1、 1 云南省玉溪市 2018 届高三数学上学期第一次月考试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ?02A x x? ? ? ， ? ?2 1B x x?， 则 AB? （ ） A.? ?0,1 B.? ?1,2? C.? ?1,1? D.? ? ? ?, 1 2,? ? ? 2.已 知 i 为 虚数单位， ? ?11z i i? ? ? ， 则复数 z 的 共轭复数为（ ） A.i? B.i C.2i D. 2i? 3.某 校有高级教师 90 人， 一级
2、教师 120 人 ，二 级 教师 170 人 ，现按职称用分层抽样的方法抽取 38 人 参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ） A.10 B.12 C.16 D.18 4.若 变 量 ,xy满足 约束 条件 102 1 010xyxyxy? ? ? ? ? ? ?， 则目标函数 2z x y?的 最小值为（ ） A.4 B. 1? C. 2? D. 3? 5.执行 下图程序框图，若输出 2y? ， 则输入的 x 为 （ ） A. 1? 或 2? B. 1? C.1 或 2 D. 1? 或 2 6.已 知平面 ? 平面 ? ， 则 “ 直线 m? 平面 ? ” 是 “ 直线 m 平面 ? ”
3、 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.等 差数列 ?na 的 前 11 项 和 11 88S ? ，则 3 6 9a a a? ? ? （ ） A.18 B.24 C.30 D.32 8.函数 ? ? cos6f x x ?（ 0? ） 的最小正 周期 为 ? ， 则 ?fx满足 （ ） A.在 0,3?上 单调递增 B.图象关于直线6x ?对称 C. 332f ?D.当 512x ?时 有最小值 1? 2 9.函数 ? ? 2 lnf x x x? 的 图象大致为（ ） A B C D 10.某四 棱锥的三视图如图所示，则其体积为（
4、） A.4 B.8 C.43D.8311.在 平面直角坐标系 xOy 中 ，圆 O 的 方程为 224xy?， 直线 l 的 方程为 ? ?2y k x?， 若在圆 O 上 至少存在三点到直线 l 的 距离为 1， 则实数 k 的 取值范围是（ ） A. 30,3?B. 33,33?C. 11,22?D. 10,2?12.已 知函数 ? ? 32f x x ax bx? ? ?有 两个极值点 12,xx， 且 12xx? ，若 1 0 22x x x? ， 函数? ? ? ? ? ?0g x f x f x?， 则 ?gx（ ） A.仅有 一 个零点 B.恰有两个零点 C.恰有三个零点 D.至
5、少两个零点 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已 知向量 ? ?4,x?a ， ? ?1,2?b ，若 ?ab， 则 x? 14.已 知双曲线 ? 过 点 ? ?2, 3 ， 且与双曲线 2 2 14x y?有 相同的渐近 线，则双曲线 ? 的 标准方程为 15.直角 ABC 的 三个顶点都在球 O 的 球面上 ， 2AB AC?， 若球 O 的 表面积为 12? ， 则球心 O 到 平面 ABC 的 距离等于 16.?na 是 公差不为 0 的 等差数列， ?nb 是 公比为正数的等比 数列 ， 111ab?， 43ab? ，3 8
6、4ab? ， 则数列 ? ?nnab 的 前 n 项 和等于 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.在 ABC 中 ，角 A ， B ， C 所 对应的边分别为 a ， b ， c ， cosa b b C? . （ 1） 求证： sin tanCB? ； （ 2） 若 1a? ， 2b? ， 求 c . 18.某学校 用简单随机抽样方法抽取了 30 名 同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图： 若 将月 均 课外阅读时间不低于 30 小 时的学生称为“ 读书迷 ”. （ 1） 将频率视为概率，估计该校
