1、 - 1 - 山西省忻州市 2018届高三数学上学期第二次月考试题 文 (考试时间 120分钟 满分 150分 ) 一选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.集合 A=x |lgx0， B=x|x0 ，则 A 0| ? xxBA B AB?R C 1| ? xxBA D AB? 2.若复数 z满足 iiz 42? ， i 为虚数单位，则在复平面内 z对应的点的坐标是 A（ 4， 2） B（ 4， -2） C（ 2， 4） D（ 2， -4） 3.如图是 2017年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分
2、数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A 84， 86 B 84， 85 C 85， 84 D 86， 84 4.为得到函数 xy 2sin? 的图象，只需将函数 y )42sin( ?x 的图象 A向右平移 4个单位 B向左平移 4个单位 C向右平移 8个单位 D向左平移 8个单位 5.执行如图所示的程序框图，若输出的 S 为 4 ，则输入的 x 应为 A 2 B 16 C 2或 8 D 2或 16 6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A. 48 B. 50 C.46 D. 52 7.已知奇函数 ()fx在 R 上是增函数 .若 )61(
3、log2fa ?，（ 5 题图） xS 2log?xS ?2 7 8 9 9 4 4 6 4 7 3 - 2 - )2(),5(lo g 1.02 fcfb ? ，则 ,abc的大小关系为 A abc? B c b a? C bac? D c a b? 8.在 ABC中， CBa sin2sin ? , 31cos ?C , ABC的面积为 4，则 c= A.7 B.6 C.5 D.4 9.已知实数 8,m,2 构成一个等比数列， m 是等比中项，则圆锥曲线 2 2 1x ym?的离心率是 A. 23 B. 5 C. 23 或 5 D. 23 或 25 10.已知e是自然对数的底数，函数2)(
4、 ? xexf x的零点为a，函数2ln)( ? xxxg的零点为b，则下列不等式中成立的是 A)()()1( bfaff ?B)()1()( affbf ?C. 1()() fbfa ?Dba11.棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的 8 个顶点都在球 O 的表面上， EF， 分别是棱1AA ， 1DD 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为 A 22 B 1 C 21 2? D 2 12.已知 )(xf 为定义在（ 0， +? ）上的可导函数 ,且 )()( xfxxf ? 恒成立 ,则不等式0)(12 ? xfxfx 的解集为 A. ? ?10， B
5、. ? ?21， C. ? ?，1 D. ? ?，2 二填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分， 共 20分，把答案填在答卷纸的相应位置上 ) 13.若 ,xy满足3,2,xxyyx?则 2xy? 的最大值为 . 14.设 (1,2)a? ， (1,1)b? ， c a kb? 若 bc? ，则实数 k 的值等于 . - 3 - 15.过双曲线 12222 ? byaxC： 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A .若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 为坐标原点），两点（、 OOA 则双曲线 C 的方程为 . 16.已知函数 xxxf 2c o s3)43(c o
6、 s2)( 2 ? ?,如果当 127,12 ?x 时， 4)(4)( ? xfmxf 恒成立，则实数 m的取值范围是 . 三解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上 ) 17.(本小题满分 12分 )已知数列na的首项11?， 前 项和为 nS ，且121 ? nn Sa. （ 1）求数列na的通项公式； （ 2）设13log ? nn ab，求数列 nn b?的前 项和nT. 18.(本小题满分 12 分 )如图，在多面体 ABCDFE 中，四边形 ADFE 是正方形，在等腰梯形ABCD 中， AD BC , GB
7、CADCDAB ,2,1 ? 为 BC 中点，平面 ?ADFE 平面ADCB . (1)证明： BEAC? ; (2)求三棱锥 GFCA? 的体积 . 19.(本小题满分 12分 )某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图 (如图 14所示 )，其中样本数据分组区间为： 40， 50)， 50， 60)， 80， 90)， 90， 100 (1)求频率分布直方图中 a的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80的概率； (3)从评分在 40， 60)的受访职工中，随机抽取 2人，求此 2人的评分至少有一
8、人在 40， 50)的概率 - 4 - 20 (本小题满分 12分 )如图，已知抛物线 C ： 2 2 ( 0)x py p?，圆 Q ： ? ?22 38xy? ? ?，过抛物线 C 的焦点 F 且与 x 轴平行的直线与 C 交于 12,PP两点，且 124PP? . （ 1）求抛物线 C 的标准方程； （ 2）直线 l 过 F 且与抛物线 C 和圆 Q 依次交于 ,M ABN ，且直线 l 的斜率 ? ?0,1k? ，求ABMN 的取值范围 . 21.(本小题满分 12分 )已知函数 21( ) ln ( 0 ) .2f x x a x a? ? ? (1)若 2,a? 求 ()fx在 (
