新教材适用2023-2024学年高中数学全一册学案打包24套北师大版选择性必修第二册.zip

1.1数列的概念1.1数列的概念学习目标1了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列中的项2能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式核心素养1通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养2借助通项公式的确定与应用，提升数学运算素养.知识点 1数列的有关概念1数列：按一定_次序_排列的一列数叫作数列2项：数列中的_每一个数_叫作这个数列的项3数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，或简记为_an_.数列的第 1 项，也叫数列的_首项_，an是数列的第n项，也叫数列的_通项_.提醒an和an是不同的概念，an表示一个数列，而an表示数列中的第n项想一想：数列 1,2,3,4,5 和数列 5,4,3,2,1 是同一个数列吗？提示：数列 1,2,3,4,5 和数列 5,4,3,2,1 不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同练一练：思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)数列 1,3,5,7 可表示为1,3,5,7()(2)数列 1,0，1，2 与数列2，1,0,1 是相同的数列()(3)数列中的项可以相等()解析(1)1,3,5,7不表示数列(2)数列具有有序性，顺序不同一定不是相同数列(3)数列中的各项数可能相等知识点 2数列的分类1项数_有限_的数列称为有穷数列2项数_无限_的数列称为无穷数列练一练：(多选)下列四个数列中，是无穷数列的是(AC)A1，12，13，14，B1,2,3,4，2nC1，12，14，18，D1，2，3，21解析B、D 是有穷数列，A、C 是无穷数列知识点 3数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用_一个式子_表示成anf(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式提醒1.并不是所有的数列都有通项公式2同一数列的通项公式表达形式不是唯一的例如，数列1,1，1,1，1,1，的通项公式可以写成an(1)n，an(1)n2或ancos n 等3数列的通项公式的定义域是正整数集 N N或它的有限子集练一练：1数列 2,3,4,5，的一个通项公式为(B)Aann Bann1Cann2 Dan2n解析这个数列的前 4 项都比序号大 1，所以它的一个通项公式为ann1.2数列an中，若ann162n，则a4 2.解析因为ann162n，所以a441682.题型探究题型一数列的概念及分类典例 1(多选)下列说法正确的是(AC)A数列 4,7,3,4 的首项是 4B数列an中，若a13，则从第 2 项起，各项均不等于 3C数列 1,2,3，是无穷数列Da，3，1,1，b,5,7,9,11 能构成数列解析根据数列的相关概念，可知数列 4,7,3,4 的第 1 项就是首项，即 4，故 A 正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故 B 错误；由无穷数列的概念可知 C 正确；当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故 D 错误规律方法数列概念的三个注意点(1)数列an表示数列a1，a2，a3，an，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别(2)从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性，是理解、把握数列的关键对点训练 下列说法正确的是(C)A1,4,2，13，5不是数列B数列n1n的第k项为 12kC1,1,3,5，是数列D数列 0,2,4,6,8，可记为2n解析A 中，1,4,2，13，5是数列；B 中，数列的第k项为 11k；D 中，数列应记为2n2，所以 D 不正确；很明显 C 正确.题型二根据数列的前几项写出数列的一个通项公式典例 2写出下面各数列an的一个通项公式：(1)9,99,999,9 999，(2)1，3,5，7,9，(3)12，2，92，8，252，(4)3,5,9,17,33，分析观察给出的前几项，归纳、猜想出通项公式解析(1)各项加 1 后，变为 10,100,1 000，10 000，新数列bn的通项公式为bn10n，可得原数列an的一个通项公式为an10n1.(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，新数列bn的通项公式为bn2n1，考虑到(1)n1具有转换正负号的作用，所以原数列an的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察，各项变为12，42，92，162，252，所以数列an的一个通项公式为ann22.(4)3 可看作 211,5 可看作 221,9 可看作 231,17 可看作 241,33 可看作 251，所以数列an的一个通项公式为an2n1.