1、 - 1 - 2018高考高三数学 1 月月考试题 01 满分 150分。考试时间 120 分钟。 第 I卷（选择题，共 50分） 一、选择题 （ 本大题 共 10 个小题，每小题 5分，共 50分 每小题只有一项符合要求 ） 1设复数 z 满足 (1 ) 6 2z i i? ? ? ? ,则 复数 z 的共轭复数是（ ） . A 24i? B. 24i? C 44i? D.44i? 2.已知 0tancos ? ? ，那么角 ? 是（ ） A第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 3.已知： b 为单位向量， 63a? ，且 9ab? ， 则 a 与
2、 b 的夹角是 （ ） A 030 B. 060 C 0120 D. 0150 4. 0,ab? 下列不等式中正确的是（ ） A 22ba? B. 11ab? C 1ba? D. ab? ? ? 5.下列命题中，真命题是（ ） A 00 ,0xx R e? ? ? B. 1, 1ab?是 1ab? 的充要条件 C ? ? ? ?2 4 0 1 0 ( 2 , 1 )x x x x? ? ? ? ? ? D. 命题 2,2xx R x? ? ? 的否定是真命题。 6.已知 变量 ,xy满足约束条件 22220, 0xyxyxy?则 5z x y? 的最 小 值为 （ ） A 1 B. 2 C 4
3、 D. 10 7.下图给出 4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ） A. 13yx? 2yx? 12yx? 1yx? - 2 - B. 3yx? 2yx? 12yx? 1yx? C. 2yx? 3yx? 12yx? 1yx? D. 13yx? 12yx? 2yx? 1yx? 8.已知直线 01)2(:,02)2(: 21 ? ayxalyaxl ，则“ 1?a ”是“ 21 ll ? 的（ ） A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充 要 条件 D.既不充分也不必要条件 9.设双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ? 的右焦点为 F ，右准线 l 与两条渐近线
4、交于 ,PQ两点，如果 PQF? 是等边三角形，则双曲线的离心率 e 的值为（ ） A 12 B. 32 C 2 D. 3 10.规定记号“ ”表示一种运算，即： 222a b a ab b? ? ?，设函数 ( ) 2f x x? 。且关于 x 的方程为 ( ) lg 2 ( 2 )f x x x? ? ? ? 恰有四个互不相等的实数根 1 2 3 4, , ,x x x x ， 则 1 2 3 4x x x x? ? ? 的值是（ ）。 A 4? B. 4 C 8 D. 8? 第卷 (非选择题，共 100分 ) 二、填空题 （ 本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 。） 11.已知
5、抛物线 214yx? ，则它的焦点坐标为 . 12.已知函数 3lo g , 0()2 , 0x xxfx x ? ? ?，则 1( ( )9ff ? . 13.二次函数 2( ) 1f x x? ? 的图象与 x 轴所围 成的封闭 图形的面积为 . 14.已知数列 ?na 满足 1 2a? ，1 1 ,*nn naa n Na? ?，则数列 ?na 的前 2013 项的和 2013S ? . - 3 - 15已知函数 )(xf 的定义域为 2, ),? ? 部分对应值如下表， ()fx? 为 )(xf 的导函数，函数()y f x? 的图象如右图所示： 若两 正数 ,ab满足 (2 ) 1f
6、 a b?，则 33ba? 的取值范围是 . 三解答题（本大题共 6 小题，共 75分，解答时写出 必要的文字说明、演算步骤、推理过程） 16.(本题满分 13 分 ) 已知函数 2( ) s i n ( 2 ) 2 c o s6f x x x? ? ? （）求函数 )(xf 的最小正周期； （） , 63x ? ，求函数 )(xf 的最大值及相应的自变量 x的取值 . 17.(本题满分 13 分 )已知 C 与两平行直线 0 4 0x y x y? ? ? ? ?及 都相切，且圆心 C 在 直线 0xy?上， （）求 C 的方程； （）斜率为 2 的直线 l 与 C 相交于 ,AB 两点，
