1、 - 1 - 2018-2019 学年第一学期高三年级学前考试 数学 (理科 ) 试卷 （考试时间： 120分钟，满分： 150分） 一、选择题（每题 5分，共计 60 分。） 1.已知集合 1| 2 ? xxA ， 22| ? xxB ，则 ?BA? （ ） A )21,21(? B )21,0( C )1,21( D )1,21(? 2.若 0,0 ? ba ，则“ 1?ba ”是“ 1?ab ”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D既不 充分也不必要条件 3.已知向量 )2,1(?a ， )1,( ? ?b ，若 ba? ，则 ? | ba （ ） A 10
2、B 4 C 17 D 52 4.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 36 ?a ， 216?S ， 则 5a 等 于（ ） A 3? B 1? C 1 D 4 5.若 2.02.02.0 2,3lo g,2lo g ? cba ，则（ ） A cba ? B cab ? C acb ? D bca ? 6.已知：命题 p ：若函数 |)( 2 axxxf ? 是偶函数，则 0?a . 命题 q ： ),0( ?m ，关于 x 的方程 0122 ? xmx 有解 . 在 qp? ； qp? ； qp?)( ； )()( qp ? 中为真命题的是（ ） A B C D 7.已知 AB
3、C? 三边 cba, 上的高分别为 1,22,21 ，则 Acos 等于（ ） A 23 B 22? C 42? D 43? 8. 在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， 1AB BC?， 1 3AA? ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 （ ） - 2 - A 15 B 56C 55D 229.已知函数 )2|,0,0(s in)( ? ? AxAxf ）（ ，其 导函数 )( xf 的部分图 象如图所示，则函数 )(xf 的解析式为（ ） A )62cos()( ? xxf B )62sin()( ? xxf C )62cos(21)( ? xxf D )62
4、sin(21)( ? xxf 10.已知函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且 0?x 时， xxxf 3)1(log)( 2 ? ，则满足4)( ?xf 的实数 x 的取值范围是（ ） A )2,2(? B )1,1(? C )1( ? D ),1(? 11.数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 11 ?a ， 21 ? nn Sa ，则1012 ?nnSS的 n 的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 12.已知函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且当 0?x 时， 0)3()( ? xfxf ；当 )3,0(?x时， x xexf ln)( ? ，其中 e 是自
5、然对数的底数，且 72.2?e ，则方程 0)(6 ?xxf 在 9,9? 上的解的个数为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题（每题 5分，共计 20 分。） 13.已知 1cossin cos2sin ? ? ? ， 则 ?tan . 14.已知向量 ),2(),3,1( tba ? 且 ba/ ，则 ?ba . 15.已知函数 xmxxf ln)( 2 ? 在 ),2 ? 上单调递增，则实数 m 的取值范围为 . 16.已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 所成角的余弦值为 78 ， SA 与圆锥底面所成角为 45 ，若 SAB 的面积为 515 ，则该圆锥的侧面积为
6、 _ 三 、 解答题 （共 70分） - 3 - 17.（本题满分 12分） nS 为等差数列 ?na 的前 n项和，且 17=1 28.aS?， 记 ? ?= lgnnba，其中 ?x 表示不超过 x的最大整数，如 ? ? ? ?0.9 =0 lg 99 =1， （ ）求 1 11 101b b b， ， ； （ ）求数列 ?nb 的前 1 000项和 18. (12分 ) 下图是我国 2008年至 2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （ I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与 t的关系，请用相关系数加以说明； （ II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0
7、.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。 参考数据： 71 9.32ii y? ?， 71 40.17iii ty? ?， 7 21 ( ) 0.55ii yy? ?， 7 2.646. 参考公式：相关系数 12211( )( )( ) ( y y )niiinniiiit t y yrtt?， 回归方程 y a bt? 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121( )( )()niiiniit t y ybtt?，=.a y bt? - 4 - PAOCBM19. （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC? 中， 22AB BC? ， 4PA PB PC AC?
8、 ? ? ?， O 为 AC 的中点 （ 1）证明： PO? 平面 ABC ； （ 2）若点 M 在棱 BC 上，且 二面角 M PA C?为 30? ，求 PC 与平面 PAM 所成角的 正弦值 20（本题满分 12 分） 设抛物线 2 4C y x?： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk? 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，| | 8AB? （ 1）求 l 的方程 ； （ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 21 （本题满分 12分） 已知函数 ? ? 1 lnf x x a x? ? ? . （ 1）若 ? ? 0fx? ，求 a的值； （ 2）
9、设 m为整数，且对于任意正整数 n，21 1 11 1 12 2 2 n m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求 m的最小值 . - 5 - 选做题（共 10 分。请考生在第 22题、第 23题中任选一题作答。） 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10分） 在直角坐标系 xOy 中 ，曲线 C 的 参数方程为 2cos ,4sin ,x y ? ?（ 为参数 ），直线 l 的参数方程为 1 cos ,2 sin ,xtyt? ?（ t 为参数 ） （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程 ； （ 2）若 曲 线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标
10、为 (1,2) ，求 l 的斜率 23. 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 已知函数 11( ) | | | |22f x x x? ? ? ?， M 为不等式 ( ) 2fx? 的解集 （ ） 求 M ； （ ） 证明： 当 ,ab M? 时 ， | | |1 |a b ab? ? ? - 6 - 高三理科学前考试数学答案 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B B D C C D C A D 二、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 13 21 ； 14 )9,3(
11、 ? ； 15 8,(? ； 16 40 2 三、解答题 1718. - 7 - （）由 331.1732.9 ?y 及（）得 103.02889.2)()(?71271 ?iiiiittyyttb ， 92.04103.0331.1? ? tbya . 所以， y 关于 t 的回归方程为： ty 10.092.0? ? . 将 2016年对应 的 9?t 代入 回归方程得： 82.1910.092.0? ?y . 所以预测 2016年我国生 活垃圾无害化处理量将约 1.82亿吨 . 19. 解：（ 1）因为 4AP CP AC? ? ?， O 为 AC 的 中点，所以 OP AC? ，且 2
12、3OP? . 连结 OB .因为 22AB BC AC? ，所以 ABC 为等腰直角三角形， 且 OB AC? ， 1 22OB AC?. 由 2 2 2OP OB PB?知 PO OB? . 由 ,OP OB OP AC?知 PO? 平面 ABC . （ 2）如图，以 O 为坐标原点， OBuur 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz? . 由已知得 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 3 ) , ( 0 , 2 , 2 3 ) ,O B A C P A P?
