1、 - 1 - 了解 不了解 合计 男生 160 p 女生 480p? 80 合计 720 开始 1 0iS?，1ii?i n 是 否 结束 输出 S 2iSS?2018 高考 高 三 数学 12 月月考试题 03 满分 150 分，考试时间 120 分钟 一 . 填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题， 考生应在答题纸上相应编号的空格 内 直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1 已知复数 z 满足 (1 ) 4i z i?(i 为虚数单位 )，则 z? _. 2 函数 22log (1 )yx?的定义域为 . 3 已知集合 , , , , , , , , A a
2、b c d e B c d e f?，全集 U A B? ，则集合 ()U AB 中元素的个数为 _. 4 已知抛物线 2 4yx? 的焦点与圆 22 40x y mx? ? ? ?的圆心重合，则 m 的值是 . 5 已知函数 ()y gx? 的图像与函数 31xy?的图像关于直线 yx? 对称，则 (10)g 的值为 . 6 （文）若二项式 ? ?2 1nx? 展开式的各项系数的和为 64 ，则其展开式的所有二项式系 数中最大的是 . (用数字作答 ) 7（文）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 ( 3) nnSr? ? ? (r 是常数 )，则数列 na是等比数列的充要条件是 .
3、 8 某算法的程 序框图如右图，若输出的 S 的值为 62 ，则正整数 n 的值为 . 9 （文）某高校随机抽查 720 名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这 720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是 1118 ，则 p? . 10 已知定义在 (0 )2?， 上的函数 2(sin 1)yx?与 83y? 的图像的交点为 P ，过 P 作 1PP x? 轴于 1P ，直线 1PP 与 tanyx? 的图像交于点 2P ，则线段 12PP 的长为 . 11 （文）已知不等式 1x a x? ? ? 对任意 0,2x? 恒成立，则实数
4、a 的取值范围是 12 （文） 已知函数2c o s , 1 1() 21 , | | 1x xfxxx? ? ? ? ?，则关 于 x 的方程 2 ( ) 3 ( ) 2 0f x f x? ? ?的实根的个数是 _ _ - 2 - 312 5332 97425123 3 973 11 2943252727 79111313514 （文） 如下图 ，对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂” (其中* mn N?、 )：例如 27 的“分裂”中最小的数是 1，最大的数是 13；若 3m 的“分裂”中最小的数是 211 ，则 m? . 二 .选择题（本大题满分 20 分
5、）本大题共有 4 题， 每题只有一个正确答案 .考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 15 已知 , , ,ABCD 是空间四点，命题甲： , , ,ABCD 四点不共面，命题乙：直线 AC 和 BD不相交，则甲是乙成立的 答 ( ) （ A）充分不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必 要条件 16 (文 )若向量 ,mn满足 1mn?， m 与 n 的夹角为 060 ，则 m m m n? ? ? ? 答 （ ） （ A） 12 （ B） 32 （ C） 2 （ D） 31 2? 17 (文 )已知函数 (
6、 ) | arctan |f x x? ，若存在 12, , x x a b? ，且 12xx? ，使 12( ) ( )f x f x? 成立，则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是 答 （ ） （ A） 0a? （ B） 0a? （ C） 0b? （ D） 0b? 18 （文）数列 ?na 满足 121aa?，12 2c o s ( )3n n n na a a n N? ? ? ? ?，若数列 ?na 的前n 项和为 nS ，则 2013S 的值为 答 ( ) （ A） 2013 （ B） 671 （ C） 671? （ D） 6712? 三 . 解答题（本大题满分 74 分）本大题共
7、有 5 题，解答下列各题必须 在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 19. （本题满分 12 分） 本题共有 2 个小题， .第 (1)小题满分 6 分，第 (2)小题满分 6 分 已知函数 2 s i n 3 ( s i n c o s )() s i n c o s c o sx x xfx x x x? ? ； (1)求函数 ()fx的最小正周期； (2)求函数 ()2y f x ?， 0 2x ? ， 的值域 . 解： - 3 - x y F Q A B l O 20.（文）（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题， .第 (1)小题满分 7 分，第 (2)小题满分 7 分
8、已知椭圆 E 的方程 为 22143xy?，右焦点为 F ，直线 l 的倾斜角为 4? ，直线 l 与圆 223xy?相切于点 Q ，且 Q 在 y 轴的右侧，设直线 l 交 椭圆 E 于两个不同点 ,AB. （ 1）求 直线 l 的方程 ； （ 2） 求 ABF? 的面积 . 解： 21.（文）（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题， .第 (1)小题满分 7 分，第 (2)小题满分 7 分 科学研究表明：一般情况下，在一节 40 分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析，得出学生的注意力指数 y 随时间
