1、1 江苏省南京六校联合体 2021 届高三暑假学情检测 数学试题 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 2 20 x xx，B x yx，则 AB A12xx B02xx C1x x D0 x x 2已知复数满足13iz ，则 z z A 13 i 22 B 13 i 22 C 13 i 22 D 13 i 22 3若 a，b，c 满足23 a ， 2 log 5b ， 3 log 2c ，则 Acab Bbca Cabc Dcba 4已知函数Asi
2、n()yxA0，0，的图像如图所示，则 A2， B2， 2 C 1 2 ， 4 D 1 2 ， 3 4 5函数 (22 ) ( ) 2cos xx x f x x 的部分图像大致为 A B C D 6某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布 N(105， 2 )， (0)，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数 2 的 1 5 ，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 A150 B200 C300 D400 7 张丘建算经是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初 日织七尺，末日织
3、一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织 布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问 三十天共织布多少尺? A90 B120 C140 D150 8在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC 2 3 ，AP3，AB2 3，Q 是边 BC 上的一动点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 3 ，则三棱锥 PABC 的外接 球的表面积为 A50 B55 C57 D108 第 4 题 第 10 题 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，
4、请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知( )f x是定义域为 R 的函数，满足(1)(3)f xf x，(1)(3)fxfx，当 0 x2 时， 2 ( )f xxx，则下列说法正确的是 A( )f x的最小正周期为 4 B( )f x的图像关于直线 x2 对称 C当 0 x4 时，函数( )f x的最大值为 2 D当 6x8 时，函数( )f x的最小值为 1 2 10如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点， 3 则 A直线 DD1与直线 AF 垂直 B直线 A1G 与平面 AEF 平行 C点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离
5、相等 D平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 9 8 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22 1 412 xy ，则 A实轴为 2 B渐近线为3yx C离心率为 2 D一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3 12已知 111 ln20 xxy， 22 22ln260 xy，记 M 22 1212 ()()xxyy， 则 AM 的最小值为16 5 B当 M 最小时， 2 14 5 x CM 的最小值为 4 5 D当 M 最小时， 2 12 5 x 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知向量a(1，m)，
6、b( 1 2 ， 2 2 )，若ab，则 m 14 7 2 ()x x 的展开式中 x 的系数为 15 某系列智能手机玻璃版有 “星河银” 、 “罗兰紫” 、 “翡冷翠” 、 “亮黑色” 四种颜色 若甲、 乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机， 若甲购 买“亮黑色”或“星河银” ，则乙不购买“罗兰紫” ，则这四位市民不同的购买方案有 种 16已知函数 2 2 , ( ) , x xa f x xxa ，若 a1，则不等式( )1f x 的解集为 ；若 存 在实数 b，使函数( )( )g xf xb有两个零点，则实数 a 的取值范围是 四、解答题（本大题共 6
7、小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 4 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且满足(ba)(sinBsinA)c(3 sinBsinC) （1）求 A 的大小； （2）若 a2，B 4 ，求ABC 的面积 18 （本小题满分 12 分） 给出下列三个条件： 3 4a， 4 3a， 5 2a成等差数列；对于Nn ，点n， n S均在 函数2xya的图像上，其中 a 为常数； 3 7S 请从这三个条件中任选一个将下面的 题目补充完整，并求解 设 n a是一个公比为 qq0，q1的等比数列，
8、，且它的首项 1 1a （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 2 2log1 nn ba(Nn )，证明 1 1 nn b b 的前 n 项和 1 2 n T 19 （本小题满分 12 分） 如图 1，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，BAD60，DEAB 于点 E，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1DDC，如图 2 （1）求证：A1E平面 BCDE； （2）求二面角 EA1BC 的余弦值 5 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的右准线方程为 x4，右顶点为 A，上顶点为 B， 右焦点为 F，斜率为 2 的直线经过点