7、900 名 学 生 中 “ 读书迷 ” 有多少 人？ （ 2） 从已抽取的 7 名 “ 读书迷 ” 中随机抽取男、女 “ 读书迷 ” 各 1 人 ，参加读书日宣传活动 . （ i） 共有多少 种 不同的 抽取 方法？ （ ii） 求抽取的男、女两位 “ 读书迷 ” 月均读书时间相差不超过 2 小时 的概率 . 19.如图 ，平行四边形 ABCD 中 ， 24BC AB?， 60ABC? ? ? ， PA? 平面 ABCD ， 2PA? ，E ， F 分别 为 BC ， PE 的 中点 . （ 1） 求证： AF? 平面 PED ； （ 2） 求点 C 到 平面 PED 的 距离 . 20.已
8、知椭圆 ? ?22: 1 0xy abab? ? ? ? ?经 过点 13,2M?， 且离心率 为 32. （ 1） 求椭圆 ? 的 方程； （ 2）设 点 M 在 x 轴 上的射影为点 N ， 过 点 N 的 直线 l 与 椭圆 ? 相 交于 A ， B 两点 ，且30NB NA?， 求直线 l 的 方程 . 21.已 知函数 ? ? xf x e? ， ? ? lng x x a?. （ 1）设 ? ? ? ?h x xf x? ， 求 ?hx的 最小值； （ 2） 若曲线 ? ?y f x? 与 ? ?y g x? 仅 有一个交点 P ， 证明：曲线 ? ?y f x? 与 ? ?y g
9、 x? 在 点 P4 处 有相同的切线，且 52,2a ?. 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22.点 P 是 曲线 ? ?2 21 : 2 4C x y? ? ?上 的动点，以坐标原点 O 为 极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为 中心 ，将点 P 逆 时针旋转 90? 得到 点 Q ，设 点 Q 的 轨迹方程为 曲线2C . （ 1） 求曲线 1C ， 2C 的 极坐标方程； （ 2）射线 ? ?03?与 曲线 1C ， 2C 分别 交于 A ， B
10、 两点， 定点 ? ?2,0M ， 求 MAB 的 面积 . 23.已 知函数 ? ? 21f x x a x? ? ? ?. （ 1） 若 1a? ， 解不等式 ? ? 5fx? ； （ 2） 当 0a? 时， ? ? 1g a fa? ?， 求满足 ? ? 4ga? 的 a 的 取值范围 . 5 文科 数学 参考答案 一 选择题： BABCD DBDAD BA 二填空题 ： （ 13） 2 （ 14） 22128yx?（ 15） 1 （ 16） ? ?1 2 1nn? 三解答题 ： （ 17） 解： （ ） 由 cosa b b C? 根据 正弦定理得 sin sin sin cosA B
11、 B C? ， 即 ? ?sin sin sin c o sB C B B C? ? ?， s in c o s c o s s in s in s in c o sB C B C B B C? ? ?， sin cos sinC B B? ， 得 sin tanCB? （ ）由 cosa b b C? ，且 1a? ， 2b? ，得 1cos2C?， 由余弦定理， 2 2 2 12 c o s 1 4 2 1 2 72c a b a b C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 7c? （ 18）解： （）设 该校 900 名学生中“读书迷”有 x 人，则 730 900x?，
12、解得 210x? . 所以该校 900 名学生中“读书迷”约有 210 人 . （） （） 设抽取的男“读书迷”为 35a ， 38a ， 41a ， 抽取 的女“读书迷”为 34b ， 36b ， 38b ， 40b (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间 )， 则从 7 名“读书迷”中随机抽取男、女 读书迷各 1 人的所有基本事件为： ? ?35 34,ab ， ? ?35 36,ab ， ? ?35 38,ab ， ? ?35 40,ab ， ? ?38 34,ab ， ? ?38 36,ab ， ? ?38 38,ab ， ? ?38 40,ab ， ? ?41 34,ab ， ? ?