规律方法由数列的前几项求通项公式的思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等，然后通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系；(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式；(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等；(4)符号用(1)n或(1)n1来调整；(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系；(6)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等求通项对点训练 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式(1)23，415，635，863，(2)1,0,1,0，(3)1,2，3,4，(4)2,22,222,2222，解析(1)分子均为偶数，分母分别为 13,35,57,79，是两个相邻奇数的乘积故an2n(2n1)(2n1).(2)奇数项为 1，偶数项为 0，故anError!Error!.(3)该数列的前 4 项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an(1)nn.(4)数列各项可化为299，2999，29999，所以通项公式为an29(10n1).题型三数列中的项的求解与判断典例 3已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出数列的第 4 项和第 6 项(2)49 是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68 是否为该数列的一项呢？(3)数列an中有多少个负数项？分析(1)分别将n4，n6 代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an49，an68，分别求得n的值，若nN N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列an中负数项的个数解析(1)a431628464，a633628660.(2)令 3n228n49，解得n7 或n73(舍去)，所以n7，即49 是该数列的第 7 项令 3n228n68，解得n343或n2.因为343N N*，2N N*，所以 68 不是该数列的项(3)ann(3n28)，令an0，又nN N*，解得n1,2,3,4,5,6,7,8,9，即数列an中有 9 个负数项规律方法判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程若方程解为正整数，则是数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的一项对点训练 已知数列an的通项公式是ann2n21.试判断910和110是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由解析令n2n21910，得n29，所以n3(n3 舍去)，故910是该数列中的项，并且是第 3 项；令n2n21110，得n219，所以n13，由于13与13都不是正整数，因此110不是数列中的项易错警示忽略数列有序性致误典例 4写出由集合x|xN N且x4中的所有元素构成的所有数列(要求首项为1，且集合的元素只出现一次)误区警示数列的记法an只是“借用”集合的符号表示数列，它们之间有本质上的区别：(1)集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的(2)集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列解析集合可表示为1,2,3,4，由集合中的元素组成的数列要求首项为 1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有 6 个：1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.1数列 1,3,6,10，x,21,28，中，由给出的数之间的关系可知x的值是(B)A12 B15 C17 D18解析各项乘 2，变为 12,23,34，可得原数列的通项公式为ann(n1)2，故xa55 (51)215.2有下列命题：数列23，34，45，56，的一个通项公式是annn1；数列的图象是一群孤立的点；数列 1，1,1，1，与数列1,1，1,1，是同一数列其中正确命题的个数为(A)A1 B2 C3 D0解析正确，其余均不对3把 1,3,6,10,15,21 这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则第七个三角形数是(B)A27 B28 C29 D30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可，根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是 123456728.4323 是数列n(n2)(nN N)的第_17_项解析令n(n2)323，n22n3230，(n19)(n17)0，nN N，n17.1.2数列的函数特性1.2数列的函数特性学习目标1了解数列的几种简单表示方法2了解递增数列、递减数列、常数列的概念3掌握判断数列的增减性的方法核心素养1通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养2借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养知识点 1数列与函数的关系数列可以看作是定义域为 正整数集 N N(或它的有限子集1,2，n)的函数，当自变量_从小到大_依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列提醒数列是一种特殊的函数，特殊在它的定义域是离散型的，所以图象是一些分散的点并且数列有序，函数值域是集合，具有无序性想一想：在数列an中，an1n，请说出数列an与函数f(x)1x(x0)的图象的区别与联系？