1、 1 广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三数学 9 月份联考试题 文（含解析） 一、选择题 1. 已知集合 ， ，则 中的元素的个数为 ( ) 【答案】 B 【解析】 集合 ， ，即 ， 中的元素的个数为 1 个 故选： B A 0 B 1 C 2 D 3 2. 已知 ，为虚数单位， ，则 ( ) 【答案】 A 【解析】 因为 ，所以，则 ，应选答案 A。 A B 0 C D 1 3. 已知幂函数 的图象过点 ，则 函数 在区间 上的最小值是 ( ) 【答案】 B 【解析】 由题设 ，故 在 上单调递增，则当时取最小值 ，应选答案 B。 A B 0 C D 4. 已知 ， ， ，这三个数
2、的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 2 【解析】 因为 ，所以，应选答案 C。 5. 的内角 的对边分别是 ，已知 ， ， ，则 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】 B 【解析】 由 余弦定理得 ，即 ，所以 ，应选答案 B。 6. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为 ( ) A. 3 B. C. 1 D. 【答案】 A 【解析】 画出不等式组 表示的区域如图，则问题转化为求动直线 在 上的截距 的最小值的问题，结合图形可知：当动直线 经过点 时，应选答案 A。 7. 已知函数 的最大值为 3，的图象的相邻两条对称轴间的距离为 2，与 轴的交点
3、的纵坐标为 1，则( ) 3 A. 1 B. C. D. 0 【答案】 D 【解析】 由题设条 件可得 ，则 ，所以，将点 代入可得，即 ，又 ，所以 ，应选答案 D。 8. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的结果为 ( ) A. 80 B. 84 C. 88 D. 92 【答案】 A 【解析】 由题设可知当 时， ，程序运算继续执行 ，程序运算继续执行 ，程序运算继续执行 ，故此时运算程序结束，输出 ，应选答案 A。 9. 在正三棱锥 中， ， ，则该三棱锥外接球的直径为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】 A 【解析】 由题设 底面中心到顶点的距离为 ，故正
4、三棱锥的高为，设外接球的球心到底面的距离为 ，则由勾股定理可得，解之得 ，所以外接球的直径为 ，应选答案 A。 4 10. 函数 的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为 ，所以函数的奇函数，排除答案 A 、 C ，又当 时， ，函数 单调递减，故排除答案 B，应选答案 D。 11. 已知双曲线 的虚轴上、下端点分别为 ，右顶点为 ，右焦点为 ，若 ，则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题设 ，即 ，也即，应选答案 C。 12. 已知函数 在区间 上有最大值，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答
5、案】 C 【解析】 因为 ，由题设可得 ，应选答案 C。 二、填空题 5 13. 已知函数 ，若 ，则 _ 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ，应填答案。 14. 已知集合 ，集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为_ 【答案】 【解析】 因为 ， ，所 以 或 ，则图中阴影部分所表示的集合为 ，应填答案 。 15. 若函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，则函数的极小值是 _ 【答案】 【解析】 因为 ，所以由导数的几何意义可得切线的斜率 ，故 ，令 可得 ，则函数的极小值为 ，应填答案 。 16. 设 是定义在 上的函数，它的图象关于点 对称，当 时， (为自然对数的底数 )，则 的值为
6、_ 【答案】 【解析】 由题设 ，设 ，则，所以，应填答案 。 三、解答题 17. 已知集合 ，集合 . (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . 6 【答案】 （ 1） ；（ 2）不存在实数 ，使得 .。 解： (1)因为 ，所以集合 可以分为 或 两种情况来讨论： 当 时， . 当 时，得 . 综上， . (2)若存在实数 ，使 ，则必有 ，无解 . 故不存在实数 ，使得 . 18. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . (1)求 的值； (2)求函数 在 上的值域 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 。 . 解： (
