1、 1 天津市 2018届高三数学上学期第一次月考试题 理 一、 选择题（每小题 5 分，共 60分） 1. 已知全集 5,4,3,2,1,0?U ，集合 5,3,2,1?A ， 4,2?B 则 BACU ?)( 为（ ） . A. 4,2,1 B. 4 C. 4,2,0 D. 4,32,0 ， 2. 设 Rx? ，则 ”“ 12?x 是 ”“ 022 ?xx 的（ ）条件 . A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3. 设 ?2log?a ， ?21log?b， 2?c ，则（ ） . A. cab ? B. cba ? C. bca ? D. abc ? 4. 在下
2、列区间中 34)( ? xexf x 的零点所在区间为（ ） . A. ? 0,41B. ? 410，C. ? 2141，D. ? 4321，5. 设函数 )1ln ()1ln ()( xxxf ? ,则 )(xf 是（ ） . A.奇函数，且在 ? ?10， 上是增函数 B.奇函数，且在 ? ?10， 上是减函数 C.偶函数，且在 ? ?10， 上是增函数 D.偶函数，且在 ? ?10， 上是减函数 6. 已知函数 xxxf 2ln)( ? ，若 2)4( 2 ?xf ,则实数 x 的取值范围是（ ） . A. )2,2(? B. )5,2( C. )2,5( ? D. )2,5( ? )5
3、2( ，? 7. 若 )53(log231 ? axxy在 ? ?,1 上单调递减，则 a 的取值范围是（ ） . A. )6,( ? B. )0,6(? C. 6,8( ? D.? ?6,8? 8.已知 )(xf 为偶函数，当 0?x 时， )0)(12()( ? mxmxf ，若函数 )( xff 恰有 4个零点，则 m 的取值范围是（ ） . A. )3,1( B. )1,0( C. ,1(? D.? ?，3 2 二、 填空题（每小题 5 分，共 30分） 9. 已知复数 iz ?1 ，则 ?22zz . 10. 不等式 2)1( 52 ?xx的解集是 . 11. 已知曲线 xxy ln
4、342 ? 的一条切线的斜率为 21 ，则切点的横坐标为 . 12. 函数 2xy? 与函数 xy 2? 的图象所谓封闭图形的面积是 . 13. 函数 3( ) 12f x x x=-在区间 3,3- 的最小值是 . 14. 若 函数 axaxxxf ? )2(2)( 2 在区间 ? ?1,3? 上不是单调函数，则 实数 a 的取值范围是 . 三、 解答题（共 80分） 15. 在锐角 ABC 中， cba 、 分别为角 CBA 、 所对应的边，且 Aca sin23 ? （ 1） 确 定角 C 的大小； （ 2） 若 7?c ，且 ABC 的面积为 233 ，求 ba? 的值 . 16. 某
5、项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回 答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰 .已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 525354 ， ，且各轮问题能否正确回答互不影响 . （ 1） 求该选手被淘汰的概率； （ 2） 该选手在选拔中回答问题的个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列与数学期望 . 17. 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参 加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10人中随机选出 2人作为该组代表参加座谈会 . （ 1） 设 A 为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为 4”求事件 A 发生的概率 . 3 （ 2）
6、设 X 为事件“选出的 2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件 X 发生的概率 . 18. 如图，在三棱柱 111 CBAABC? 中， ?1AA 底面 ABC , 1?AB , 31 ? AAAC , ? 60ABC . （ 1） 证明 CAAB 1? ; （ 2） 求异面直线 1AB 和 1BC 所成角的余弦值 ; （ 3） 求二面角 BCAA ? 1 的平面角的余弦值 . 19. 已知 3?x 是函数 xxxaxf 10)1ln ()( 2 ? 的一个极值点 . （ 1） 求 a ； （ 2） 求函数 )(xf 的单调区间； （ 3） 若直线 by? 与函数 )(xfy? 的图象有 3
7、 个交点，求 b 的取值范围 . 20. 设函数 .21ln)( 2 bxaxxxf ? （ 1） 当 2,3 ? ba 时，求函数 )(xf 的单调区间； （ 2） 令 ),30(21)()( 2 ? xxabxaxxfxF 其图象上任意一点 ),( 00 yxP 处切线的斜率 81?k 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 3） 当 0?ba 时，令 ,)(,1)()( mxxGxxfxH ? 若 )(xH 与 )(xG 的图象有两个交点),( 11 yxA , ),( 22 yxB ,求证： .2 221 exx ? AC1C1A 1BB 4 5 参考答案 1-4 CACC 5-8 AD
