1、 1 山东省济南市 2018 届高三数学上学期 12 月考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 1| 2 22 xAx? ? ?， ? ?| ln 0B x x x?，则 AB? （ ） A 1(0, )2 B 1,0)? C 1 ,1)2 D ? ?1,1? 2.定义一种运算如下： 111 2 2 122xy x y x yxy?，则复数 313izii? ?（ i 是虚数单位）的模长为（ ） A 8 B 4 C 22 D 31? 3.原命题：“ a
2、， b 为两个实数，若 2ab? ，则 a ， b 中至少有一个不小于 1”，下列说法错误的是（ ） A逆命题为：若 a ， b 中至少有 一个不小于 1，则 2ab? ，为假命题 B否命题为：若 2ab? ，则 a ， b 都小于 1，为假命题 C逆否命题为：若 a ， b 都小于 1，则 2ab? ，为真命题 D“ 2ab? ”是“ a ， b 中至少有一个不小于 1”的必要不充分条件 4.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音
3、刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”若不存在所出的拳相同，则为和局小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ） A 127 B 227 C 281 D 881 5.若 tan 2? ，则 22 c o s 2 3 sin 2 sin? ? ?的值为（ ） A 25 B 25? C 5 D 5? 2 6.已知函数 ( ) ln 2xxeefx ? ，则 ()fx是（ ） A奇函数，且在 ( , )? 上单调递增 B偶函数
4、，且在 ( ,0)? 上单调递增 C奇函数，且在 ( , )? 上单调递减 D偶函数，且在 (0, )? 上单调递增 7.设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，点 1008 1010( , )aa在直线 20xy? ? ? 上，则 2017S ?（ ） A 4034 B 2017 C 1008 D 1010 8.若 01ab? ? ? ，则 ba ， ab ， logba ，1logab的大小关系为（ ） A1lo g lo gba b aa b a b? ? ?B1lo g lo gab bab a b a? ? ?C1lo g lo gbab aa a b b? ? ?D1lo g
5、 lo gabb aa b a b? ? ?9.函数 ( ) sin ( 0)f x x?的图象向左平移 ? （ 0 ?）个单位后关于 4x ? 对称，且两相邻对称中心相距 2? ，则函数 ( ) 2 sin( )g x x?在 ,63?上的最小值是（ ） A 2? B 1? C 3 D 2 10.数学活动 小组由 12 名同学组成，现将 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（ ） A 3 3 3 412 9 63C CC B 3 3 3 412 9 6433C CC AAC 3 3 3 312 9 644 4C
6、CCAD 3 3 3 312 9 64C CC 11.已知定义在 R 上的函数 ()fx满足： 222 , 0 ,1),()2 , 1, 0 ),xxfxxx? ? ? ? ?且 ( 2) ( )f x f x? ，25() 2xgx x ? ? ，则方程 ( ) ( )f x g x? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为（ ） A 5? B 6? C 7? D 8? 12.已知 ()fx是定义在 R 上的函数， ()fx是 ()fx的导函数，且满足 ( ) 3 ( )f x f x? ，1()3fe? ，则 3(ln )f x x? 的解集为（ ） A (0,)e B 13(0, )
7、e C (1,)e D 13(1, )e 第 卷（共 90 分） 3 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.某程序框图如图所示，若 3a? ，则该程序运行后，输出的 x 值为 14.已知函数 222( 1 ) ln ( 4 1 2 ) c o s() 1x a x x xfx x? ? ? ? ?（ a 为常数），且(2017) 2016f ? ，则 ( 2017)f ? 15.在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 2sin sincb aBC?， 2b? ，则 ABC? 面积是 16.若函数 ()y f x? 满足：
8、对 ()y f x? 图象上任意点 11( , ( )P x f x 总存在点 22( , ( )P x f x ，也在 ()y f x? 图象上，使得 1 2 1 2( ) ( ) 0x x f x f x?成立，称函数 ()y f x? 是“特殊对点函数”给出下列五个函数： 1yx? ； lnyx? ； 2xye?； sin 1yx?； 21yx? 其中是“特殊对点函数”的序号是 （写出所有正确的序号） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，数列 ?nb 是等比数列，满足 1 3a?