13、 u u ur取平面 PAC 的法向量 (2,0,0)OB?uuur . 设 ( , 2 , 0 )(0 2 )M a a a? ? ?，则 ( ,4 ,0)AM a a?uuur . 设平面 PAM 的法向量为 ( , , )x y z?n . 由 0, 0AP AM? ? ? ?uuur uuurnn得 2 2 3 0(4 ) 0yzax a y? ? ? ?， 可 取( 3 ( 4 ), 3 , )a a a? ? ?n ， 所以2 2 22 3 ( 4 )c o s , 2 3 ( 4 ) 3aOB a a a? ? ? ?u uur n .由已知得 3| cos , | 2OB ?u
14、uur n . 所以2 2 22 3 | 4 | 3= 22 3 ( 4 ) 3aa a a? ? ?.解得 4a? （舍去）， 43a? . - 8 - 所以 8 3 4 3 4( , , )3 3 3? ? ?n .又 (0,2, 2 3)PC ?uuur ，所以 3cos , 4PC ?uuur n . 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 34 . 20. 【答案】 解：（ 1）由题意得 (1,0)F ， l的方程为 ( 1)( 0)y k x k? ? ?. 设 1 2 21( , ), ( , )Ay x yx B ， 由2( 1),4y k xyx? ?得 2 2 2 2
15、(2 4 ) 0k x k x k? ? ? ?. 216 16 0k? ? ? ?，故122224kx kx ?. 所以122244| | | | | | ( 1 ) ( 1 )x kA B A F B F kx ? ? ? ? ? ? ?. 由题设知 22448kk? ?，解得 1k? （舍去）， 1k? . 因此 l的方程为 1yx?. （ 2）由（ 1）得 AB的中点坐标为 (3,2) ，所以 AB 的垂直平分线方程为 2 ( 3)yx? ? ? ，即 5yx? ? . 设所求圆的圆心坐标为 00( , )xy ，则 0022 0005,( 1 )( 1 ) 1 6 .2yxyxx?
16、? ? ? ? ?解得 003,2xy? ?或 0011,6.xy ? ?因此所求圆的方程为 22( 3) ( 2) 16xy? ? ? ?或 22( 1 1) ( 6 ) 1 4 4xy? ? ? ?. 21. （ 1） ?fx的定义域为 ? ?0?， + . 若 0a? ，因为 11 ln 2 022fa? ?=- +，所以不满足题意； 若 a?0 ，由 ? ? 1 a x af x xx? ? ?知，当 ? ?0x ,a? 时， ? ?f x ?0 ；当 ? ?， +xa?时，- 9 - ? ?f x ?0 ，所以 ?fx在 ? ?0,a 单调递减，在 ? ?， +a? 单调递增，故 x
17、=a是 ?fx在 ? ?0?， +的唯一最小值点 . 由于 ?10f ? ，所以当且仅当 a=1时， ? ? 0fx? .故 a=1. （ 2） 由 （ 1） 知当 ? ?1,x? ? 时， 1 ln 0xx? ? ? . 令 11 2nx?得 11ln 122nn?.从而 221 1 1 1 1 1 1l n 1 l n 1 l n 1 1 12 2 2 2 2 2 2n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 故21 1 11 1 1 e2 2 2 n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
18、? ? ? ?. 而231 1 11 1 1 22 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 m 的最小值为 3 . 22、 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 【解析】（ 1）曲线 C 的直角坐标方程为 2214 16xy? 当 cos 0? 时， l 的直角坐标方程为 tan 2 tanyx? ? ? ?， 当 cos 0? 时， l 的直角坐标方程为 1x? （ 2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程 22(1 3 c o s ) 4 ( 2 c o s s i n ) 8 0tt? ? ? ? ? ? ? 因为 曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内，所以有两个解，设为 1t ， 2t ，则120tt? 又由得 12 24 ( 2 c o s s in )1 3 c o stt ? ? ? ?，故 2 cos sin 0?，于是直线 l 的斜率tan 2k ? ? 23、 - 10 -