9、 A，且点 F 到直线的距离为 2 5 5 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）将直线绕点 A 旋转，它与椭圆 C 相交于另一点 P，当 B，F，P 三点共线时，试确 定直 线的斜率 21 （本小题满分 12 分） 南京市从 2020 年 6 月 1 日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也 是打赢污染防治攻坚战的重要环节， 为了解居民对垃圾分类的了解程度， 某社区居委会随机 抽取 1000 名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下： 得分 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90， 100) 男性人数 40 90
10、120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于 60 分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于 60 分）和“不太了 解” （得分低于 60 分）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民对垃 圾分类的了解程度”与“性别”有关? 不太了解 比较了解 总计 男性 女性 总计 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人， 连同 m(mN)名男性调查员一起组成 3 个环保宜传组，若从这 m10
11、 人中随机抽 6 取 3 人作为组长，且男性组长人数的期望不小于 2，求 m 的最小值 附公式及表： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd P( 2 0 Kk) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2 lnf xxxx， 2 ( )(ln ) a g xxx x ，其中 aR， 0 x是( )g x的一个 极值点，且 0 ()2g x （1）讨论函数( )
12、f x的单调性； （2）求实数 0 x和 a 的值； （3）证明 2 1 11 ln(21) 2 41 n k n k (Nn ) 江苏省南京六校联合体 2021 届高三暑假学情检测 数学试题 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 2 20 x xx，B x yx，则 AB A12xx B02xx C1x x D0 x x 答案：C 解析：集合 A 2 20 x xx，集合 A11xx ， 集合 B x yx，集合 B0 x x ， 7 AB1x x
13、 ，故选 C 2已知复数满足13iz ，则 z z A 13 i 22 B 13 i 22 C 13 i 22 D 13 i 22 答案：D 解析：13iz ，13iz ，2z ， 13i13 i 222 z z ，故选 D 3若 a，b，c 满足23 a ， 2 log 5b ， 3 log 2c ，则 Acab Bbca Cabc Dcba 答案：A 解析：由23 a ，知 1a2，由 22 log 5log 42b ， 33 log 2log 31c ， cab，故选 A 4已知函数Asin()yxA0，0，的图像如图所示，则 A2， B2， 2 C 1 2 ， 4 D 1 2 ， 3
14、4 答案：D 解析： 7 ()4 22 T ， 21 42 ， 13 2 22 k ，kZ， 3 2 4 k ， ， 3 4 ，故选 D 8 5函数 (22 ) ( ) 2cos xx x f x x 的部分图像大致为 A B C D 答案：C 解析：首先可判断出原函数是奇函数，其次 x0 时，( )f x0，故选 C 6某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布 N(105， 2 )， (0)，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数 的 1 5 ，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 A150 B20
15、0 C300 D400 答案：C 解析： 11 1000 ()300 25 ，故选 C 7 张丘建算经是我国古代数学名著，书中有如下问题“今有懒女不善织，日减功迟，初 日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?”其意思为：有个懒惰的女子不善于织 布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问 三十天共织布多少尺? A90 B120 C140 D150 答案：B 解析： 130 ()30(7 1) 30 120 22 n aa S 故选 B 8在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC 2 3 ，AP3，AB2 3，Q 是边 BC 上的一动点，且直线 PQ
16、与平面 ABC 所成角的最大值为 3 ，则三棱锥 PABC 的外接 球的表面积为 A50 B55 C57 D108 答案：C 9 解析：三棱锥中，平面，直线与平面所成角为， 如图所示；则，且的最大值是， ，的最小值是，即到的距离为， ，在中可得，即可得； 取的外接圆圆心为，作， ，解得； ， 取为的中点， 由勾股定理得， 三棱锥的外接球的表面积是 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知( )f x是定义域为 R 的函数，满足(1)(3)f xf x，(1)(3)
