1、 1 江西省高安 2018届高三第二次段考试题 理科数学 第卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 4 | 02xA x Z x ? ? ?， 1 | 2 44 xBx? ? ?，则 AB=（ ） A. | 1 2xx? ? ? B.0,1,2 C. 1,0,1,2? D. 2, 1,0,1,2? 2 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. 1y x? B. 1lg1 xy x? ? C. tanyx? D. 2xy? 3函数 2( ) 3 sin( 2 )
2、3f x x?的一个单调递增区间是（ ） A 7 , 12 12? B7 13 , 12 12?C , 22? D. 5 , 66? 4. 下列说法正确的是（ ） A. 11,0, ? yxyxRyx 且则若 B. ”的必要不充分条件”是“ 111, ? aaRa C.命题“ xR? ，使得 2 2 3 0xx? ? ? ”的否定是“ xR? ，都有 2 2 3 0xx? ? ? ” D 0x? 都有 22x x? 5. 已知数列 ?na 为等差数列，其前 n 项和为 nS ， 52 87 ?aa ，则 11S 为（ ） A. 110 B.55 C.50 D. 不能确定 6 ()fx 是定义在
3、 R 上的偶函数， ()fx在 (0, )? 上单调递增， 132(log )af? ， 233( ), (log )2b f c f?，则下列不等式成立的是（ ） A abc? B a c b? C c b a? D c a b? 7.若13ta n , ,ta n 2 4 2? ? ? ? ?，则sin 2 4?的值为（ ） A.5?B. C.210D. 8圆 O 的半径为 3，一条弦 4,AB P? 为圆 O 上任意一点，则 BPAB? 的取值范围为（ ） A.? ?16,0? B.? ?0,16 C.? ?20,4? D.? ?4,20? 2 9已知向量 a ,b 的夹角为 ?120
4、，且 2| ?a ， 3| ?b 则向 量 ba 32 ? 在向量 ba?2 方向上的投影为（ ） A 8313 B 61313 C 566 D 19131310 已知函数 ()fx? 是函数 ()fx的导函数， 1(1)f e? ，对任意实数都有 ( ) ( ) 0f x f x?，则不等式 2() xf x e ? 的解集为 （ ） A. (1, )? B. ( , )e? C. (1,)e D. (, )e? 11已知数列 ?na 为等差数列，若 221 10 25aa?恒成立，则 173aa? 的取值范围是（ ） A 10 2,10 2? B 5 2,5 2? C 10,10? D 5
5、,5? 12函数 )1219,1211(3 32c o s4)322c o s ()( 2 ? ? xxxxxf 所有零点之和为（ ） A. 32? B. ?2 C. 34? D. 38? 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13等比数列 ?na 的各项均为正数，且 101291110 2eaaaa ? ，则 1 2 20ln ln lna a a? ? ?_. 14已知函数 221 3 , 3 , 0 3()9 , (0 , 3 xxfxxx? ? ? ? ?，则 3 ()3f x dx? 15在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别
6、为 a ， b ， c ， ta n ta n 2 ta nb B b A c B? ? ?，且 8a? ， ABC? 的面积为 43，则 bc? 的值为 16网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向某品牌行车记录仪支架销售公司从 2017年 1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足 123 ? tx 函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为 3万元，产品每 1 万件进货价格为 32万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装
7、费用的一半”之和，则该公司最大月利润是 _万元 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 3 EPDCBA17（本小题满分 10分） 在直角坐标系 xOy 中，已知点 ? ? ? ? ? ?, , 2, 3 , 3, 2A a a B C （）若向量 ,ABAC 的夹角为钝角，求实数 a 的取值范围； （）若 1a? ，点 ? ?,Pxy 在 ABC? 三边围成的区域（含边界）上， ? ?,O P m A B n A C m n R? ? ?，求 mn? 的最大值 18.（本小题满分 12分 ) 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，
8、已知 2 7a? ， 3a 为整数，且 nS 的最大值为 5S . （）求 ?na 的通项公式； （）设 2nn nab?，求数列 ?nb 的 前 n 项和 nT . 19.（本小题满分 12分） 已知函数 2( ) c o s 2 4 s in s in ( )24xf x x x ? ? ? ? （）将函数? ?fx的图像向右平移6?个单位得到函数?gx的图像，若 , 12 2x ? ，求函数 ?gx的值域； （）已知 ,abc 分别为 ABC? 中角 ,ABC 的对边，且满足 2?b ， 12)( ?Af ， )2,0(,s in23 ? BAba ，求 ABC? 的面积 20.（本小题