8、CB 9. i?1 10. 3,1()1,21 ? 11.2 12.34 13. 16? 14. )2,6(? 15.解：（ 1）根据正弦定理，由 3 2 sina c A= 有 3 sin 2 sin sinA C A= ， 于是 3sin 2C= ，由于是锐角三角形 ， 故 3C p= （ 2） ( ) 22 2 2 2 c o s 3c a b a b C a b a b= + - = + -， ( ) 23362s in 27 3 7 3 7 3 7 2 5s in s in 32sa b Ca b a bCC+ = + = + = + = + =， 故 5ab+= 。 16.解（ 1
9、）记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 ( )1,2,3iAi= ， 则 ( )1 45PA=，( )2 35PA= ， ( )3 25PA= ， 该选手被淘汰的概率 ：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 3 1 4 2 4 3 3 1 0 15 5 5 5 5 5 1 2 5P P A P A P A P A P A P A= + + = + ? 创 = （ 2） X 的可能值为 1,2,3 ( ) 11 5PX=， ( ) 4 2 82 5 5 2 5PX = = ?， ( ) 4 3 123 5 5 25PX = = ? 随机变量 X 的分布列为
10、X 1 2 3 P 15 825 1225 随机变量 X 的数学期望 ( ) 1 8 1 2 5 71 2 35 2 5 2 5 2 5EX = ? ? ? 17.解：（ 1）由已知，得 ( ) 1 2 23 4 3210 13C C CPA C +=， 所以事件 A 发生的概率为 13 （ 2）随机变量 X 的所有可能取值为 0, 1,2 ( ) 2 2 23 3 4210 + 40 15C C CPX C+= = =， ( ) 1 1 1 13 3 3 4210 71 15C C C CPX C+= =， ( ) 1134210 42 15CCPX C= = = 所以随机变量 X 的分布列
11、为 6 X 0 1 2 P 415 715 415 随机变量 X 的数学期望 ( ) 4 7 40 1 2 11 5 1 5 1 5EX = ? ? ? 18.解（ 1）在三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 1AA ABC ， 1AA AB 在 ABC 中 ， 1AB= ， 3AC= ， 60ABC? ， 由正弦定理得 30ACB? ， 90BAC? ， 即 AB AC 。 且 1AA ， AC 为平面 11ACCA 内两条相交直线 ， 11AB ACC A ， 又 11AC ACC A ， 1AB AC （ 2）如图，建立空间直角坐标系，则 ( )0,0,0A ， (1,0,0)B ，
12、 (0, 3,0)C ， 1(0,0, 3)A ，( )1 1,0, 3B ， ( )1 0, 3, 3C ( )1 1,0, 3AB =， ( )1 1, 3, 3BC =-， 1111117c o s , 7A B B CA B B CA B B C=， 即异面直线 1AB 和 1BC 所成角的余弦值为 77 （ 3）可取 ( )1,0,0m AB= 为平面 1AAC 的法向量 ， 设平面 1ABC 的法向量为( ),n x y z= ， 则100BC nAC n ? ?， 又 ( 1, 3,0)BC =- ， 1 (0, 3, 3)AC =-， AC1C1A 1BB z x y 7 30
13、3 3 0xyyz - + = -=，不妨取 1y= ， 则 ( 3,1,1)n= ， 因此有 15c o s ,5mnmn mn=二面角 1A AC B-的平面角的余弦值为 155 19.解：（ 1）因为 ( ) 2 101 af x xx = + -+ ， 所以 ( )3 6 10 04af = + - =， 因此 16a= 当 16a= 时 ， ( ) ( ) ( ) ( )22 4 3 2 3 116 2 1 01 1 1xx xxf x xx x x-+ - = + - = =+ + +， 由此可知 ， 当 ( )1,3x 时 ， ()fx单调递减 ， 当 ( )3,x?时 ， ()
14、fx单调递增 ， 所以当16a= 时 ， 3x= 是函数 ( ) 2ln (1 ) 1 0f x a x x x= + + -的一个极值点 。 于是 16a= （ 2）由（ I）知， ( ) 21 6 ln (1 ) 1 0f x x x x= + + -， ( )1,x? +? ， ( ) ( ) ( )2 3 11xxfx x- = + 当 ( ) ( )1,1 3,x ? ? ?时 ， ( ) 0fx 当 ( )1,3x 时， ( ) 0fx 所以 ()fx的单调增区间是 ( ) ( )1,1 3,- ? ? ， ()fx的单调减区间是 ( )1,3 （ 3） by? 与 )(xfy?