17、fxfx，当 0 x2 时， 2 ( )f xxx，则下列说法正确的是 A( )f x的最小正周期为 4 B( )f x的图像关于直线 x2 对称 10 C当 0 x4 时，函数( )f x的最大值为 2 D当 6x8 时，函数( )f x的最小值为 1 2 答案：ABC 解析：由(1)(3)f xf x知( )f x的最小正周期为 4，故 A 正确； 由(1)(3)fxfx知( )f x的图像关于直线 x2 对称，故 B 正确； 当 0 x4 时，函数( )f x的最大值为 2，故 C 正确； 当 6x8 时，函数( )f x的最小值为 1 4 ，故 D 错误故选 ABC 10如图，正方体
18、ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点， 则 A直线 DD1与直线 AF 垂直 B直线 A1G 与平面 AEF 平行 C点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等 D平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 9 8 答案：BD 解析：取中点，则为在平面上的射影， 与不垂直，与不垂直，故错； 取中点，连接，可得平面平面，故正确； 把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故 D 正确； 11 假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过 的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故 C 错 故选：BD 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲
19、线 22 1 412 xy ，则 A实轴为 2 B渐近线为3yx C离心率为 2 D一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3 答案：BC 解析： 由双曲线 的方程可得， 所以， 所以不正确， 所以实轴长， 离心率， 渐近线方程为， 所以， 正确， 因为准线方程为， 设渐近线与渐近线的交点为， 两个方程联立可 得，另一条渐近线的方程为：，所以到它的距离 为 ，所以不正确 故选： 12已知 111 ln20 xxy， 22 22ln260 xy，记 M 22 1212 ()()xxyy， 则 AM 的最小值为16 5 B当 M 最小时， 2 14 5 x CM 的最小值为 4 5 D当 M
20、 最小时， 2 12 5 x 答案：AB 解析：由，得， 的最小值可转化为函数图象上的点到直线 12 22ln260 xy上的点的距离的最小值的平方， 由得， 因为与直线22ln260 xy平行的直线斜率为， 所以，解得，则切点坐标为， 所以到直线22ln260 xy上的距离 22ln22ln264 5 55 d ， 即函数上的点到直线22ln 260 xy上的点的距离最小值为 4 5 5 ， 所以的最小值为16 5 ， 又 过且 与22 l n 260 xy垂 直 的 直 线 为， 即 ， 联立 22ln260 2ln240 xy xy ，解得， 即当最小时， 14 5 x 故选：AB 三、
21、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13已知向量a(1，m)，b( 1 2 ， 2 2 )，若ab，则 m 答案： 2 2 解析： 122 0 222 mm 13 14 7 2 ()x x 的展开式中 x 的系数为 答案：280 解析：由于的展开式的通项公式为， 则令721r，求得3r ，可得展开式中 x 的系数为 33 7( 2) 280C 15 某系列智能手机玻璃版有 “星河银” 、 “罗兰紫” 、 “翡冷翠” 、 “亮黑色” 四种颜色 若甲、 乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机， 若甲购 买“亮
22、黑色”或“星河银” ，则乙不购买“罗兰紫” ，则这四位市民不同的购买方案有 种 答案：20 解析：依题意，就甲实际购买的手机颜色进行分类，第一类，甲实际购买的手机颜色为“亮 黑色”与“星河银”之一，满足题意的购买方案有 112 222 8CCA(种)；第二类， 甲实际购买的手机颜色不是“亮黑色” ，也不是“星河银” ，满足题意的购买方案有 13 23 12CA(种)， 由分类加法计数原理可知， 满足题意的购买方案有 81220(种) 16已知函数 2 2 , ( ) , x xa f x xxa ，若 a1，则不等式( )1f x 的解集为 ；若 存 在实数 b，使函数( )( )g xf x
23、b有两个零点，则实数 a 的取值范围是 答案：（，0 （，2）（4，） 解析： 当时， 则令( )1f x ， 即有21 x 或 2 1x ， 解得 x0 或， 故( )1f x 的解集为（，0； 由函数只有一个零点时，时，或， 当时，此时只有一个零点； 当时，有 2 个零点； 同理当时，只有一个零点 当 a4 时，有 2 个零点， 故可得 a 的取值范围是（，2）（4，） 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 14 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且满足(b
24、a)(sinBsinA)c(3 sinBsinC) （1）求 A 的大小； （2）若 a2，B 4 ，求ABC 的面积 解： （1）因为()(sinsin)( 3sinsin)baBAcBC， 由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得( )()( 3)ba bacbc，即 222 3bcabc ， 所以 222 33 cos 222 bcbc A bcbc a ， 因为0A，所以 6 A （2）由正弦定理 sinsin ab AB ，得sin2 2 sin a bB A 由余弦定理 222 2cosbacacB，得 222 (2 2)22 2 cos 4 cc ， 解得26c 所以
