1、 1 广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三数学 9 月份联考试题 理（含解析） 一、选择题 1. 已知集合 ， ，则 中的元素的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】 因为 或 ，所以 ，应选答案 C。 2. 已知 ，为虚数单位， ，则 ( ) A. 9 B. C. 24 D. 【答案】 A 【解析】 因为 ，所以，则 ，应选答案 A。 3. 已知幂函数 的图象过点 ，则函数 在区间 上的最小值是 ( ) A. B. 0 C. D. 【答案】 B 【解析】 由题设 ，故 在 上单调递增，则当时取最小值 ，应选答案 B。 4. 已知 ， ， ，这三个数
2、的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因为 ，所以，应选答案 C。 5. 设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 ( ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 2 【答案】 B 【解析】 由题设 ， ，所以 ，应选答案 B。 6. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为 ( ) A. 3 B. C. 1 D. 【答案】 A 【解析】 画出不等式组 表示的区域如图，则问题转化为求动直线 在 上的截距 的最小值的问题，结合图形可知：当动直线 经过点 时，应选答案 A。 7. 已知函数 的最大值为 3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为 2，与 轴的交点的纵坐标为 1，则(
3、 ) A. 1 B. C. D. 0 【答案】 D 【解析】 由题设条件可得 ，则 ，所以，将点 代入可得，即 ，又 ，3 所以 ，应选答案 D。 8. 执行如图所 示的程序框图，若输入 ，则输出的结果为 ( ) A. 80 B. 84 C. 88 D. 92 【答案】 A 【解析】 9. 在长方体 中， ， ， ，点 在平面 内运动，则线段 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 3 【答案】 C 【解析】 由题意问题转化为求点 到平面 的距离，由于 ，所以 边上的高 ，故三角形 的面积为 ，又三棱锥的体积 ，所以，应选答案 C。 10. 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范
4、围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 不等式 ，可化为 ，则问题转化为求函数 的4 图像在函数 下方，画出函数 的图像及函数 的图像，显然当不成立，故 ，结合图像当且仅当 时满足题设，即，也即 ，应选答案 D。 11. 已知双曲线 的虚轴上、下端点分别为 ，右顶点为 ，右焦点为 ，延长 与 交于点 ，若 四个点共圆， 为坐标原点，则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题设 ，即 ，也即，应选答案 C。 12. 已知函数 在区间 上有最大值，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为 ，所以由
5、题设 在 只有一个零点且单调递减，则问题转化为 ，即 ，应选答案 B。 点睛：解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组 ，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。 第 卷（共 90 分） 二、填空题 13. 已知向量 ， ，且 ，则 _ 【答案】 【解析】 由题设 ，则 ， ， ，所以 ，应填答案 。 14. 已知集合 ，集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为5 _ 【答案】 【解析】 因为 ， ，所以 或 ，则图中阴影部分所表示的集合为 ，应填答案 。 15. 若函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，则函数的极小值是 _ 【答案】 【解析】 因为
6、，所以由导数的几何意义可得切线的斜率 ，故 ，令 可得 ，则函数的极小值为 ，应填答案 。 16. 若函数 至少有 3个零点，则实数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 由 可 得 ，则问题转化为函数6 的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当时，即 时满足题设，应填答案 。 点睛：本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，进而通过解不等式求出参数的取值范围 。 三、解答题 17. 已知函数 的定义域为 ， ，函数的值域为 . (1)当 时，求 ； (2)是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存
