1、 1 甘肃省兰州市 2018届高三数学 8 月月考试题 理 一、选择题（本题共 12个小题 ,每小题只有一个正确答案 , 每小题 5分 ,共 60分） 1. 已知集合 ? ?2| 4 3 0A x x x? ? ? ?， ? ?| 2 4B x x? ? ?，则 AB? ( ). A ? ?13， B ? ?24， C ? ?14， D ? ?23， 2. 若 ),( pnBX ，且 6)( ?XE ， 3)( ?XD ，则 )1( ?XP 的值为（ ） A.161 B.1023C.1821D.43 3.已知 ?na 是等差数列， 10 10a ? ,则 ?19S ( ) A.190 B.95
2、 C .170 D.85 4.中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 :“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思为：有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第 2天走了（ ） A.192 里 B.96里 C.48 里 D.24里 5.设变量 x、 y满足约束条件?1122yxyxyx ，则 yxz 32 ? 的最大值为 ( ) A. 22 B. 20 C.18 D. 16 6 我校秋季田径运动会举行期间需要若干学生志愿者 . 若将 6 名志愿者每 2
3、人一组，分派到 3 个不同的场地，则甲、乙两人必须分在同组的概率是 （ ） A. 5B1C 3D147.有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A.16 B.20 C.24 D.32 8.在 ABC 中 ,角 A、 B、 C所 对的边分别为 a、 b、 c,且满足 sin cosa B b A? ,则 2 sin cosBC?的最大值是 ( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 2 7 3 2 4 2 9 ? 2 1 23 dxxa,函数 f（ x） = axex ?32 的零点所在的区间是 ( ) A. （ -2,-1） B. （ -1,0） C. （ 0,1） D. （
4、 1,2） 10.过 双曲线22 1( 0 , 0)xy abab? ? ? ?的右焦点 F作圆2 2 2x y a?的切线 FM（切点为 M），交y轴于点 P,若 M为线段 FP的中点，则双曲线的离心率是（ ） A . 2 B. 2C. 3D. 511. 已 知 函 数 ()fx 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 ( ) (4 )f x f x?且 ? ? ? ?xfx ?2 0 ，记1(0 ) , ( ) , ( 3 )2a f b f c f? ? ?，则 a、 b、 c的大小关系是（ ） A. a c b? B. c b a? C. abc? D. bac? 12.函数 ()fx
5、的定义域为 D，若满足： ()fx在 D内是单调函数；存在 , 22ab D? ，使得 ()fx在 , 22ab 上 的 值 域 为 , ab ， 那 么 就 称 函 数 ()y f x? 为 “ 优 美 函 数 ”， 若 函 数( ) lo g ( ) ( 0 , 1 )xcf x c t c c? ? ? ?是“优美函数”，则 t的取值范围为 ( ) A. （ 0， 1） B. 1(0, )2 C. 1( , )4? D. （ 0， 14 ） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13右图给出的是计算 201614121 ? 的值的一个程序框图，判断其中框内应填入 的条
6、件是 ； 14.已知 2 nixx?的展开式中第三项与第五项的系数之比为 143 ,其中 i2 = 1，则展开式中常数项是 ； 15在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为： ； 16. 在区间0,1上任意取两个实数ab、，则函数31() 2f x x ax b? ? ?在区间1,1?上有且仅有一个零点的概率为 _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 3 17（本小题满分 12分）在ABC?中，角 A、 B、C的对边分别为a、b、c，2 2 2a b c bc? ? ?.（）求角 A的大小； （）若23a?，2b，求c的
7、值 18.(本小题满分 12分 )2017 年 3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型 (“小绿车”、 “小黄车” )采用分时段计费的方式，“小绿 车”每 30分钟收费 0.5元 (不足 30分钟的部分按 30分钟计算 )；“小黄车”每 30分钟收费 1元 (不足 30 分钟的部分按 30分钟计算 )有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行 (各租一车一次 )设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 321,432，三人租车时间都不会超过 60分钟 .甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车” (I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用 的概率； ( )设甲、乙、丙三人所付的费
8、用之和为随机变量 ? ，求 ? 的分布列和数学期望 19.(本小题满分 12分 ) 如图，在四棱锥ABCDP?中， PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形， 2?AB，? 60BAD （）求证： BD?PC； （）若 ABPA?，求二面角 A PD B?的余弦值 . 20.(本小题满分 12分 )已知椭圆 M ： 221xyab （ a b 0）的离心率为 223，且椭圆上 一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 6 4 2 （ 1）求椭圆 M 的方程；（ 2）设直线 l ： x ky m?与椭圆 M 交于 A， B两点，若以 AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点 C，求 m 的值 21（本小题