25、 ABC的面积 112 sin2 ( 26)31 222 SacB 18 （本小题满分 12 分） 给出下列三个条件： 3 4a， 4 3a， 5 2a成等差数列；对于Nn ，点n， n S均在 函数2xya的图像上，其中 a 为常数； 3 7S 请从这三个条件中任选一个将下面的 题目补充完整，并求解 设 n a是一个公比为 qq0，q1的等比数列， ，且它的首项 1 1a （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 2 2log1 nn ba(Nn )，证明 1 1 nn b b 的前 n 项和 1 2 n T 解：若选1：因为 345 4,3,2aaa成等差数列，所以 435 2 3=42
26、aaa. 15 又因为数列 n a是等比数列，即 2 320qq解得 2q 或1q （舍去）3 分 又 1 1a ，所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 n a的通项公式 1 =2n n a 若选2： 点(, )nn S均在函数2xya的图像上， 所以2n n Sa， 又因为 11 2aSa， 所以1a ，所以21 n n S ，所以 2 3S ，所以 2 2,2aq. 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 n a的通项公式 1 =2n n a 若选3： 3 7S ，因为 n a是公比为(0,1)q qq的等比数列， 所以 3 1(1 ) 7
27、 1 aq q ，即 2 60qq解得2q 或3q （舍去） 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 n a的通项公式 1 =2n n a （2）证明：因为 1 =2n n a ，所以 2 2log1=2n-1 nn ba 所以 1 11111 = (21)(21)2 (21)(21) nn b bnnnn 所以 1 22 31 111 = 111111 =(1) 22232121 111 (1) 2212 n nn T bbb bb b nn n 19 （本小题满分 12 分） 如图 1，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，BAD60，DEAB 于点 E，将ADE 沿
28、 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1DDC，如图 2 （1）求证：A1E平面 BCDE； （2）求二面角 EA1BC 的余弦值 解： （1）DEBE，BEDC，DEDC 16 又A1DDC，A1DDE=D，DC平面 A1DE，DCA1E 又A1EDE，DCDE=D，A1E平面 BCDE （2）A1E平面 BCDE，DEBE， 以 EB，ED，EA1所在直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系（如图） 易知 DE=2，则 A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2 ，0)，D(0，2，0)， 1 BA=(2，0，2)，BC=(2，2，0)， 易知平面 A1BE 的一个法
29、向量为 n=(0，1，0) 设平面 A1BC 的法向量为 m=(x，y，z)， 由 1 BA m=0，BC m=0，得令 y=1，得 m=(，1，)， cosm，n= 由图得二面角 E A1B C 为钝二面角，二面角 E A1B C 的余弦值为 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的右准线方程为 x4，右顶点为 A，上顶点为 B， 右焦点为 F，斜率为 2 的直线经过点 A，且点 F 到直线的距离为 2 5 5 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）将直线绕点 A 旋转，它与椭圆 C 相交于另一点 P，当 B，F，P 三点共线时，试确 定直 线
30、的斜率 解：（1）由题意知，直线的方程为2()yxa，220 xya， 右焦点F到直线的距离为 222 5 55 ca 1ac ， 又椭圆C的右准线为4x，即 2 4 a c ，所以 2 4 a c ，将此代入上式解得2,1ac， 2 3b，椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； 17 （2）由（1）知(0, 3)B，(1,0)F， 直线BF的方程3(1)yx ， 联立方程组 22 3(1) 1 43 yx xy ， 解得 8 5 3 3 5 x y 或 0 3 x y （舍），即 83 3 ( ,) 55 P， 直线的斜 3 3 0() 3 3 5 8 2 2 5 k . 其他方法： 方法
31、二: 由 （1） 知( 0 , 3 )B，(1,0)F， 直线BF的方程为3(1)yx ， 由题(2,0)A， 显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)yk x，联立方程组 3(1) (2) yx yk x ，解得 23 3 3 3 k x k k y k ，代入椭圆解得： 3 3 2 k 或 3 2 k ，又由题意知， 3 0 3 k y k 得 0k 或3k ，所以 3 3 2 k . 方法三：由题(2,0)A，显然直线的斜率存在，设直线的方程为(2)yk x，联立方程组 22 (2) 1 43 yk x xy ，得 2222 431616120kxk xk， 2 2 16 43 AP k