7、O 为坐标原点且满足 OA OB? ，求直线 l 的方程。 18.(本题满分 13 分 ) 在 锐角 ABC 中，内角 A B C， ， 对边的边长分别是 a b c， ， ， x -2 0 4 )(xf 1 -1 1 - 4 - 且 3 2 sina c A? （）求 C? （）若 2c? ， a b ab? ，求 ABC的面积 19.（本题 满分 12分 ） 已知函数 2( ) 6 4 l n ( 0 )f x x x x a x? ? ? ? ? （ ）求函数的单调区间； （） a为何值时，方程 ( ) 0fx? 有三个不同的实根 20.(本题满分 12 分 )如图，在平面直坐标系 xO
8、y 中， 已知 椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?，经过 点 (1,)e ，其中 e为椭圆的离心率 且椭圆 C 与直线 3yx? 有且只有一个交点。 （ ）求椭圆 C 的方程； （）设不经过原点的直线 l 与椭圆 C 相交与 A， B 两点，第一象限内的点 (1, )Pm在 椭圆上，直线 OP 平分线段 AB ，求：当 PAB? 的面积取得最大值时直线 l 的方程。 21. (本题满分 12分 )设数列 ?na 的 前 n 项 和为 nS ，满足 11 2 1 , ( )nnnS a n N? ? ? ?， 且 1 1a? 。 （ ） 求 23,aa 的值； （ ） 求
9、数列 ?na 的通项公式； （ ） 设数列 ?nb 的前 n 项和为 nT ，且 1112nnnab a ? ? ，证明：对一切正整数 n ， 都有： 3124nn T n? ? ? ?B A P y xo- 5 - 参考答案 一、选择题： 1 B 2 C 3 D 4 A 5 D 6 B 7 B 8 A 9 C 10 D 二、填空题： 11 (0,1) 12 14 13 43 14 20132 15 37( , )53 三、解答题 16 解： （ 1） 31( ) s i n 2 c o s 2 (1 c o s ) 22f x x x x? ? ? ? 2分 33s i n 2 c o s
10、2 1 3 s i n ( 2 ) 12 2 3x x x ? ? ? ? ? ?， ? 4 分 函数 )(xf 的最小正周期 ?T ? 6 分 （ 2）由 63x? ? ? ，得 2 23 3 3x? ? ? ? ? ? ? 10 分 由图像知当 2 33x ?即 3x ? 时 ，有m a x 313122y ? ? ? ? 13 分 17解：（ 1）由题意知 C 的直径为两平行线 0 4 0x y x y? ? ? ? ?及 之间的距离 0 ( 4 )2 2 22dR ? ? ?解得 2R? ， ? 3分 由圆心 C 到 0xy?的距离 2 22a R?得 1a? ，检验得 1a? ? 6
11、分 C 的方程为 22( 1) ( 1) 2xy? ? ? ? 7分 （ 2）由（ 1）知 C 过原点，若 OA OB? ，则 l 经过圆心， ? 9分 易得 l 方程： 2 3 0xy? ? ? ? 13 分 （注：其它解法请参照给分 .） 18解：（ 1）由正弦定理有 3 sin 2 sin sinA A C? 即 3sin 2C? 又 在 锐角 ABC 中 故 C? =3? ? 6分 （ 2） 由余弦定理及已知条件得， 22 4a b ab? ? ? ? 由 a b ab? 平方可得， 2 2 2( ) 2a b ab ab? ? ? 联立 可得 4ab? ， 1 s in 32ABC
12、ab C?S? 13 分 19解：（） 4 2 ( 1 ) ( 2 )( ) 2 6 ( 0 )xxf x x xxx ? ? ? ? ? ? - 6 - 由 ( ) 00fxx? ? ?得 0 1 2xx? ? ?或 由 ( ) 00fxx? ? ?得 12x? ()fx在 (0,1) (2, )?和 单调递增 ； ()fx在 (1,2) 单调递 减 ? 6分 （）由 （）知 (1) 5y f a? ? ?极 大 ， ( 2 ) 4 ln 2 8y f a? ? ? ?极 大 ? 8分 ( ) 0fx? 有三个不同的实根，则 504 ln 2 8 0a a? ? ? ? 解得 5 8 4ln