9、1, (1)f 处的切线方程 ; (2)若 ()fx在区间 (1,e) 上恰有两个零点 ,求 a 的取值范围 . 请考生在（ 22）、（ 23） 两题中任选一题作答，如果多答，则按做 的第一题记分作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑 22 (本小题满分 10分 )选修 4-4：极坐标与参数方程 已知以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为- 5 - 2 sin co s 1 0? ? ? ?，曲线 1C 的直角坐标方程为 221 :194xyC ? （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程和曲线 1C 的参数方程； （ 2）若点 M 在曲线
10、1C 上运动，试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值 23. (本小题满分 10分 )选修 4-5：不等式选讲 已知|12|32|)( ? xxxf. （ 1）求不等式2)( ?xf的解集； （ 2）若存在Rx?，使得|3|)( ? axf成立，求实数a的取值范围 . - 6 - 2018届高三年级第二次月考数学（文）答案 1-5.ABCDD 6-10.ABBCD 11-12.DC 13.9 14. 32? 15. 1124 22 ?yx 16.? ?4,1? 17.解：由题意得)2(12,12 11 ? ? nSaSa nnnn两式相减得)2(32)(2 111 ? ? naaaSSa nn
11、nnnnn， 所以当2?n时，na是以3为公比的等比数列 . 3 分 因为3,31212 12112 ? aaaSa所以，31?nna，对任意正整数成立，na是首项为 1，公比为3的等比数列， 所以得13? nna. 6分 （ 2）nab nnn ? ? 3loglog 313， 所以nb nnn ? ?13， 8分 2132)1(3131)1321()33333()3()13()33()23()13(21221012210?nnnnnnnnTnnnnnnn?12分 18.(1)证明：由已知得， ABCD 为等腰梯形，且底角为 ?60 ，在三角形 ACD 中， 3?AC 2,1 ? BCAB
12、ABAC? , 2分 由于四边形 为正方形，所以 ，又平面 平面 ， - 7 - 平面 平面 ， 故 平面 ，从而 ， 5 分 平面 ，所以 . 6分 (2)因为 ， 8分 . 所以，三棱锥 的体积为 . 12分 19.(1)因为 (0.004 a 0.018 0.022 2 0.028) 10 1， a 0.006. 3分 (2)由图知， 50名受访职工评分不低于 80的频率为 (0.022 0.018) 10 0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80的概率的估计值为 0.4.6分 (3)受访职工中评分在 50， 60)的有 50 0.006 10 3(人 )，记为 A1， A2， A
13、3；受访职工中评分在 40， 50)的有 50 0.004 10 2(人 )，记为 B1， B2. 从这 5名受访职工中随机抽取 2人，所有可能的结果共有 10种，它们是 A1， A2， A1， A3，A1， B1， A1， B2， A2， A3， A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3， B2， B1， B2，又因为所抽取 2 人的评分至少有一人在 40， 50)的结果有 7 种，即 B1， B2，所以所求的概率 P 107 . 12分 20.（ 1）证明： 12 24PP p?， 2p? ，故抛物线 C 的方程为 2 4xy? 4分 （ 2） ? ?0,1F ，直线 l 的方
14、程为 ? ?1, 0,1y kx k? ? ? ， 圆心 ? ?0,3Q 到直线 l 的距离为221d k? ? ， 2212 8 4 2 1A B d k? ? ? ? ?， 6分 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,M x y N x y， 由 2 4 1xyy kx?，得 ? ?224 2 1 0y k y? ? ? ?， - 8 - 则 21242y y k? ? ?， ? ?212 2 4 1M N y y k? ? ? ? ?， 9分 221211AB kMN k? ? ?，设 211 tk ? 1( 1)2 t? ，则 2322AB t t t tMN ? ? ? ?， 设
15、 ? ? 23 12 ( 1)2f t t t t? ? ? ?， 10 分 则 ? ? 243f t t t? ? ， 1 12 t? ， ? 0ft? ? ，函数 ?y f t? 在 1,12?上递增， ? ? ? ?1 12f f t f?， ? ?3 18 ft?，即 ABMN的取值范围为 6,14?. 12分 21.(1) 2,a? 212( ) 2 l n , ( ) ,2f x x x f x x x? ? ? ?1(1) 1, 1) ,2ff? ? ? 由点斜式，得切线方程： )1(121 ? xy ()fx在 (1, (1)f 处的切线方程为 2 2 3 0.xy? ? ?
16、3分 (2)由 2( ) .a x af x x xx? ? ? 由 0a? 及定义域为 (0, )? ,令 ( ) 0, .f x x a?得 6分 若 1, 0 1,aa? ? ?即 在 (,e) 上 , ( ) 0fx? , )(xf 在 1,e 上单调递增 , 因此 , ()fx在区间 1,e 的最小值为 1(1) 2f ? . 不合题意 7分 若 21 e , 1 e ,aa? ? ? ?即 在 1, )a（ 上 , ( ) 0fx? , )(xf 单调递减 ;在 ,e)a（上 , ( ) 0fx? , )(xf 单 调 递 增 , 因此 ()fx 在 区 间 1,e 上 的 最 小 值 为1( ) (1 ln ).2f a a a? 要使 ()fx在区间 (1,e) 上恰有两个零点 ,则 21 (1 ln ) 0,21(1) 0,21(e) e 0,2aaffa? ? ? ? ?即2e1e2aa? ?,此时 , 21ee2a? . 10 分 - 9 - 若 2e, e ,aa?即 在 (1,e) 上 , ( ) 0fx? , )(xf 在 1,