9、满分 12分） 如图，四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 为平行四边形，平面 PAB 平面 ABCD ， , 45PB PC ABC? ? ?， 点 E 是线段 PA 上 靠近点 A 的三等分点 . 4 （）求证： AB PC? （）若 PAB? 是边长为 2的等边三角形，求直线 DE 与 平面 PBC 所成角的正弦值 . 21（本小题满分 12分） 已知正项数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 ? ? ?2 1 2 .n n nS a a? ? ? （）求 ?na 的通项公式； （） 设数列 ? ?12nnn na?的前 n 项和为 nT ，试比较 nT 与 ? ?12 18 2
10、 21n nnn? ? ? ? 的大小 . 22（本小题满分 12分） 已知函数 ? ? ? ?lnxf x xe a x x? ? ?. （）若函数 ?fx恒有两个零点，求 a 的取值范围； （）若对任意 0x? ，恒有不等式 ? ? 1fx? 成立 . 求实数 a 的值；证明： ? ?2 2 ln 2 sinxx e x x x? ? ? 江西省高安中学 2018届高三第二次段考试题 理科数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B B B C D C D A A C 13.100 14.9 64? 15. 45 16.37.5ss 5 17.解：（ 1）
11、由 ? ? ? ? 02 , 3 , 3 , 2 , A B A CA B a a A C a aA B A C? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ?22 5 6 0 , 2 3A B A C a a a? ? ? ? ? ?又 52a? ， AB 与 AC 夹角为 ? ，所以552, ,322a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 5分 （ 2） ? ? ? ? ? ?, , 1 , 2 2 ,1O P m A B n A C x y m n? ? ? ?， 即 2 , 2x m n y m n? ? ? ?，解得 m n y x? ? ? ，令 y x t?， 由图知，当直线 y
12、 x t?过点 ? ?2,3B 时， t 取得最大值 1，故 mn? 的最大值为 1 10 分 18.解：（ 1）由 2 7a? ， 3a 为整数知等差数列 ?na 的公差 d 为整数 . 又 5nSS? ，故 5 0a? ， 6 0a? ， 解得 132134d? ? ?， 因此 2d? 数列 ?na 的通项公式为 11 2nan? . 6分 （ 2）因为 11 222nn nna nb ?， 所以239 7 5 1 1 22 2 2 2n n nT ? ? ? ? ?， 2 3 4 11 9 7 5 1 1 22 2 2 2 2n n nT ? ? ? ? ?， 式减式得，2 1 11 9
13、 1 1 1 1 1 22 2 2 2 2 2n nn nT ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得11 7 7 22 2 2n n nT ? ? ? ?， 因此 2772n nnT ?. 12分 6 zyxPDCBAoE19.解：? ? 2c os 2 4 si n si n 24xf x x x ? ? ?1 c os 2c os 2 x 4 si nx2x ?1 2sinx?， 3分 （ 1）平移可得? ? 2 si n 2 13g x x ? ? ?， 4分 ,12 2x ?，22,3 6 3x ? ? ? ? ?， 5分 当12?时，? ?min 0gx ?；当512x ?时，
14、? ?max 3gx ? 6分 所求值域为? ?0,3 7分 （ 2）由已知3 2 sina b A?及正弦定理得：3 si n 2 si n si nA B A?， 8分 3sinB?，2?，B?，由? ? 21fA?得2sin 2A?，又23a b b?，4A?， 10 分 由正弦定理得：263a， 11 分 1 1 2 6 6 2 3 3si n 22 2 3 4 3ABCS ab C? ? ? ? ? ? ? 12分 20.（）作 ABPO? 于 O . ，连接 OC ABA B C DPABA B C DPAB ?面，且面平面平面 ? ， ABCDPO 面? ,PB PC Rt PO
15、 B? ? ? ( ),R t P O C H L O B O C? ? ? ABOCABC ? ,45 ?又 . ,OCOPO ?又 由 ， P O CPCP O CAB 面，又面得 ? ，PCAB? 5分 （） PAB? 是边长为 2的等边三角形， 1,3 ? OCOBOAPO 如图建立空间坐标系，)0,0,1()0,1,0()0,0,1(),3,0,0( ?ACBP 设面 PBC 的法向量为 ),( zyxn? 7 (1,0, 3),PB ? )0,1,1(?BC ），（得令 133,3,0 03 ? ? ? nxyxBCn zxPBn 8分 )0,1,1(),33,0,31(31),3,0,1( ? DACBAPAEAP?所成角为与面设 PBCDEAEDADE ),33,1,34( ?73133931916333334|,c o s|s i n ? DEn DEnDEn? 11 分 直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值37 12分 21.（ 1）证明：当 1?n 时， 2,0),2)(1(