提示：数列an的图象是一群孤立的点，而函数f(x)的图象是一条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上练一练：在数列an中，ann29n(nN N)，则此数列最小项的值是_20_.解析ann29n(n92)2814，nN N，当n4 或n5 时，an取最小值20.知识点 2数列的三种表示法(1)列表法(2)图象法(3)_通项公式法_.练一练：对于数列an，a14，an1f(an)，nN N，依照下表，则a2 023_5_.x12345f(x)54312解析a14，a2f(4)1，a3f(1)5，a4f(5)2，a5f(2)4，该数列是周期为 4 的周期数列，所以a2 023a35.知识点 3递增数列、递减数列、常数列、摆动数列名称定义表达式图象特点递增数列从第 2 项起，每一项都_大于_它的前一项an1an(nN N)_上升_递减数列从第 2 项起，每一项都_小于_它的前一项an10，即a7 时，anan6知a1.又a7a8，即(3a)732 或a9.综上，得2aan(nN N)，数列an递减an1an(nN N)，进而转化为不等式恒成立问题，通过分离变量转化为求代数式的最值问题来解决，或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围另外，在解决问题时，勿忘nN N这个条件，即nZ Z 且n1.对点训练 通项公式为ann2n的数列an，若满足a1a2a3a4an1对n8 恒成立，则实数的取值范围是(A)A(19，117)B(19，116)C(110，116)D(110，117)解析a1a2a3a4a5，1429316419，而anan1对任意的n8 恒成立，故0，且12892，即117，故选 A题型三求数列的最大项与最小项典例 3已知数列an的通项公式是an(n2)(78)n(nN N)，数列an是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由解析数列an有最大项方法一：an1an(n3)(78)n1(n2)(78)n(78)n5n8.当n0，即an1an；当n5 时，an1an0，即an1an；当n5(nN N)时，an1an0，即an1an.故a1a2a3a4a7a8，数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a67685.方法二：an1an(n3)(78)n1(n2)(78)n7(n3)8(n2)，令an1an1，即7(n3)8(n2)1，解得n5(nN N)；令an1an1，即7(n3)8(n2)1，解得n5，a6a5；令an1an1，即7(n3)8(n2)5(nN N)故a1a2a3a4a7，数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a67685.方法三：假设an中有最大项，且最大项为第n项(n2)，则Error!Error!即Error!Error!解得 5n6.故数列an有最大项a5或a6，且a5a67685.规律方法求数列中的最大(最小)项问题的两种方法(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项(2)利用Error!Error!(n2)，求数列中的最大项an，利用Error!Error!(n2)，求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定对点训练 已知数列an的通项公式为an2n221n，则该数列中的数值最大的项是(A)A第 5 项 B第 6 项C第 4 项或第 5 项 D第 5 项或第 6 项解析an2n221n2(n214)24418，因为nN N*,52146，且a555，a654，所以数值最大的项为第 5 项易错警示用函数思想解题时忽略数列的特征而致错典例 4已知数列an的通项公式为ann2tn，若数列an为递增数列，则t的取值范围是_(3，)_.错解2，)误区警示在错解中，忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出t21，即t2，)错误结果事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)x2tx在1，)上不单调照样可以使得数列an单调，当对称轴位于区间(1，32)内时，a10 恒成立，即t(2n1)恒成立而nN N*，所以t3，故t的取值范围是(3，)正解二：ann2tn(nt2)2t24，由于nN N*，且数列an为递增数列，结合二次函数的图象可得t23，故t的取值范围是(3，).1已知an1an3，则数列an是(A)A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析an1an30，an1an.2已知数列an满足：任意m，nN N，都有anamanm，且a112，那么a5(A)A132 B116 C14 D12解析由题意，得a2a1a114，a3a1a218，则a5a3a2132.3已知表示数列an的图象的点在函数y1x的图象上，则其通项公式为 an1n(nN N).解析数列an对应的点列为(n，an)，即有an1n(nN N)4已知数列 2a1，a3,3a5 为递减数列，则a的取值范围为_(2,1)_.解析数列：2a1，a3,3a5 为递减数列，Error!Error!