1、 1 云南省曲靖市 2018 届高三数学上学期第四次月考试题 理 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 1,1A? ， 2 0B x ax? ? ?，且 BA? ，则 a? （ ） A 2? B 2 C 2,2? D 2,0,2? 2.在复平面内，复数 z 满足 5(1 ) 1 3z i i? ? ? ，则 z 的共轭复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.下列命题为假命题的是（ ） A xR? ，使得 sin 3 cos 2xx? B“ 2 abb?
2、”是“ ln lnab? ”的必要不充分条件 C若向量 (1,1)a? ， 0b? ，则 /ab D函数 sinyx? ， 2( , )63x ? 的值域为 13( , )22 4.设 ,mn是两条不同的直线， ,?是两个不同的平面，有下列四个命题： 若 m? ， ? ，则 m ? ； 若 /a ? ， m ? ，则 /m? ； 若 m? ， /mn， /?，则 n ? ； 若 /m? ， /n ? ， /mn，则 /? 其中正确命题的序号是（ ） A B C. D 5.在等比数列 na 中， 37,aa是函数 321( ) 4 9 13f x x x x? ? ? ?的极值点，则 5a? （
3、 ） A -4 B -3 C. 3 D 4 6.已知函数 331xya?（ 0a? 且 1a? ）图象恒过的定点 A 在角 ? 的终边上，则 tan2?（ ） A 247? B 724? C. 247 D 724 7.在 ABC? 中，若 3122AD AB AC?，且 BD DC? ，则 ? （ ） 2 A 12? B 12 C. 13? D 13 8.一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ） A最长的棱长为 7 B该四棱锥的体积为 3 C.侧面四个三角形都是直角三角形 D侧面三角形中有且仅有一个等腰三角 形 9.已知单位向量 1e 与 2e 的夹角为 3? ，则向
4、量 122ee? 在向量 12ee? 方向上的投影为（ ） A 12? B 12 C. 714? D 714 10.已知定义在非零实数集上的函数 ()fx满足： ( ) ( ) 0xf x f x?，且 (sin4)sin4fa? ，(ln2)ln2fb? ， 0.20.2(2 )2fc? ，则（ ） A abc? B a c b? C. c a b? D bac? 11.设 1m? ， 1n? ，若 4mn e? ，则 lnmtn? 的最大值为（ ） A e B 2e C. 3e D 4e 12.已知函数 ( ) sinf x x x? ， 1,1x? ，则不等式 ( 1) ( )f x f
5、 x? 的解集为（ ） A 1( , )2? ? B 1( ,02? C. 1( , )2? D 10, )2 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 3 13.若函数20lg 1, 0()3 , 0axxfxx t dt x? ? ?，且 ( (10) 8ff ? ，则 a 的值为 14.若正三棱锥的底面边长为 3 ，侧棱长 为 2 ，则其外接球的表面积为 15.将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第 13 行从左向右的第 7个数为 16.点 ( , )Pxy 的坐标满足约束条件 20400xyxy? ? ?，若 (1,1)m? ， (1, 1)n?
6、，且OP m n?（ O 为坐标原点），则 2? 的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知等差数列 na 满足： 1nnaa? ? （ *nN? ）， 1 2a ? ，该数列的前三项分别加上 0，0， 2 后成等比数列，且 22lognnab? . （ 1）求数列 na ， nb 的通项公式； （ 2）若 1n n nc a b? ? ? ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 18. 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，面积为 S ，已知222 s in 2 s in 322A B B Ca
7、 c b?. （ 1）求证： ,abc成等差数列； （ 2）若 3B ? ， 4b? ，求 S . 19. 如图，正方形 ABED ，直角梯形 EFGD ，直角梯形 ADGC 所在平面两两垂直，/ /AC DG EF，且 2AD DE DG? ? ?， 1AC EF?. 4 （ 1）求证： , , ,BCGF 四点共面； （ 2）求二面角 E BC F?的余弦值 . 20. 定义行列式运算： 13xx 24xx 1 4 2 3xx x x?，若函数 sin ( )() 0 xfx ? cos1 x?（ 0? ， 2? ）的最小正周期是 ? ，将其图象向右平移 3? 个单位后得到的图象关于原点对
8、称 . （ 1）求函数 ()fx的单调增区间； （ 2）数列 na 的前 n 项和 2nS An? ，且 5()12Af? ，求证：数列12nnaa?的前 n 项和 1nT? 21. 已知函数 22( ) 2 2 ln 2f x x a x a x a? ? ? ?， 2( ) ln (1)g x x g?，其中 0x? ， aR? . （ 1）当 0a? 时，求 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处切线 l 的方程； （ 2）若函数 ()fx在区间 (1, )? 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 3）记 ( ) ( ) ( )F x f x g x?，求证： 1()2Fx?