7、1)因为 ，所以 . 又 ， . 解得 . (2)由 (1)知 . 因为 ，由 ，得 ， 由 得， ， 所以函数 在 上递减，在 上递增 . 7 因为 ， ， . 所以函数 在 上的值域为 . 19. 如图，在多面体 中，四边形 是正方形，在等腰梯形 中， ， ， 为 中点，平面 平面 . (1)证明： ； (2)求三棱锥 的体积 . 【答案】 （ 1）见推证过程；（ 2） 。 【解析】 试题分析：（ 1）先依据题设条件运用面面垂直的性质定理证明 平面 ，从而得到 再运用线面垂直的判定定理证明 平面 ，最后借助线面垂直的性质证明 ； （ 2）先等积转换法将 ，然后再求出 的值。 解：（ 1）证
8、明：连接 ，因为 ， ， 所以四边形 为平行四边形， 又 ，所以四边形 为菱形，从而 ， 同理可证 ，因此 ， 由于四边形 为正方形，所以 ，又平面 平面 ， 平面 平面 ， 故 平面 ，从而 ， 又 ，故 平面 ，所以 . 8 (2)因为 ， . 所以，三棱锥 的体积为 . 20. 已知函数 的图象过点 . (1)求函数 的单调区间； (2)若函数 有 3 个零点，求 的取值范围 . 【答案】 （ 1）递减区间是 ，递增区间是 ， ；（ 2） . 【解析】 试题 分析：（ 1）先依据题设条件建立方程组 求出 ，再对函数 求导，借助导数值的符号与函数单调性质之间的关系求解；（ 2）借助（ 1）
9、的结论求出函数 的最大值和最小值 ，然后依据题设条件 “ 函数 有三个零点 ” 建立不等式 求解。 解： (1)因为函数 的图象过点 . 所以 ，解得 ， 即 ，所以 . 由 ，解得 ； 由 ，得 或 . 所以函数 的递减区间是 ，递增区间是 ， . (2)由 (1)知 ， 同理， ， 由数形结合思想，要使函数 有三个零点， 则 ，解得 . 所以 的取值范围为 . 21. 已知函数 . 9 (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论函数 的单调性； (3)若函数 在 处取得极小值，设此时函数 的极大值为 ，证明： . 【答案】 （ 1） ；（ 2）当 时， 在 上递减；当 时， 的
10、减区间为 ，增区间为 ；当 时， 的减区间为 ， ，增区间为；（ 3）见解答过程。 【解析】 试题分析：（ 1）先依据题设条件对函数 求导，借助导数几何意义求出切线的斜率，运用直线的点斜式方程求解；（ 2）先对函数 然后再运用分类整合思想探求函数 的单调区间；（ 3）借助（ 2）的结论，确定函数 在 处取得极小值时在 处取得极 大值，然后得到，运用导数可知其在在 上递减，从而得到，即 。 解： (1)当 时， ，故 . 又 ，则 . 故所求切线方程为 . (2) ， 当 时， ，故 在 上递减 . 当 时， ， ； ， ， 故 的减区间为 ， ，增区间为 ， 当 时， ， ； ， ， 故 的减
11、区间为 ， ，增区间为 . 综上所述，当 时， 在 上递减； 当 时， 的减区间为 ， ，增区间为 ； 当 时， 的减区间为 ， ，增区间为 . (3)依据 (2)可知函数 在 处取得极小值时， ， 故函数 在 处取得极大值，即 ， 10 故 当 时， ，即 在 上递减， 所以 ，即 . 22. 已知直线的参数方程为 (为参数 )，在以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 . (1)求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程 (化为标准方程 )； (2)设直线与曲线 交于 两点，求 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 2。 【解析】 解： (1)直线的普通方程为 即 ， 曲线 的直角坐标方程是 ， 即 . (2)直线的极坐标方程是 ，代入曲线 的极坐标方程得： ，所以 ， . 不妨设 ，则 ， 所以 . 23. 已知函数 . (1)证 明： ； (2)若 ，求 的取值范围 . 【答案】 （ 1）见解答过程；（ 2） 。 【解析】 试题分析：（ 1）运用绝对值不等式的三角形式求出函数的最小值，然后运用基本不等式分析推证出 ；（ 2）先将不等式 等价转化化为 ，再运用分类整合思想进行求解： 解： (1)证明：因为，