解得2a1.a的取值范围为(2,1)2.1等差数列的概念及其通项公式2.1等差数列的概念及其通项公式第 1 课时等差数列第 1 课时等差数列学习目标1理解等差数列的概念2掌握等差数列的判定方法3掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用核心素养1通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养2借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养知识点 1等差数列的定义文字语言对于一个数列，如果从第_2_项起，每一项与它的前一项的_差_都是_同一个常数_，称这样的数列为等差数列符号语言若_anan1d(n2)_，则数列an为等差数列提醒“每一项与前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻想一想：若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？提示：一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列练一练：(多选)下列数列是等差数列的是(AC)A0,0,0,0,0，B1,11,111,1111，C5，3，1,1,3，D1,2,3,5,8，解析根据等差数列的定义可知 A，C 中的数列是等差数列，而 B，D 中，从第 2 项起，后一项与前一项的差不是同一个常数知识点 2等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则等差数列an的通项公式为an_a1(n1)d_.练一练：1已知等差数列an，a12，a35，则公差d等于(B)A23 B32 C3 D3解析由已知等差数列an，a12，a35 可得等差数列an的公差da3a13152232.2等差数列an中，首项a13，公差d4，如果an2 023，则序号n(D)A503 B504 C505 D506解析由ana1(n1)d得 2 02334(n1)，解得n506.题型探究题型一等差数列的通项公式典例 1(1)已知数列an是等差数列，且a11，a2a410.求数列an的通项公式(2)在等差数列an中，已知a511，a85，求通项公式an.解析(1)设等差数列an的公差为d，则 2a14d10，即 24d10，解得d2，所以an2n1.(2)设数列an的公差为d，由a511，a85，得Error!Error!即Error!Error!解得a119，d2，所以数列an的通项公式an19(n1)(2)212n.规律方法基本量法求通项公式(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想(2)等差数列an中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量(3)如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量对点训练(1)在等差数列an中，已知a22，a58，则a9(C)A8 B12C16 D24(2)等差数列an中，已知a32，d3，求an的值；若a511，an1，d2，求n的值解析(1)设公差为d，首项为a1，则Error!Error!解得Error!Error!a9a18d16.(2)由a3a1(31)d，得a1a32d8，an8(n1)33n11.ana1(n1)d，所以a5a14d，所以 11a142，所以a119，所以an19(n1)(2)2n21，令2n211，得n10.题型二等差数列的判断与证明典例 2(1)判断下列数列是否为等差数列？an3n2；ann2n.(2)已知数列an满足a12，an1an13an(nN N*)，bn1an(nN N*)求证：数列bn是等差数列，并求出首项和公差解析(1)an1an3(n1)2(3n2)3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列因为an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2(不是常数)，所以此数列不是等差数列(2)证明：方法一：因为1an113anan，所以1an11an3，所以1an11an3，又因为bn1an(nN N*)，所以bn1bn3(nN N*)，且b11a112.所以数列bn是等差数列，首项为12，公差为 3.方法二：因为bn1an，且an1an13an，所以bn11an113anan1an3bn3，所以bn1bn3(nN N*)，b11a112.所以数列bn是等差数列，首项为12，公差为 3.规律方法1用定义证明一个数列是等差数列，即证明an1and(d为常数).2说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap1apaq1aq(p，qN N)即可对点训练 已知数列xn满足xn3xn1xn13(n2，且nN N)(1)求证：1xn是等差数列；(2)当x112时，求x100.解析(1)证明：当n2 时，1xnxn133xn1131xn1，1xn1xn113，1xn是等差数列，公差为13.(2)由(1)知，1xn213(n1)，1x100213(1001)35，x100135.题型三等差数列的实际应用典例 3某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元，即最初的 4 km(不含 4 km)计费 10 元，如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，那么需要支付多少车费？