32、 xx k ， 所以 22 22 1686 2 4343 P kk x kk , 2 12 43 P k y k ，当,B F P三点共线时有， BPBF kk， 即 2 2 2 12 3 3 43 861 43 k k k k ， 解得 3 3 2 k 或 3 2 k ， 又由题意知， 3 0 3 k y k 得0k 或3k ，所以 3 3 2 k . 21 （本小题满分 12 分） 18 南京市从 2020 年 6 月 1 日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也 是打赢污染防治攻坚战的重要环节， 为了解居民对垃圾分类的了解程度， 某社区居委会随机 抽取 1000 名社区居民
33、参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下： 得分 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90， 100) 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于 60 分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于 60 分）和“不太了 解” （得分低于 60 分）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民对垃 圾分类的了解程度”与“性别”有关? 不太了解 比较了解 总计 男性
34、 女性 总计 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人， 连同 m(mN)名男性调查员一起组成 3 个环保宜传组，若从这 m10 人中随机抽 取 3 人作为组长，且男性组长人数的期望不小于 2，求 m 的最小值 附公式及表： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd P( 2 0 Kk) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解： （1）由调查数据，问卷得分不低于
35、 60 分的比率为 1301109011010060 1000 0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于 60 分的概率 为 0.6； （2）由题意得列联表如下： 不太了解 比较了解 总计 男性 250 330 580 女性 150 270 420 总计 400 600 1000 K21000 （250 270330 150） 2 400 600 420 580 5.542 因为 5.5423.841， 所以有 95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关 （3）由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女性 4 人 19 随机变量 的所以可能取值为 0，1，2，3，其中
36、P（0） C 0 m+6C34 C 3 m+10 ，P（1） C 1 m+6C24 C 3 m+10 ，P（2） C 2 m+6C14 C 3 m+10 ，P（3） C 3 m+6C04 C 3 m+10 ， 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P C 0 m+6C34 C 3 m+10 C 1 m+6C24 C 3 m+10 C 2 m+6C14 C 3 m+10 C 3 m+6C04 C 3 m+10 E（） C 0 m+6C34 C 3 m+10 0 C 1 m+6C24 C 3 m+10 1 C 2 m+6C14 C 3 m+10 2 C 3 m+6C04 C 3 m+10 3
37、2 解得 m2，所以 m 的最小值为 2 法二：由题意知，随机变量 服从超几何分布 H（3，m6，m10） ， 则 E（）3（m6） m10 ， 由 E（）2 得 m2，所以 m 的最小值为 2 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2 lnf xxxx， 2 ( )(ln ) a g xxx x ，其中 aR， 0 x是( )g x的一个 极值点，且 0 ()2g x （1）讨论函数( )f x的单调性； （3） 求实数 0 x 和 a 的值； （3）证明 2 1 11 ln(21) 2 41 n k n k (Nn ) 解： （1）函数 f(x)的定义域为（0，） ，且 f
38、(x)2x2lnx2，令 h(x)f (x)， 则有 h(x)2（x1） x ，由 h(x)0 可得 x1，如下表： x （0，1） 1 （1，） h(x) 0 h(x) 极小值 20 所以 h(x)h(1)0 ，即 f (x)0，f(x)在（0，）上单调递增 （2）函数 g(x)的定义域为（0，） ，且 g (x)1 a x2 2lnx x 由已知，得 g (x0)0，即 x022x0lnx0a0 由 g (x0)2 可得 x02x0（lnx0）22x0a0 联立消去 a 可得 2x0（lnx0）2 2lnx020 令 t (x)2x（lnx）2 2lnx2，则 t (x)22lnx x 2
39、 x 2（xlnx1） x 由 知 xlnx10，故 t (x)0，所以 t (x)在（0，）上单调递增 t (1)0，所以方程有唯一解 x01，代入，可得 a1. （3）由（1）知 f (x)x22xlnx 在（0，）上单调递增， 故当 x（1，） ，f (x)f (1)1，所以 g (x)1 a x2 2lnx x f (x)1 x2 0， 可得 g(x)在（1，）上单调递增。当 x1 时， g(x)g(1)2，即 x1 x（lnx） 2 2 亦即（ x 1 x ） 2（lnx）2 ，这时 x1 x0， lnx0，故得 x 1 xlnx 取 x2k1 2k1，kN *。可得 2k1 2k1 2k1 2k1ln（2k1）ln（2k1） 而 2k1 2k1 2k1 2k1 2 4k21 故k=1 n 2 4k21k=1 n ln（2k1）ln（2k1）ln（2n 1） 所以 k=1 n 1 4k21 1 2ln（2n1）