7、在，请说明理由 . 【答案】 （ 1）存在实数 ，使得 ；（ 2） 。 【解析】 【 试题分析】 （ 1）先求出 时的集合 ，再计算 ；（ 2） 先求出集合 ，再依据 建立方程 求 ； 解： (1)由 ，解得 ，即 . 当 时，因为 ，所以 ，即 . 所以 . (2)因为 ，若存在实数 ，使 ，则必有 ，解得 . 故存在实数 ，使得 . 18. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . (1)求 的值； (2)求函数 在 上的值域 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 。 【解析】 【 试题分析】 （ 1）先求出函数 的导数，再借助导数的几何7 意义求出切线的斜率 ，建立方程 求出 ， 进而将切
8、点坐标代入求出 ；（ 2）借助（ 1）的结 论先判定函数的单调性，再依据所给区间求出函数的最大值和最小值，然后确定函数的值域： 解： (1)因为 ，所以 . 又 ， . 解得 . (2)由 (1)知 . 因为 ，所以函数 在 上递增， 因为 ， . 所以函数 在 上的值域为 . 19. 如图，在多面体 中，四边形 是正方形，在等腰梯形 中， ， ，平面 平面 . (1)证明： ； (2)求二面角 的余弦值 . 【答案】 （ 1）见推证过程；（ 2） 。 (1)证明：如图，取 的中点 ，连接 ，因为 ， ， 所以四边形 为平行四边形， 又 ，所以四边形 为菱形，从而 . 同理可证 ，因此 . 8
9、 由于四边形 为正方形，且平面 平面 ，平面 平面 ， 故 平面 ，从而 ， 又 ，故 平面 ，即 . (2)解：由 (1)知可建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ， . 故 ， ，设 为平面 的一个法向量， 故 ，即 ，故可取 . 又 ， ，设 为平面 的一个法向量， 故 ，即 ，故可取 . 故 . 易知二面角 为锐角，则二面角 的余弦值为 . 点睛：空间向量是解决空间角度和距离的计算问题的有效工具，本题的第二问巧妙地借助题设条件建立了空 间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式的坐标形式及待定系数法先求出两个平面的法向量，然后再运用数量积的公式的两种形式建立方程求出其二面角的余
10、弦值，使得问题获解。 20. 已知函数 . (1)当 时， 为 上的增函数，求 的最小值； (2)若 ， ， ，求 的取值范围 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 。 【解析】 【 试题分析】 （ 1）先求函数 的导数，再依据题设条件建立不等式 ，然后运用基本不等式求 的9 最小值，进而得到 ，求出 的最小值 ；（ 2） 先判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式等价转化为 ，进而转化为求 解： 解： (1)当 时， . 由 为 上的增函数可得 对 恒成立， 则 ， ， ， ，则 的最小值为 . (2) ， ， ， ， ， ， ， 为 上的增函数， 又 ， 为奇函数， 由 得 ， 为 上的增函数
11、， ， ， ， ， . 故 的取值范围为 . 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值最值等方面的综合运用。求解第一问时，先求函数 的导数，再依据题设条件建立不等式 ，然后运用基本不等式求的最小值，进而得到 ，求出 的最小值 为 -4； 第二问的求解过程中，先判断函数 的奇偶性与单调性，从而将不等式等价转化为 ，进而转化为求解，体现了等价转化的数学思想的巧妙运用。 21. 已知 ，函数 ， . 10 (1)若 恒成立，求 的取值范围； (2)证明：不论 取何正值，总存在正数 ，使得当 时，恒有 . 【答案】 （ 1） ；（ 2）总存在 ，使得当 时，恒有
12、. 【解析】 【 试题分析】 （ 1） 先将不等式 等价转化为 ，然后构造函数，则 ，运用导数知识探求其最大值，进而求出实数 的取值范围；（ 2）先对函数 求导，从而将问题等价转化为 ，进而转化为函 数的最大值进行分析探求 ： 解： (1)函数 ， 的定义域均为 . 因为 ， ，所以 可化为 ， 令 ，则 ， 由 得 ， 所以，当 ， ；当 ， ， 所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 . 所以 . 所以 . (2)(方法一 )： ， 令 ，得 ；令 ，得 ， ， 当 ，即 时，显然存在正数 满足题意， 当 时， 在 上递减，且 ， 必存在 ， . 故存在 ，使得当 时， . (方法二 )： ，令 ， ，