解析根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时，每增加 1 km，乘客需要支付1.2 元所以，可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示 4 km 处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至 14 km 处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)即需要支付车费 23.2 元规律方法在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题对点训练 高一某班有位学生第 1 次考试数学考了 69 分，他计划以后每次考试比上一次提高 5 分(如第 2 次计划达到 74 分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120 分以上，包括 120 分)至少还要经过的数学考试的次数为_11_.解析设经过n次考试后该学生的成绩为an，则an5n69，由 5n69120，得n5151015，所以至少要经过 11 次考试易错警示求等差数列的公差时因考虑不周致误典例 4首项为24 的等差数列从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是(D)Ad83 Bd3C83d3 D830，解得d83.故选 A误区警示该等差数列的首项为负数，从第 10 项起开始为正数，说明公差为正数，且第9 项为非正数，第 10 项为正数，解决此类问题时容易忽视第 9 项的要求正解由题意知Error!Error!解得83d3，故选 D.1数列an的通项公式an2n5，则此数列(A)A是公差为 2 的等差数列B是公差为 5 的等差数列C是首项为 5 的等差数列D是公差为n的等差数列解析an2n5，an12n3(n2)，anan12n52n32(n2)，数列an是公差为 2 的等差数列2等差数列3,1,5，的第 15 项的值是(B)A40 B53 C63 D76解析设这个等差数列为an，其中a13，d4，a15a114d341453.3等差数列 1，1，3，5，89，它的项数为(C)A92 B47 C46 D45解析a11，d112，an1(n1)(2)2n3，由892n3，得n46.4已知等差数列an中，a1a2a4，a1011，则a12_13_.解析设公差为d，由题意得Error!Error!解得Error!Error!ana1(n1)d，a1221113.第 2 课时等差数列的性质及应用第 2 课时等差数列的性质及应用学习目标1了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差d的几何意义2掌握等差数列的性质及应用3掌握等差中项的概念及应用核心素养1通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养2借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养知识点 1等差数列的单调性与图象(1)等差数列的图象由andn(a1d)，可知其图象是直线ydx(a1d)上的一些_等间隔的点_，其中_公差d_是该直线的斜率.(2)从函数角度研究等差数列的性质与图象由anf(n)a1(n1)ddn(a1d)，可知其图象是直线ydx(a1d)上的一些_等间隔的点_，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_斜率_，即自变量每增加 1，函数值增加d.当d0 时，an为_递增数列_；当d0，递减等差数列d0)，则Error!Error!解得Error!Error!所以这三个数是 6,4,2.易错警示对等差数列的定义理解不透彻而致误典例 4已知数列an是无穷数列，则“2a2a1a3”是“数列an为等差数列”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件错解C误区警示应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an1an或anan1(n2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求正解B1在等差数列an中，a3，a10是方程x23x50 的两个实根，则a5a8(A)A3 B5 C3 D5解析a5a8a3a103.2在等差数列an中，a2a34，a5a68，则a4(C)A4 B72 C3 D2解析因为(a2a3)(a5a6)(a2a6)(a3a5)4a412，所以a43.3(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为 28，中间两项的积为 40，则这四个数依次为(AB)A2,4,10,16 B16,10,4，2C2,5,8,11 D11,8,5,2解析设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，则Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!所以这四个数依次为2,4,10,16 或 16,10,4，2.4数列an，bn都是等差数列，且a115，b135，a2b270，则a3b3_90_.解析因为数列an，bn都是等差数列，所以anbn也构成了等差数列，所以(a2b2)(a1b1)(a3b3)(a2b2)，所以a3b390.5 已知b是a，c的等差中项，且 lg(a1)，lg(b1)，lg(c1)成等差数列，同时abc15，求a，b，c的值解析因为 2bac，abc15，所以 3b15，b5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a5d，c5d.