13、41 36,ab ， ? ?41 38,ab ， ? ?41 40,ab ， 所以共有 12 种不同的抽取方法 （） 设 A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过 2 小时”， 则事件 A 包含 ? ?35 34,ab ， ? ?35 36,ab ， ? ?38 36,ab ， ? ?38 38,ab ， ? ?38 40,ab ， ? ?41 40,ab 6 6 个基本事件， 所以所求概率 ? ? 6112 2PA? （ 19）解： （）连接 AE ， 在 平行四边形 ABCD 中 ， 24BC AB?， 60ABC? ? ? ， 2AE? ， 23ED? ， 从而有 2
14、2 2AE ED AD?， AE ED? PA? 平面 ABCD ， ED? 平面 ABCD ，PA ED? ， 又 PA AE A? ， ED? 平面 PAE ， AF? 平面 PAE 从而有 ED AF? 又 2PA AE?， F 为 PE 的中点 ， AF PE? ， 又 PE ED E? ， AF? 平面 PED （） 设点 C 到平面 PED 的距离为 d ， 在 Rt PED 中， 22PE? ， 23ED? ， 26PEDS ? 在 ECD 中， 2EC CD?， 120ECD? ? ?， 3ECDS ? 由 C PED P ECDVV? 得 ， 1133PED EC DS d
15、S PA? ? ? ， 22ECDPEDS PAd S ? 所以点 C 到 平面 PED 的距离为 22 （ 20） 解 ： （） 由已知 可得223114ab?， 22 32aba? ?， 解得 2a? ， 1b? ， 所以 椭圆 的方程为 2 2 14x y? （）由已知 N 的坐标为 ? ?3,0 ， 当 直线 l 斜率为 0 时，直线 l 为 x 轴 ，易知 30NB NA?不成立 PFEDCBA7 当直线 l 斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 3x my?， 代入 2 2 14x y?，整理得， ? ?224 2 3 1 0m y m y? ? ? ?， 设 ? ?11,Ax
16、y ， ? ?22,Bx y 则12 2234 myy m?， 12 214yy m? ?， 由 30NB NA?，得 213yy? ， 由解得 22m? 所以直线 l 的方程为 2 32xy? ?，即 ? ?23yx? ? （ 21）解： （） ? ? ? ?1xh x x e? ， 当 1x? 时， ? ?0hx? ， ?hx单调递减； 当 1x? 时， ? ?0hx? ， ?hx单调递增， 故 1x? 时， ?hx取得最小值 1e? （ ）设 ? ? ? ? ? ? lnxt x f x g x e x a? ? ? ? ?，则 ? ? ? ?110xx xet x e xxx? ? ?
17、 ?， 由 （）得 ? ? 1xT x xe?在 ? ?0,? 单调递增，又 1 02T?， ?10T ? ， 所以存在0 1,12x ?使得 ? ?0 0Tx? ， 所以 当 ? ?00,xx? 时， ? ?0tx? ， ?tx单调递减； 当 ? ?0,xx? ? 时， ? ?0tx? ， ?tx单调递增， 所以 ?tx)的最小值为 ? ? 000ln 0xt x e x a? ? ? ?， 由 ? ?0 0Tx? 得001xe x? ，所以曲 线 ? ?y f x? 与 ? ?y g x? 在 P 点处有相同的切线， 又 0 0lnxa e x? ， 所以001axx?， 因为0 1,12
18、x ?，所以 52,2a ? （ 22） 解： （ ） 曲线 1C 的极坐标方程为 4cos? 8 设 ? ?,Q? ，则 ,2P ?，则有 4 cos 4 sin2? ? ? ? ? 所以， 曲线 2C 的极坐标方程为 4sin? （） M 到射线3?的距离为 2sin 33d ?， ? ?4 s in c o s 2 3 133BAAB ? ? ? ? ? ? ?， 则 1 332S AB d? ? ? ? （ 23） 解： （ ） ? ? 21f x x x? ? ? ?, 所以 表示数轴上的点 x 到 2? 和 1 的距离之和， 因为 3x? 或 2 时 ? ? 5fx? ， 依据绝对值的几何意义可得 ? ? 5fx? 的解集为 ? ?32x
