1、 1 2017年秋季期高三 10月月考 理科数学试题 第 I 卷 (选择题，共 60分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A x 2x x 0， B x a 1 x a，若 A B只有一个元素，则 a A 0 B 1 C 2 D 1或 2 2设复数 z满足 iz 2 i 2i，则 z A 3 B 10 C 9 D 10 3. 已知 为第二象限角， ，则 （ ） A B C D 4. 若向量 、 满足 ， ，则向量 与 的夹角等于 （ ） A B C D 5. 已知数列 a n 中， ， ，则
2、 2018a等于（ ） A 1 B -1 C D -2 6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，则 的最小正周期是（ ） A 6 B 5 C 4 D 2 7. 若“ ”是“不等式 成立”的必要而不充分条件，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 8. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为 （ ） A 2 B C 1 D 2 9. 已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则 的大小关系是 （ ） A B C D 10. 由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为（ ） A B 4 C D 6 11. 在锐角三角形 中， ，则 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B（ ， ） C（ ， 5） D（ ，
3、 5） 12. 已知 ?fx是函数 ?fx的导函数，且对任意的实数 x 都有? ? ? ? ? ? 2 3 (xf x e x f x e? ? ?是自然对数的底数）， ? ?01f ? ，若不等式 ? ? 0f x k?的解集中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围是（ ） A 1,0e? ?B21,0e?C.21,0e? ?D21,0e?二、填空题（本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分） 13. 在 ABC中，若 A 60 ， B 45 ， a 3 2，则 b . 14 若 (1 2ai)i 1 bi，其中 a， b R， i是虚数单位，则 |a bi| _. 15在 ABC 中，
4、 sinA ： sinB ： sinC 2 ： 3 ： 4，则 ABC 中最大边所对角的余弦值为_ 16.已知函数 f(x) (m 2)x2 (m2 4)x m是偶函数，函数 g(x) x3 2x2 mx 5在 ( ， ) 内单调递减，则实数 m等于 _ 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 12 分 )2017 年 3 月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型 (“小绿车”、 “小黄车” )采用分时段计费的方式，“小绿车”每 30 分钟收费 0.5元 (不足 30 分钟的部分按 30分钟计算 )；“小黄车”每 30分钟收
5、费 1元 (不足 30分钟的部分按 30分钟计算 )有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行 (各租一车一次 )设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 321,432，三人租车时间都不会超过 60 分钟 .甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车” 3 (I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费 用的概率； ( )设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量 ? ，求 ? 的分布列和数学期望 18.(本小题满分 12分 ) 如图，在四棱锥 ABCDP? 中， PA? 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， 2?AB ， ? 60BAD （）求证： BD? PC ； （）若 ABPA
6、? ，求二面角 A PD B?的余弦值 . 19. (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)=2cos2x+2 错误 !未找到引用源。 sin xcos x+a,且当x 错误 !未找到引用源。 时 ,f(x)的最小值为 2. (1)求 a的值 ,并求 f(x)的单调递增区间 ; (2)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变 ,横坐标缩小到原来的 错误 !未找到引用源。 ,再将所得图象向右平移 错误 !未找到引用源。 个单位 ,得到函数 y=g(x)的图象 ,求方程 g(x)=4在区间 错误 !未找到引用源。 上所有根之和 . 20. (本小题满分 12分 )设函数 错误 !未找到引用
7、源。 ， 错误 !未找到引用源。 ，已知曲线 错误 !未找到引用源。 在点 错误 !未找到引用源。 处的切线与直线 错误 !未找到引用源。 垂直 . （ 1）求 错误 !未找到引用源。 的值； （ 2）若对任意 错误 !未找到引用源。 ，都 有 错误 !未找到引用源。 ，求 错误 !未找到引用源。的取值范围 . 21. (本小题满分 12分 )已知函数 ( ) ( 2) xf x x e? （ 1）求函数 ()fx的单调递增区间； （ 2）若 2( ) ( ) 2 xg x f x e ax? ? ?， ()hx x? ，且对于任意的 1x ， 2 (0, )x ? ? ，都有? ? ?1 1