13、 2a? ? ? ? 11 分 当 5 8 4ln 2a? ? ? 时 ( ) 0fx? 有三个不同的实根 ? 12 分 20 解： （） 椭圆经过点 (1,)e ， 2221 1eab?又 ce a? ， 22 2 21 1ca a b?， 2 1b? 椭圆的方程为 2 22 1x ya ? 2分 又 椭圆 C 与直线 3yx? 有且只有一个交点 方程 2 22 ( 3) 1x xa ? ? ?即 2 2 2 2(1 ) 2 3 2 0a x a x a? ? ? ?有相等实根 2 2 2 2( 2 3 ) 4 (1 ) 2 0a a a? ? ? ? ? ? 2 2a? 椭圆的方程为 2
14、2 12x y? 5分 （）由 （）知椭圆的方程为 2 2 12x y? 故 2(1, )2P 设不经过原点的直线 l 的方程 ( 0)y kx t t? ? ? 交椭圆 C 于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 由 2 2 12x yy kx t? ? ?得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t? ? ? ? ? ? 6分 ? 7分 2 2 2 22212 212 2( 4 ) 4 ( 1 2 ) ( 2412222 ) 1 6 81280ktxk t kxktxt k txk? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 22( ) 2
15、12 ty y k x x t k? ? ? ? ? ?- 7 - 直线 OP 方程为 22yx? 且 OP 平分线段 AB 2212tk?= 222412ktk? ?解得 22k? ? 8分 2 2 2 21 2 1 21 ( ) 4 ( 1 ) ( 4 2 )A B k x x x x k t? ? ? ? ? ? ? ? 又 点 P 到直线 l 的距离221tkdh? ? 2211 ( 2 ) ( 4 2 )22PABS A B h t t? ? ? ? ? 9分 设 2 2 4 3( ) ( 2 ) ( 4 2 ) 2 4 2 8 2 8 f t t t t t t? ? ? ? ?
16、? ? ? 由直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B两点可得 22t? ? ? 求导可得 22t? ( ) ( 2 , 2 )ft ?时 在 272上 有 最 大 值 ，此时 PABS? 取得最大值 此时直线 l 的方程 22yx? ? ? ? 12 分 20 解： （） 1112 1 , ( ) 1nnnS a n N a? ? ? ? ? 21221Sa? ? ? 2 4a? 32321Sa? ? ? 3 12a? ? 4分 （）由1112 1 , ( 1 )2 1 , ( 2 ) nnnnnnS a nS a n? ? ? ? ? ? ? ?得 1 2 2 ( 2 ) nnna a n?
17、 ? ? ? 检验知 1 1a? ， 2 4a? 满足 1 2 2 ( 2 ) nnna a n? ? ? ? 1 2 2 ( 1) nnna a n? ? ? ? 变形可得 11 1( 1) 22nnaa n? ? ? ?数列12nna?是以 1为首项， 1为公差的等差 解得 12 ( 1) nna n n? ? ? 7分 - 8 - （ ） 由（）知 12 ( 1) nna n n? ? ? 代入得 1112nnnab a ? ? = ( 1 ) 2 1 31( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2 2nnnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 1 2 12 ( 1) 2 2 2n n nn? ? ? ? ? 1 2 13 3 31 1 12 ( 1 ) 2 2 2n n nn? ? ? ? ? ? ?1 2 1331122nnnb? ? ? ?2 3 1 3 5 2 13 3 3 3 3 3( ) ( )2 2 2 2 2 2nnnn T n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即1111 1 ( ) 1 ( ) 8442331124nnnn T n? ? ? ?
