1、 1 2018届高三上学期第二次月考 理科数学试题 一、选择题（每小题给出的四个选项只有一各符合题意，每小题 5分，共 60分） 1. 设集合 A= 3123| ? xx ，集合 ? ?lg( 1)B x y x? ? ?，则 A? B=( ) A （ 1， 2） B. 1， 2 C. 1， 2） D.（ 1， 2 2. 设 i 是虚数单位，复数 aii? 为纯虚数，则实数 a 为（ ） A 2 B.? 2 C . ? D. ? 3. 某中学高三从甲、乙两个班中各选 7 名学生参加数学竞赛，他们的成绩 (满分 100分 )的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 8
2、3，则 xy? 的值为 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 4. 已知 2sin 3? ，则 cos( 2 )?（ ） A 53? B. 19?C.19D. 53 5. 执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4时，输出的 y的值为 2，则空白判断框中的条件可能为（ ） . A. 3?x? B. 4?x? C. 4?x? D. 5?x? 6. 设 21log 3a?， 12be? ， lnc ?，则（ ） A c a b? B c b? C abc? D bac? 7、 已知函数 ? ? ? ?sinf x A x?(0x R A?， ， 0 2?， ）的部分图象如右，则 ?xf 的解
3、析式是 （ ） A ? ? ? ?2 s in6f x x x? ? ? RB ? ? ? ?2 s in 26f x x x? ? ? RC ? ? ? ?2 s in3f x x x? ? ? RD ? ? ? ?2 s in 23f x x x? ? ? R8. 设 ,lmn 为直线， ,?是两个不同的平面，下列命题中真 命题的个数为（ ） 若 l ? ， l ? ，则 /? 若 l ? ， /l ? ，则 ? y = log2xy = x +2开始输入 x否是结束输出 y2 若 ? ， /l ? ，则 l ? 若 mn ， m? ，则 n ? A 0 B 1 C 2 D 3 9.设双曲
4、线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A 2 B. 3 C. 312? D. 512? 10. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） . A 13? B 1 2 2? C 23? D 22 11. 已知直线 1 : 4 3 6 0l x y? ? ?和直线 2:1lx? ，抛物线 2 4yx? 上一动点 P 到直线 1l 和直线 2l 的距离之和的最小值是 ( ) A 2 B 3 C 115 D. 3716 12.已知函数 2ln ( )() x x tfx x? ，若对任意的 1,2x? ，
5、 ( ) ( ) 0f x x f x? ?恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ） A.( , 2)? B. 3( , )2? C. 9( , )4? D. ( 2, )? 二、填空题（每小题 5 分，共 20分） 13 已知 ,abc R? ，命题“若 abc? =3，则 2 2 2abc? 3”的否命题是 14在 ABC? 中，若 1, 3, 6b c B ? ? ? ?，则 ABC? 的面积为 _ _ 15 已知定义域为 R 的奇函数 ()fx.当 0x? 时 , 3)( ?xxf ，则不等式 ( 1) ( ) 0x f x?的解集为 16已知函数2ln , 0()4 1, 0xxfxx
6、 x x? ? ? ? ?，若关于 x 的方程 2 ( ) ( ) 0 ( , )f x b f x c b c R? ? ? ? 俯视图侧 （ 左 ） 视图正 （ 主 ） 视图2 2111111222 3 PABCDEF有 8个不同的实数根，则 21cb? 的取值范围为 三、解答题（解答应给出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共 60分） 17. 在数列 ?na 中， 1 1a? ，当 2n? 时，其前 n 项和 nS 满足 2 12n n nS a S? （ 1）求证：数列 1nS?是等差数列；（ 2）设 2nn nb S?，求 ?nb 的前 n 项和 nT 18. 四棱锥 P ABCD
7、中， ABC ACD 90 ， BAC CAD 60 ， PA平面 ABCD， E为 PD 的中点， PA 2AB 2 （ 1）若 F为 PC的中点，求证 PC平面 AEF； （ 2）求二面角 A EC D?的平面角的正弦值 19. 现有四枚不同的金属纪念币 A B C D、 、 、 ，投掷时， AB、 两枚正面向上的概率均为12 ，另两枚 CD、 正面向上的概率均为 (0 1)aa? ，这四枚纪念币同时投掷一次，设 ? 表示出现正面向上的枚数 . (1)若 AB、 出现一正一反与 CD、 出现两正的概率相等，求 a 的值； (2)求 ? 的分布列及数学 期望 (用字母 a 表示 )； (3)
8、若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数 a 的取值范围 20. 若1F,2分别是椭圆15: 22 ? yxE的左、右焦点，1F,2关于直线02?yx的对称点是圆C的一条直径的两个端点。 (1)求圆 的方程 ; (2)设过点2F的直线l被椭圆 E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab取最大值时 ,求直线l的方程 . 21. 已知函数 ln( ) , ( 0)xxf x aa?。 （ 1）当 1a? 时，求函数 ()y f x? 在 1x? 处的切线方程； 4 PABCDEF（ 2） 求函数 ()fx在 ? ?,2aa上的最小值 ； （ 3） 证明 ： ? ?0,x? ? ? ，都有 12l
9、nxx e ex? 选考题（本小题满分 10 分） 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22 （本小题满分 10分） 选修 44 :坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的极坐标方程为 2 cos2 8? ，曲线 2C 的极坐标方程为6?，曲线 1C 、 2C 相交于 A 、 B 两点 ()R? . （ 1）求 A 、 B 两点的极坐标； （ 2）曲线 1C 与直线?tytx21231（ t 为参数）分别相交于 NM, 两点，求线段 MN 的长度 . 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选