由 2lg(b1)lg(a1)lg(c1)知：2lg 4lg(6d)lg(4d)从而 16(6d)(4d)，即d22d80.所以d4 或d2.所以a，b，c三个数分别为 1,5,9 或 7,5,3.2.2等差数列的前n项和2.2等差数列的前n项和第 1 课时等差数列的前n项和第 1 课时等差数列的前n项和学习目标1理解等差数列前n项和的推导方法2掌握等差数列的前n项和公式核心素养1借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养2借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系，培养数学运算素养知识点等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn n(a1an)2Sn na1n(n1)2d提醒在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”想一想：求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？提示：求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式Snn(a1an)2；若已知首项、公差和项数，则选用公式Snna1n(n1)2d.练一练：1已知Sn为等差数列an的前n项和，若a315，a735，则S9(D)A450 B400 C350 D225解析设公差为d，由Error!Error!解得a1d5，所以S99a19 82d225.2已知数列an为等差数列，首项a12，公差d4，前n项和Sn200，则n(C)A8 B9 C10 D11解析由题意及等差数列前n项和公式知Snna1n(n1)d22n2200，所以n10.3已知等差数列an满足a5a628，则其前 10 项的和为_140_.解析由等差数列的性质得a1a10a5a628，故其前 10 项之和S1010(a1a10)2528140.题型探究题型一有关等差数列前n项和公式的计算典例 1已知等差数列an中：(1)a132，d12，Sm15，求m及am；(2)a11，an512，Sn1 022，求d；(3)S524，求a2a4.分析(1)Smma1m(m1)2d，解方程求得m，再利用通项公式ama1(m1)d，求am.(2)Error!Error!解方程组求d.(3)可以利用Snna1n(n1)2d求解，也可以利用Snn(a1an)2，求得a1a5，再利用等差数列的性质求得a2a4.解析(1)a132，d12，Sm32m12m(m1)215，m27m600，解得m12 或m5(舍去)ama123212114.(2)Snn(a1an)2n(1512)21 022，解得n4.又ana1(n1)d，51213d，d171.(3)方法一：S55a15 42d24，5a110d24，a12d245，a2a42a14d2(a12d)485.方法二：S55(a1a5)224，a1a5485，a2a4a1a5485.规律方法等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)利用等差数列的性质解题等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN N)，则amanapaq，常与求和公式Snn(a1an)2结合使用对点训练(1)在等差数列an中，已知a3a412，则数列an的前 6 项之和为(C)A12 B32 C36 D72(2)设一个等差数列的前 4 项和为 3，前 8 项和为 11，则这个等差数列的公差为(A)A516 B58 C54 D52解析(1)等差数列an中，a3a412，所以等差数列an的前 6 项之和为：S66 (a1a6)26 (a3a4)26 12236.(2)设这个等差数列的公差为d，首项为a1，则S44a14 32d3，S88a18 72d11，解得d516.题型二等差数列前n项和的性质典例 2(1)已知等差数列an前n项和为Sn，S440，Sn210，Sn4130，则n(B)A12 B14 C16 D18(2)两个等差数列an，bn，若a1a2anb1b2bn7n2n3，则a7b7(C)A5114 B518 C9316 D9312(3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10100，S10010，试求S110.分析(1)求n想到Snn(a1an)2n(amanm1)2SnSn4anan1an2an3，a1a2a3a4a1an.(2)求值想到Snn(a1an)2若mnpq则amanapaqanbnS2n1S2n1.(3)求S110想到Sn，S2nSn，S3nS2n，构成公差为n2d的等差数列S10100，S10010项数和公差解析(1)SnSn4anan1an2an380.S4a1a2a3a440.两式相加得 4(a1an)120，a1an30.由Snn(a1an)2210，n14.(2)由已知SnSn7n2n3，a7b7S13S139316.(3)方法一：因为S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100成等差数列，设公差为d，前 10 项的和为：1010010 92d10，所以d22，所以前 11 项的和S1101110011 102d1110011 102(22)110.方法二：设等差数列an的公差为d，则Snnd2(n1)a1，所以数列Snn成等差数列所以S100100S101010010S110110S100100110100，即101001001010010S1101101010010，所以S110110.