9、 x （分钟）的变化规律为： 22 6 8 , 0 8() 1 ( 3 2 4 8 0 ) , 8 4 08xxy f x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 1）如果学生的注意力指数不低于 80，称为“理想听课状态”，则在一节 40 分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到 1 分钟） （ 2）现有一道数学压轴题，教师必须 持续 讲解 24 分钟，为了使效果更好，要求 学生的注意力指数在这 24 分钟内的 最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到 1 分钟） 解： 22.（文） （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 (1)
10、小题满分 4 分，第 (2)小题满分 6 分 ，第 (3)小题满分 6 分 已知函数 1( ) lo g (0 1 )1a xf x ax? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的定义域 D ，并判断 ()fx的奇偶性； （ 2）用定义证明函数 ()fx在 D 上是增函数； （ 3）如果当 (, )x t a? 时，函数 ()fx的值域是 ? ?,1? ，求 a 与 t 的值 . - 4 - 解： 23.（文） （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分， 第 2 小题满分 5 分，第3 小题满 分 8 分 设数列 na 的各项均为正数，前 n 项和为 nS ，已知 2
11、*4 2 1( )n n nS a a n N? ? ? ? (1)证明 数列 na 是等差数列，并求 其通项公式 ； (2)是否存在 *kN? ，使得2 2 2048kkSa?，若存在，求出 k 的值；若不存在请说明理由； (3)证明：对任意 * 2m k p N m p k? ? ?、 、 ， ， 都有 1 1 2m p kS S S? 解： - 5 - 参考答案 一 、（第 1 题至第 14 题） 1 22i? ； 2 ( 1,1)? ； 3 3 ； 4 2? ； 5 2 ； 6 20 ； 7 文 1r? ； 8 5 ； 9 文 200 ； 10 24 ； 11 文1a? 或 3a? ；
12、 12 文 13 ； 13 文 5 ； 14 文 15 二、（第 15 题至第 18 题） 15 A； 16 B； 17 A； 18 D 三、（第 19 题至第 23 题） 19. 解 (1) 2 s i n 3 ( s i n c o s )( ) s i n 2 3 c o s 2 2 s i n ( 2 )s i n c o s c o s3x x xf x x x xx x x ? ? ? ? ? 3 分 所以函数 ()fx的最小正周期为 ? ? 3 分 (2) 2( ) 2 s i n 2 ( ) 2 s i n ( 2 )2 2 3 3y f x x x? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ? ? 2 分 0 2x ? ， ， 2223 3 3x? ? ? ? ? ?， 231 s in ( 2 )32x ? ? ? ? ? 2 分 2 3y?， . ? 2 分 另解： ( ) 2 s i n 2 ( ) 2 s i n ( 2 ) 2 s i n ( 2 )2 2 3 3 3y f x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 分 0 2x ? ， ， 423 3 3x? ? ? ? ? ， 3 sin (2 ) 123x ? ? ? ? ? 2 分 2 2 s in ( 2 ) 33x ? ? ? ? ?，即 2 3y?， . ?
14、? 2 分 20. 解 （理） （ 1）由于 学生的注意力指数不低于 80，即 80y? 当 08x?时，由 2 68 80x?得 68x?； ? 2 分 当 8 40x? 时，由 21 ( 3 2 4 8 0 ) 8 08 xx? ? ? ?得 8 16 4 6x? ? ? ； ? 2 分 所以 6,16 4 6x ?， 1 6 4 6 6 1 0 4 6 2 0? ? ? ? ? 故 学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟 . ? 3 分 （ 2）设 教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题，由于 10 4 6 24? 所以 ? ?0,6t? ? ? 2 分 要 学生的注意力指数
15、最低值达到最大，只需 ( ) ( 24)f t f t? 即 212 6 8 ( 2 4 ) 3 2 ( 2 4 ) 4 8 0 8t t t? ? ? ? ? ? ? ? 2 分 解得 8 6 16 4t ? ? ? ? 2 分 - 6 - 所以，教师 上课后 从第 4 分钟 开始讲解这道题，能使学生的注意力指数最低值达到最大 . ? ? 1 分 （文） （ 1）设直线 l 的方程为 y x m? ， 则有 |32m ?，得 6m? ? 3 分 又切点 Q 在 y 轴的右侧，所以 6m? ， ? 2 分 所以直线 l 的方程 为 6yx? ? 2 分 （ 2） 设 1 1 2 2( , ),
16、 ( , )A x y B x y 由 226143yxxy? ? ?得 27 8 6 12 0xx? ? ? ? 2 分 1 2 1 28 6 1 2,77x x x x? ? ?21 2 1 2 1 2 46| | 1 1 | | 2 ( ) 4 7A B x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 2 分 又 (1,0)F ，所以 F 到直线 l 的距离 | 1 6 | 1 ( 2 3 2 )22d ? ? ? 2 分 所以 ABF? 的面积为 12| | ( 3 2 2 3 )27A B d ? ? 1 分 21. 解 （理） （ 1）设直线 l 的方程为 y x m? ， 则有 |32m ?，得 6m? ? 3 分 又切点 Q 在 y 轴的右侧，所以 6m? ， ? 2 分 所以直线 l 的方程 为 6yx? ? 2 分 （ 2） 因为 AOQ? 为直角三角形，所以 2 2 2 211| | 3A Q O A O Q x y? ? ? ? ? 又 2211143xy?得11|2AQ x? ?