9、. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 的原点 O 和极坐标系的极点重合， x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线 C 的参数方程为 2cossinxy ? ?（ ? 为参数） （ 1）在极坐标系下，曲线 C 与射线 4? 和射线 4? 分别交于 ,AB两点，求 AOB? 的面积； 5 （ 2）在直角坐标系下，直线 l 的参数方程为21222xtyt? ? ?（ t 为参数），直线 l 与曲线 C 相交于 ,AB两点，求 AB 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知
10、函数 ( ) 2 6f x x x? ? ?的最小值为 a . （ 1）求 a 的值； （ 2）求函数 6 4 1 6y ax x a x? ? ? ?的最大值 . 6 试卷答案 一、选择题 1-5: DADCB 6-10: CCBA 11、 12： DB 【解析】 10 ( ) ( ) 0xf x f x? ?，2( ) ( ) ( ) 0f x xf x f xxx? ? ? ?，则 ()fxyx?在 | 0xx? 上是减函数， 0 .2sin 4 0 0 ln 2 1 2 1? ? ? ?， ， abc? ，故选 A 11 11mn?， ， 4emn? ， ln ln 4mn?， 2ln
11、 ln lnln ln ln 42m mnt n t m n ? ? ? ?， 4et ， 故选 D 12 ( ) s in c o s 1 1f x x x x x? ? ? ? ?， ，当 1 0x?， 时， ( ) 0fx? ，当 (0 1x?， 时，( ) 0fx? ? ， 则 ()fx在 10?， 上是减函数，在 (01， 上是增函数， 11( 1 ) ( ) 1 1 1| 1 | | |xf x f x xxx? ? ? ? ? ， ， 1 02 x? ? ，故选 B 二、填空题 13. 2 14. 4? 15. 85 16. 5 【解析】 16 (1 1) (1 1)mn? ?
12、?， ， ，由 ( ) ( )O P m n x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，将 x ? ，y ? ? ，代入 20400xyxy? ， ， ，得 10400? ， ， ，画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得 ?的最大值为 3 ， 2 2? ? ? ?的最大值为 5 三、解答题 17（本小题满分 12 分） 解： （ ） 设 d 为等差数列 na 的公差，由题意 0d? ， 7 由 1 2a? ， 2 2ad? ， 3 22ad? ，分别加上 002， ， 后成等比数列， 2(2 ) 2(4 2 )dd? ? ? ， 0d? ， 2d? ， 2 ( 1) 2 2n
13、a n n? ? ? ? ?， 又 22lognnab? ， 2log nbn? ，即 2nnb? （） 由 （） 得 2 2 1nncn? ? ? ， 1 2 3( 2 2 1 ) ( 4 2 1 ) ( 6 2 1 ) ( 2 2 1 )nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 23( 2 4 6 2 ) ( 2 2 2 2 )nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2 2 ) 2 (1 2 )2 1 2 nnn n? ? ? 2122nn ? ? ? 18（本小题满分 12 分） （ ） 证明： 由题意： 22 2 s in 2 s in 322CA
14、a c b?， 222 co s 2 co s 3CAa c b?， 由正弦定理得 222 s in c o s 2 s in c o s 3 s inCAA C B?， 即 s in (1 c o s ) s in (1 c o s ) 3 s inA C C A B? ? ? ?， s in s in s in c o s c o s s in 3 s inA C A C A C B? ? ? ?， 即 s in s in s in ( ) 3 s inA C A C B? ? ? ?， sin( ) sinA C B? ， sin sin 2sinA C B?，即 2a c b? ， a
15、bc， ， 成等差数列 （）解： 由余弦定理得 22 2 cos 163a c ac? ? ?， 2( ) 3 16a c ac? ? ? ， 又由（ ） 得 8ac? ， 16ac? ， 则 1 sin 4 32S ac B? 19（本小题满分 12 分） 8 （ ） 证明：方法 1：如图， 取 DG 的中点 M ，连接 FM AM， ， 在 正方形 ABED 中， AB DE ， AB DE? ， 在直角梯形 EFGD 中， FM DE ， FM DE? ， AB FM ， AB FM? ，即四边形 ABFM 是平行四边形， BF AM BF AM? ， ， 在 直角梯形 ADGC 中，
16、AC MG AC MG? ， ，即四边形 AMGC 是平行四边形， AM CG AM CG? ， ， 由上得 BF CG BF CG? ， ，即四边形 BFGC 是平行四边形， B C G F， ， ， 四点共面 方法 2：由正方形 ABED ，直角梯形 EFGD ，直角梯形 ADGC 所在平面两两垂直， 易证： AD DE DG， ， 两两垂直，建立如图所示的坐标系，则 ( 0 0 2 ) (2 0 2 ) ( 0 1 2 ) (2 0 0 ) (2 1 0 ) ( 0 2 0 )A B C E F G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (0 1 2 ) (0
17、 1 2 )B F C G? ? ? ?， ， ， ， ， BF CG? ，即四边形 BCGF 是平行四边形， 故 GB C F， ， ， 四点共面 （）解：设平面 BFGC 的法向量为 1 1 1()m x y z? ， ， ， ( 2 1 0)FG?， ， ， 则 11112020BF m y zFG m x y? ? ? ? ? ? ? ?， ，令 1 2y ，则 (1 2 1)m? ， ， ， 设平面 BCE 的法向量为 2 2 2()n x y z? ， ， ，且 ( 2 1 0 ) (0 0 2 )B C E B? ? ?， ， ， ， ， 9 则 2222020BC n x yEB n z? ? ? ? ? ?， 令 2 1x? ，则 (1 2 0)n? ， ， ， 设二面角 E BC F?的平面角的大小为 ? ，则 1 1 2 2 1 0 3 0c o s6| | | 65mnmn? ? ? ? ? ? ? ? 20（本小题满分 12 分） （）解： 由题意 ： ( ) s in ( ) 1 c o s 0 s in ( )f