15、的图象有 3 个实数根；即 0)( ?bxf 有 3个实数根；此时，函数bxf ?)( 的图象与 x 轴有 3 个不同交点， 令 ,10)1ln (16)()( 2 bxxxbxfx ? 则 ),1(1 )3)(1(21021 16)( ? ? xxxxxxx? 令 ,0)( ?x? 解得 1?x 或 ,3?x ),(),( xx ? 随 x 的变化情况列表如下： x )1,1(? 1 )3,1( 3 ),3( ? )( x? ? 0 ?0 ? )(x? ? 极大值 ? 极小值 ? )1(? 为极大值， )3(? 为极小值 . 8 为使 )(xy ? 图象与 x 轴有 3 个不同交点，必须 )
16、(xy ? 的极大值等于零，极小值小于零，即? ? ,0)3( ,0)1(?可化为? ? ? ,0212ln32 ,092ln16 bb解得? ? ? ,212ln32 ,92ln16bb .92ln16212ln32 ? b 20. 解：（ 1） ,223ln)( 2 xxxxf ? 定义域为 ),0( ? ， x xxx xxxxxf )1)(13()123(231)( 2 ? ， 令 ,0)( ?xf 解得 310 ?x ，令 ,0)( ?xf 解得 31?x ， )(xf 的单增区间为 ),31,0( 单减区间为 ),31( ? . （ 2） ,1)(,ln)(22 x axxaxxF
17、xaxxF ? ,3,0(,81)( 02000 ? xx axxFk即 ,88 200 axx ? 令 16)4(8)( 202000 ? xxxxg ， )(0xg 在 3,0( 上单调递增， ,15924)3()( 0 ? gxg 158 ?a ， .815?a （ 3） ,)(,1ln)( mxxGxxxH ? 定义域 ),0( ? 111 1ln mxxx ? ，222 1ln mxxx ? + 得 ),(11lnln212121 xxmxxxx ?即 )(ln2121 2121 xxmxx xxxx ?， - 得2 1 2 11211ln - ln ( ),x x m x xxx+
18、 - = -即 )(ln1221 1212 xxmxx xxxx ?， 由得121221212121 ln)(2ln xxxx xxxx xxxx ? ，不妨设 210 x ? ，记 1?xxt ， 令 ),1(1 )1(2ln)( ? tttttF ,0)1( )1()(2 ? ttttF )(tF 在 ),1(? 上单调递增， ,0)1()( ? FtF 9 ,1)1(2ln ? ttt 即 ,)(2ln211212 xx xxxx ? ,2ln)(2ln121221212121 ? xxxx xxxx xxxx ,4ln24ln4ln)(2ln21212121212121212121 xxxxxxxxxx xxxxxx xxxx ? ,24ln22121? xxxx 即 ,12ln2121? xxxx 令 ,2ln)( xxx ? ,021)(2 ? xxx? )(x? 在 ),0( ? 上单调递增 . 又 ,1212ln2122)2ln ( ? eee ,22)2ln (12ln 2121 eexxxx ?即 ),2()( 21 exx ? ? .2 221 exx ?