9、 ， 1 1b? ，2210bS?， 5 2 32a b a? （ 1）求数列 ?na 和 ?nb 的通项公式； 4 （ 2）令 2 ,nnnnScbn? ?是 奇 ，是 偶 ，设数列 ?nc 的前 n 项和 nT ， 求 2nT 18.在 ABC? ，已知 11sin( )2 14A? ?， 1cos( ) 2B? ? ? ? （ 1）求 sinA 与角 B 的值； （ 2）若角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 5a? ，求 b ， c 的值 19.已知函数 2( ) 3 s i n c o s c o s 1f x x x x b? ? ? ? ? ? ? （
10、1）若函数 ()fx的图象关于直线 6x ? 对称，且 ? ?0,3? ，求函数 ()fx的单调递增区间； （ 2）在（ 1）的条件下，当 70,12x ?时，函数 ()fx有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围 20.某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供 5种不同层次的课 程，分别称为数学 1、数学 2、数学 3、数学 4、数学 5，每个学生只能从 5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级 1800 名学生的数学选课人数统计如表： 课程 数学 1 数学 2 数学 3 数学 4 数学 5 合计 选课人数 180 540 540 360 180 1800
11、为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这 1800 名学生中抽取10 人进行分析 （ 1）从选出的 10 名学生中随机抽取 3 人，求这 3 人中至少有 2 人选择数学 2 的概率； （ 2）从选出的 10 名学生中随机抽取 3 人，记这 3 人中选择数学 2 的人数为 X ，选择数学1 的人数为 Y ，设随机变量 XY?，求随机变量 ? 的分布列和数学期望 ()E? 21.设 nS 是数列 ?na （ *nN? ）的前 n 项和，已知 1 4a? ， 1 3nnnaS? ?，设 3nnnbS? （ 1）证明：数列 ?nb 是等比数列，并求数列 ?nb 的通项公式； （
12、2）令22 log 2nn nncbb? ? ?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT 22.已知函数 21( ) ( 1)2xf x xe a x? ? ? （ 1）若 ae? ，求函数 ()fx的极值； 5 （ 2）若函数 ()fx有两个零点，求实数 a 的取值范围 高三数学试题（理科）答案 一、选择题 1-5:ACABA 6-10:DBCBA 11、 12： CB 二、填空题 13.63 14.2018 15.2 16. 三、解答题 17.解：（ 1）设数列 ?na 的公差为 d ，数列 ?nb 的公比为 q ， 由 2210bS?， 5 2 32a b a?， 得 6 10,3 4 2
13、 3 2 ,qdd q d? ? ? ? ? ? ?解得 2,2,dq? ? 3 2 ( 1) 2 1na n n? ? ? ? ?， 1nnb ? （ 2）由 1 3a? ， 21nan?，得 ( 2)nS n n?， 则 n 为奇数时， 2 1 12n nc S n n? ? ? ?， n 为偶数时， 12nnc ? ， 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nT c c c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 11 1 1 1 1= (1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 )3 3 5 2 1 2 1 nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? 1 2 (1 4 ) 2 21 ( 4 1 )2 1 1 4 2 1 3n nnnn? ? ? ? ? ? ? ? 18.解：（ 1） sin( ) cos2 AA? ? ， 11cos 14A? ， 6 又 0 A ?， 53sin 14A? ， 1c o s( ) c o s 2BB? ? ? ? ? ?，且 0 B ?， 3B ? （ 2）由正弦定理得 sin sinabAB? ， sin 7sinaBb A?， 另由 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? ，得 249 25 5cc? ? ? ， 解得 8c? 或 3c? （舍去）， 7b? ， 8c? 19.解：（
15、 1）函数 2( ) 3 s in c o s c o s 1f x x x x? ? ? ? ?3sin(2 )62xb? ? ? ?， 函数 ()fx的图象关于直线 6x ? 对称， 2 6 6 2k? ? ? ? ? ?且 ? ?0,3? ， 1? （ kZ? ）， 由 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?解得 36k x k? ? ? ?（ kZ? ）， 函数 ()fx的单调增区间为 ,36kk?（ kZ? ） （ 2）由（ 1）知 3( ) s in ( 2 )62f x x b? ? ? ?， 70,12x ?， 42,6 6 3x ? ? ?， 2,6 6 2
16、x ? ? ?，即 0,6x ?函数 ()fx单调递增； 42,6 2 3x ? ? ?，即 7,6 12x ?函数 ()fx单调递减 又 (0) ( )3ff? ，当 ( ) 03f ? ? 7()12f ? 或 ( ) 06f ? ? 时，函数 ()fx有且只有一个零点， 即 4 3 5sin sin3 2 6b? ? ? ?或 3102 b? ? ? ， 3 3 5( 2 , 22b ? ? ? ? 7 20.解：抽取的 10 人中选修数学 1 的人数应为 18010 11800?人， 选修数学 2 的人数应为 54010 31800?人，选修数学 3 的人数应为 54010 31800
17、?人， 选修数学 4 的人数应为 6010 21800?人，选修数学 5 的人数应为 18010 11800?人 （ 1）从 10 人中选 3 人共有 310 120C ? 种选法，并且这 120 种选法出现的可能性是相同的，有 2 人选择数学 2 的选法共有 213721CC?种，有 3 人选择数学 2 的选法有 33 1C? 种，所以至少有 2 人选择数学 2 的概率为 22 11120 60? （ 2） X 的可能取值为 0,1,2,3， Y 的可能取值为 0,1， ? 的可能取值为 1? ， 0,1,2,3 1216310 1( 1 ) ( 0 , 1 ) 8CCP P X Y C?
18、? ? ? ? ? ? ?； 3 1 1 16 3 1 6331 0 1 0 2 0 1 8 1 9( 0 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) 1 2 0 1 2 0 6 0C C C CP P X Y P X Y CC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 1 2 2 13 6 3 1331 0 1 0 4 5 3 2( 1 ) ( 1 , 0 ) ( 2 , 1 ) 1 2 0 1 2 0 5C C C CP P X Y P X Y CC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 2136310 3( 2 ) ( 2 , 0 ) 20CCP P X Y C? ? ? ? ? ? ?； 33310 1( 3 ) ( 3 ) 120CP P X C? ? ?