9、满分 12分） 已知函数2( ) , ( ) 2 ln (xf x g x a x ee?为自然对数的底数） (1)求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间，若 F(x)有最值，请求出最值； (2)是否存在正常数a，使 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由 P A B D C 4 请考生在第 22、 23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在 直角坐标系xOy中 , 过点)23,23(P作倾斜角为?的直线l与曲
10、线1: 22 ? yxC相交于不同的两点NM, (1) 写出直线l的参数方程 ; (2) 求 PNPM 11 ?的取值范围 23（本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 已知 a b 1，对 a? ， b（ 0，）， 1a 4b 2x 1 x 1恒成立， （ 1）求 1a 4b 的最小值； （ 2）求 x 的取值范围。 5 兰州一中 2018届高三 8月月考理科数学参考答案 一、选择题：（本大题共 12 个小题；每小题 5分，共 60分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D B A B C A B A C B C D 二、填空题：（本大题共 4小题，
11、每小题 5分，共 20分） 13. i10 14. 45 15. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 16. 87 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 12分） 解 ： （ ） 由2 2 2a b c bc? ? ?，得2 2 2 122b c abc? ?. .3 分 1cos 2A?0 A ?， 23A ?. .6 分 （ ） 由 正 弦 定 理 , 得2 3 1si n si n 2223bBAa? ? ? ?. .9 分 23A ?, 0 B ?, 6B ?. () 6C A B ? ? ? ?. .11分 2c
12、b?. .12分 18.(本小题满分 12分 ) 6 解： (I)由题意得，甲乙丙在 30分钟以上且不超过 60 分钟还车的概率分别为 .213141 ， 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件 A. 则 247213141213243)( ?AP 答 ： 甲 、 乙 两 人 所 付 的 费 用 之 和 等 于 丙 所 付 的 费 用 的 概 率 为247 .4 分 ( )? 可能取值有 2, 2.5， 3, 3.5， 4 41213243)2( ?P ； 245213241213143)5.2( ?P ； 247213141213243)3( ?P ； 24521324121314
13、3)5.3( ?P 241213141)4( ?P .9分 甲、乙、丙三人所付的租车费用之和 ? 的分布列为 .11分 所以246724142455.324732455.2412 ?E .12分 19.(本小题满分 12分 ) 解：（）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC BD?. 又因为 PA?平面ABCD,所以 PA?BD. 又AC A?,所以 平面PAC. 又PC?平面PAC，所以PC? 6分 （）解：依题意 ,知 平面 PAD?平面ABCD，交线为 AD， P A D C M N 7 过点 B作 BM AD?，垂足为 M，则 BM?平面 PAD. 在平面 PAD内过 作N PD，垂
14、足为N，连BN, 则 PD平面 ，所以BNM?为二面角 A PD B? 的一个平面角 . ? 9分 AB AD?，?60BAD, 3 32 AB?, 1DM?. ? 10分 又 ABPA?，故22MN?. 所以142. ? 11分 272c o s7142MNBN MBN? ? ? ?. 即二面角 A PD B的余弦值为77. ? 12 分 20.(本小题满分 12分 ) 解：（）由题意，可得 24622 ? ca ， 即 3 2 2ac? ? ? , 又 223e?，即 223ca?所以， 3a? ， 22c? ， 2 2 2 1b a c? ? ? 所以，椭圆 M 的方程为 19 22 ?
15、yx. ? 4分 （） 由 22,1,9x ky mx y? ?消去 x 得 2 2 2( 9 ) 2 9 0k y km y m? ? ? ? ?. ? 5分 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，有12 22 9kmyy k? ? ? ?， 212 2 99myy k ? ?. ? 6分 因为以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 (3,0)C ，所以 0CA CB?. .? 7分 由 11( 3, )CA x y? ， 22( 3, )CB x y? ,得 1 2 1 2( 3 )( 3 ) 0x x y y? ? ? ?.? 8分 将 1 1 2 2,x ky m x ky m? ? ? ?代入上式， 得 221 2 1 2( 1 ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) 0k y y k m y y m? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? 10分 8 将 代入上式，解得 125m? ，或 3m