10、讲 已知关于 x 的不等式 2| 2 1 | | 1 | logx x a? ? ? ?（其中 0a? ）。 （ 1）当 4a? 时，求不等式的解集； （ 2）若不等式有解，求实数 a 的取值范围 高 2018届高三上学期第二次月考 理科数学参考答案 一、选择题 : D A B B B, C A D D C, A B 二、填空题 : 13 若 abc? ?3，则 2 2 2abc?3 14 34 或 3215 ? ? ? ?3,0 1,3? 16 ? ? ? ?, 1 2,? ? ? 三、解答题 17.解答： （ 1）由递推式得 112 n n n nS S S S?，从而11 1 12 21
11、nnn SS S n? ? ? ? ?（ 2） 1(2 3)2 6nnTn ? ? ? 18.（ 1）证明： PA CA， F 为 PC的中点， AF PC PA平面 ABCD， PA CD AC CD， CD平面 PAC CD PC E为 PD中点， F为 PC中点， EF CD则 EF PC AF EF F， PC平面 AEF 5 （ 2）解：以点 B 为坐标原点，直线 ,BCBA 分别为 x 轴和 y 轴，建立空间直角坐标系。 ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 2 3 , 3 , 0 ) , ( 3 , 2 , 1 )A
12、P C D E 可求得平面 AEC 的一个法向量为 ( 3,3, 6)m?，平面 ECD 的一个法向量为( 3,1, 2)n? ? ? ，设 二面角 A EC D?的平面角为 ? ，则 6| c o s | | c o s , | 4mn? ? ? ? ?， 所以 10sin 4? . 19. 解： （ 1）由条件得 122 11(1 )22Ca? ? ? ?，所以 22a? . (2) ? 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,3,4, 21( 0) (1 )4Pa? ? ? ?， 1( 1) (1 )2Pa? ? ? ?，21( 2 ) (1 2 2 )4P a a? ? ? ? ?，
13、1( 3) 2Pa? ? ， 21( 4) 4Pa? ? ，所以 ( ) 2 1Ea? ? （ 3）因为 01a?，所以 ( 0) ( 1)PP? ? ?， ( 4) ( 3)PP? ? ?， 由 01( 2) ( 1)( 2) ( 3)aPP? ? ? ? ?解之得 2 2 222a? ? 20.解： （ 1）因为 12( 2,0), (2,0)FF? ，所以圆 C 半径为 2,，圆心 C 是原点 o 关于直线20xy? ? ? 的对称点。设 ( , )Cpq ，由12022qppq? ? ? ? ?得 2mn? ，所以 (2,2)C 圆 C 的方程为 22( 2) ( 2) 4xy? ?
14、? ? （ 2）设直线 l 的方程为 2x my?，则圆心 C 到直线 l 的距离2|2 |1 md m? ? ，所以22 2422 1bd m? ? ? ? ，由 22255x myxy? ? 得 22(5 ) 4 1 0m y m y? ? ? ?，设直线 l 与椭6 圆 E 交于两点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则1 2 1 22241,55my y y ymm? ? ? ?，2221 2 1 2 22 5 ( 1 )| | 1 ( ) 4 . . . . . . 5ma A B m y y y y m ? ? ? ? ? ? ? ?， 22 228 5
15、 1 8 5 2545 11mabm mm? ? ? ?，当且仅当 2241 1m m? ?即3m? 时等号成立。 所以当 3m? 时， ab 取最大值。此时直线 l 的方程为 3 2 0xy? ? ? 21. 解：（ 1） 1a? 时， ( ) ln , ( ) ln 1f x x x f x x? ? ? 切线斜率 (1) 1kf?，切点为 ? ?1,0 ，切线方程 为 1yx? （ 2） ln 1() xfx a? ，令 1( ) 0f x x e? ? ? 当 1a e? 时， ( ) 0fx? ， ()fx在 ? ?,2aa上单调递增， m in( ) ( ) lnf x f a a
16、? ? ?； 当 1 2aae? ，即 112 aee? 时， ()fx在 1,ae?上单调递减，在 1,2ae?上单调递增，m in 11( ) ( )f x f e ae? ? ? ?； 当 12a e? 时， ( ) 0fx? ， ()fx在 ? ?,2aa上单调递减， m in( ) ( 2 ) 2 ln ( 2 )f x f a a? ? ? （ 3）要证的不等式两边同乘以 x ，则等价于证明 2lnxxxxee?令 ( ) lng x x x? ，则由（ 1）知m in 11( ) ( )f x f ee? ? ? ?令 2()xxx ee? ?，则 1()xxx e? ?，当 0
17、1x?时， ( ) 0x? ? ， ()x? 递增； 当 1x? 时， ( ) 0x? ? ， ()x? 递增减；m ax 1( ) (1)x e? ? ? ?所以 min max( ) ( )f x x?，且最值不同时取到，即 2lnxxxxee? ?0,x? ? ? ，都有 12ln xx e ex?。 7 22解： （ 1）由? ?682cos2 得： 83cos2 ?162? ，即 4? 所以 A 、 B 两点的极坐标为： )6,4(),6,4( ? BA或 )67,4( ?B（ 2）由曲线 1C 的极坐标方程得其普通方程为 228xy?， 将直线?tytx21231代入 228xy?，整理得 014322 ? tt ，设点 ,MN对应的参数 分 别 为 12,tt ，则 1 2 1 23 , 1 4t t t t? ? ? ? ，所以21 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 2 1 7M N t t t t t t? ? ? ? ? ? 23. 解： （ 1） 不等式的解集为? ? 324 xx（ 2） 设 ?)(xf?1,2121,321,2112xxxxxxxx故 ? ? ,23)(xf，即 )(xf 的最小值为 23? 所以 axf 2log)( ? 有解，则 23log2 ?a解得 24a?，即 a 的取值范围是 2,4?