方法三：设等差数列an的公差为d，S110a1a2a10a11a12a110(a1a2a10)(a110d)(a210d)(a10010d)S10S10010010d，又S10010S10100 992d100 92d1010100，即 100d22，所以S110110.规律方法等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n也构成等差数列(2)若an与bn均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Sn，则anbnS2n1S2n1.(3)若等差数列an的前n项和为Sn，则数列Snn是等差数列，且首项为a1，公差为 d2.(4)项的个数的“奇偶”性质an为等差数列，公差为d.若共有 2n项，则S2nn(anan1)；S偶S奇nd；S偶S奇an1an；若共有 2n1 项，则S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；S偶S奇nn1.(5)等差数列an中，若Snm，Smn(mn)，则Smn(mn)(6)等差数列an中，若SnSm(mn)，则Smn0.对点训练(1)已知等差数列an满足：a22，SnSn354(n3)，Sn100，则n(D)A7 B8C9 D10(2)等差数列an共 2n1 项，其中奇数项和为 319，偶数项和为 290，则an1_29_.解析(1)等差数列an满足：a22，SnSn354(n3)Sn100，anan1an254(n3)又an为等差数列，3an154(n2)，an118(n2)，又a22，Sn100，Sn(a2an1)n2(218)n2100.n10，故选 D.(2)因为等差数列an共 2n1 项，其中奇数项和为 319，偶数项和为 290，记奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1S2(a1a3a5a2n1)(a2a4a6a2n)a1ndan131929029.题型三等差数列前n项和的最值典例 3(1)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a80.又因为a7a100，所以a8a90，所以a9S7，S8S9，即数列an的前 8 项和最大(2)设公差为d，由题意得Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!an2n14.由得Snn(12142n)2n213n(n132)21694.当n取与132最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn有最大值，最大值为S6S77213742.规律方法等差数列前n项和最值的两种求法(1)转折项法当a10，d0 时，由不等式组Error!Error!可求得Sn取最大值时的n值当a10 时，由不等式组Error!Error!可求得Sn取最小值时的n值(2)利用二次函数求Sn的最值知道公差不为 0 的等差数列的前n项和Sn可以表示成Snan2bn(a0)的形式，我们可将其变形为Sna(nb2a)2b24a.若a0，则当(nb2a)2最小时，Sn有最小值；若a0，则当(nb2a)2最小时，Sn有最大值对点训练(1)设数列an为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1a4a799，a2a5a893，若对任意nN N*，都有SnSk成立，则k的值为_20_.(2)已知等差数列an中，a113，S3S11.那么当n_7_，Sn取最大值解析(1)方法一：对任意nN N*，都有SnSk成立，即Sk为Sn的最大值因为a1a4a799，a2a5a893，所以a433，a531，故公差d2，ana4(n4)d412n，当Sn取得最大值时，对任意nN N*满足Error!Error!解得n20.即满足对任意nN N*，都有SnSk成立的k的值为 20.方法二：同方法一可得公差d2，ana4(n4)d412n，则n1 时，a139，所以Snd2n2(a1d2)nn240n(n20)2400，即当n20 时，Sn取得最大值，从而满足对任意nN N*，都有SnSk成立的k的取值为 20.(2)S3S11，所以其对称轴为n31127，知n7 时Sn取最大值易错警示由和求项注意验证首项典例 4已知数列an的前n项和Snn23n2，判断an是否为等差数列错解anSnSn1(n23n2)(n1)23(n1)22n2.an1an2(n1)2(2n2)2(常数)，数列an是等差数列误区警示anSnSn1是在n2 的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证正解a1S16，n2 时，anSnSn1(n23n2)(n1)23(n1)22n2，anError!Error!显然a2a1660，a3a22，an不是等差数列1在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前 11 项的和S11(B)A58B88C143D176解析S1111(a1a11)211(a4a8)211 16288.2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62 且S530，则S8等于(B)A31 B32 C33 D34解析由已知可得Error!Error!解得Error!Error!S88a18 72d32.3设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m(C)A3