8、 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0g x h x g x h x? ? ?成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第 22 23 题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 (本小题满分 10分 )选修 4 4：坐标系与参数方程。 P A B D C 4 在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线 1:C cos ()sinxy ? ? ? 为 参 数，以平面直角坐标系 xOy的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极 坐标系，已知直线: (2 sin ) 6l cos? ? ? （ 1）将曲线 1C 上的所有 点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2
9、倍后得到曲线 2C试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 2C 的参数方程； （ 2）在曲线 2C 上 求一点 P，使点 P到直线 l 的距离最大，并 求出此最大值 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | 2 | 1 |f x x x? ? ? ?的最大值为 k . （ 1）求 k 的值； （ 2）若 ,abc R? ， 22 22ac bk? ?，求 ()ba c? 的最大值 . 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题： 1-6 ： C A A D C A； 7-12 ： A D D A B A 13.【 答案】 2 3. 14 【答案】 5
10、2 【解析】 由 (1 2ai)i 1 bi得 2a i 1 bi? 2a 1 b 1 ? a 12b 1 |a bi| a2 b2 52 15. 1/4 16.答案 2 解析 f(x) (m 2)x2 (m2 4)x m 是偶函数， m2 4 0， m 2. g(x)在 ( ， ) 内单调递减， g( x) 3x2 4x m0 恒成立， 则 16 12m0 ，解得 m 43， m 2. 三 、解答题 17（本小题满分 12分） 解： (I)由题意得，甲乙丙在 30 分钟以上且不超过 60分钟还车的概率分别为.213141 ，5 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件 A. 则 24
11、7213141213243)( ?AP 答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概 率为247 .4分 ( )? 可能取值有 2, 2.5， 3, 3.5， 4 41213243)2( ?P ； 245213241213143)5.2( ?P ； 247213141213243)3( ?P ； 245213241213143)5.3( ?P 241213141)4( ?P .9分 甲、乙、丙三人所付的租车费用之和 ? 的分布列为 .11分 所以 246724142455.324732455.2412 ?E .12分 18.(本小题满分 12分 ) 解：（）证明：因为四边形 ABCD 是菱
12、形，所以 AC BD? . 又因为 PA? 平面 ABCD ,所以 PA? BD . 又 PA AC A?,所以 BD 平面 PAC . 又 PC? 平面 PAC ，所以 BD PC? ? 6分 （）解：依题意 ,知 平面 PAD? 平面 ABCD ，交线为 AD ， 过点 B 作 BM AD? ，垂足为 M ，则 BM? 平面 PAD . 在平面 PAD 内过 M 作 MN PD? ，垂足为 N ，连 BN , P A B D C M N 6 则 PD 平面 BMN ，所以 BNM? 为二面角 A PD B? 的一个平面角 . ? 9分 AB AD? ， ? 60BAD , 3 32BM A
13、B?, 1DM? . ? 10分 又 ABPA? ，故 22MN?. 所以 142BN?. ? 11分 272co s7142MNB N MBN? ? ? ?. 即二面角 A PD B?的余弦值为 77. ? 12 分 19.解 (1)f(x)=2cos2x+2 sin xcos x+a=cos 2x+1+ sin 2x+a=2sin +a+1, x , 2x+ , f(x)的最小值为 -1+a+1=2,解得 a=2, f(x)=2sin +3. ? 4分 由 2k - 2 x+ 2 k + ,k Z,可得 k - x k + ,k Z, f(x)的单调递增区间为 (k Z). ? 6分 (2
14、)由函数图象变换可得 g(x)=2sin +3, ? 8分 由 g(x)=4可得 sin , 4x- =2k + 或 4x- =2k + (k Z), 解得 x= 或 x= (k Z), ? 10分 7 x , x= 或 x= , 所有根之和为 . ? 12分 20. 试题解析：（ 1）曲线 在点 处的切线斜率为 2，所以 ， 又 ，即 ，所以 . ? 4分 （ 2） 的定义域为 ， ， ? 6分 若 ，则 ，故当 时， ， 在 上单调递增 . 所以，对任意 ，都有 的充要条件为 ，即 ， 解得 或 .? 8分 若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增 . 所以，对任意 ，都有 的充要条件为 ， 而 在 上恒成立， 所以 .? 10分 若 ， 在 上递减，不合题意 . ? 11分 综上， 的取值范围是 . ? 12分 8 21.解：（ 1）依题意， ( ) ( 2 ) ( 1 )x x xf x e x e x e? ? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ，解得 1x? ，故函数 ()fx的单调递增区间为 (1, )? ? 4 分 （ 2）当 11( ) ( ) 0g x h x?，对任意的 2 (0, )x ? ? ，都有 22( ) ( ) 0g x h x?； 当 1
