，第 (1)小题满分 4分，第 (2)小题 满分 6分， 第 (2)小题 满分 8分 . 已知等比数列 na 的首项 1 2015a? ，数列 na 前 n 项和记为
12、 nS ，前 n 项积记为 nT . (1) 若3 60454S ?，求等比数列 na 的公比 q ； (2) 在 (1)的条件下，判断 |nT |与 | 1nT? |的大小；并求 n 为何值时， nT 取得最大值； (3) 在 (1)的条件下，证明 ： 若数列 na 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其 成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从 小到大的顺序依次记为 12, , , nd d d ，则数列 nd 为等比数列 . 5 2015学年第二学期考试 参考答案和评分标准 一、填空题（本大题共 14 题 ,每题 4分 ,满分 56 分） 1 )3,0( 2 -1 3 ? ?5 4
13、 92 5 3? 6. 18 7.12 8 8? 9. ),4 ? 10 223 11 （理） 23 （文） 6 12. （理） 1.89 （文） 3 4 3? 13 14 （理） 12? （文） 22( 1) ( 1) 1xy? ? ? ? 二 、 选择题（本大题 共 4题，每题 5分， 满分 20分 ） 15. C 16. B 17. C 18. D 三、解答题（本大题共 5题，满分 74 分） 19（本题满分 12分）本题共 2个小题，每小题 6分 . 解： （理） （ 1） B AEFCV? ? 1 1 1 ( 4 2 ) 2 2 43 3 2AEFCS A B? ? ? ? ? ?
14、? ? ? 6分 （ 2）建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(A , (0,2,0)B , (0,0,2)E , (2,0,4)F ， (2,0,2)EF? , (0,2, 2)EB? ? 7分 设平面 BEF 的法向量为 ( , , )n x y z? ，则 2 2 0 1 1 , 12 2 0n E F x z z x yn E F y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 取 得， 所以 ( 1,1,1)n? ? 9分 平面 ABC 的法向量为 1 (0,0,1)n ? ，则 1113c o s 33nnnn? ? ? ? 所以 BEF? 所在半平面 与 ABC?
15、 所在半平面 所成 二面 角 ? 的 余弦值 为 33 ? 12分 解： （文） （ 1）1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 42223 3 2 3A B C F F A B C A B CV V S C F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 （ 2） 连接 CE ,由条件知 1/CE FA ,所以 CEB? 就是 异面直线 BE 与 1AF 所成 的 角 8分 在 CEB? 中， 22BC CE BE?，所以 60CEB?， ? 10分 所以 异面直线 BE 与 1AF 所成 的 角 为 60 ? 12 分 6 20 （本题满分 14分） 本题共有 2小题，第
16、小题满分 6分，第小题满分 8分 . 解：（ 1） BC与圆 O相切于 A， ?OA? BC,在 ? ABC中， tanAB r ? ?2 分 同理，可得 3tan ( )4AC r ? ?4 分 22 3t a n t a n ( )4y m a A B a A C m a r a r ? ? ? ? ? ? 2 3 t a n t a n ( ) , ( , )4 4 2y a r m ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 （ 2）由（ 1）得 223 1 t a n t a n t a n ( ) a r m t a n 4 1 t a ny a r m ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 m ( t a n 1 ) m 1 t a n 1ar ? ? ? ? ? ?9 分 ( , ), ta n 1 042? ? ? ? ? 2 2m (t a n 1 ) 2 2t a n 1 m? ? ? ?1 2分 当且仅当 2tan 1m? ?时取等号，又 622m ? ，所以 tan 3, 3? 即 A点在 O东偏南 3? 的方向上，总造价最低。 ?14 分 21. （本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题 6分，第 2小题 8分 . 解 : (1) 设直线 AB 的方程为 0bx ay ab? ? ? 原点到 AB的距
