1、 1 广西钦州市高新区 2016-2017 学年高 三年级上学期 12月份考试 理 科 数 学 试 题 (时间： 120分钟 满分： 150分 ) 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 0,1,2A? ， 1, Bm? ，若 A B B? ，则实数 m 的值是（ ） A 0 B 0或 2 C 2 D 0或 1或 2 2已知命题 p ：“存在 ? ?0 1,x ? ? ，使得 02(log 3) 1x ? ”，则下列说法正确的是（ ） A p 是假命题； p? ：“任意 1, )x? ? ，都有 02(log 3) 1x ? ” B p 是真命题； p? ：“不
2、存在 0 1, )x ? ? ，使得 02(log 3) 1x ? ” C p 是真命题； p? ：“任意 1, )x? ? ，都有 02(log 3) 1x ? ” D p 是假命题； p? ：“任意 0 ( ,1)x ? ，都有 02(log 3) 1x ? ” 3定义运算 ,ab ad bccd?，若21, 2,z ii? ，则复数 z 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4.已知公差不为 0的等差数列 ?na 满足 1 3 4,a a a 成等比数列， nS 为数列 ?na 的前 n 项和，则 3253SSSS?的值为 ( ) A. 2? B. 3? C.
3、2 D.3 5.“ 2,0x x aR? ? ? ?” 的 否 定形式 是 ( ) A 2,0x x aR? ? ? ? B 2,0x x aR? ? ? ? C 2,0x x aR? ? ? ? D 2,0x x aR? ? ? ? 6.已知函数 ? ? ? ?220162 0 1 6 l o g 1 2 0 1 6xxf x x x ? ? ? ? ?，则关于 x 的不等式 ? ? ? ?3 1 0f x f x? ?的解集为 ( ) 2 A 1,4? ?B 1,4?C ? ?0,? D ? ?,0? 7设变量 x， y满足约束条件 ，则 z= 2x+y的最小值为（ ） A 7 B 6 C
4、 1 D 2 8下列函数中在 上为减函数的是（ ） A y= tanx B C y=sin2x+cos2x D y=2cos2x 1 9已知数列 na 是等差数列， 1 tan225a ? ， 5113aa? ，设 nS 为数列 ( 1) n na? 的前 n 项和，则 2015S ?（ ） A 2015 B 2015? C 3024 D 3022? 10如图，焦点在 x 轴上的椭圆 222 13xya ?（ 0a? ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 2FP与 y 轴的正半轴交于 A 点， 1APF? 的内切圆在边 1PF 上的切点为 Q ，若
5、 1| | 4FQ? ，则该椭圆的离 心率为（ ） A 14 B 12 C 74 D 134 11 N 为圆 221xy?上的一个动点，平面内动点 00( , )M x y 满足 0 1y ? 且 030OMN? (O 为坐标原点 )，则动点 M 运动的区 域面积为（ ） A.8 233? B.4 33? C.2 33? D.4 33? 12 设函数 ? ? ? ? ? ?21 1 l n 3 1f x x g x a x x? ? ? ? ? ?，若对任意 1 0 )x ? ?， ，都存在 2x?R ，使得3 ? ? ? ?12f x g x? ，则实数 a 的最大值为（ ） A 94B 2
6、 C.92D 4 二 填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分） 13.过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ，且两两夹角都为 ?60 ，若球半径为 R ， 则 弦 AB 的 长度 为 _.（用 R 表示） 14.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如右图，在区 域( , ) | 0, 0x y x y?内植树，第一颗树在点 1(0,1)A ，第二颗树在点1(1,1)B ，第三颗树在点 1(1,0)C ，第四颗树在点 2(2,0)C ，接着按图中箭头方向每隔一个单位 种一颗树，那么 （ 1）第 n 颗树所在点的坐 标是 (10,10) ，
7、则 n? _; （ 2）第 2016 颗树所在点的坐标是 _ 15已知关于 x 的不等式 ln 1 0x ax? ? ? 有且只有一个整数解，则实数 a 的取值范围是 _ 16.已知等边三角形 ABC 的边长为 43， ,DE分别 ,ABAC 为的中点，沿 DE 将 ABC? 折成直二面角，则四棱锥 A DECB? 的外接球的 表面积为 _. 三解答题： (本大题共 6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共 70分 ) 17已知函数 ( ) s i n ( 4 ) c o s ( 4 )44f x x x? ? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的最大值； （ 2）若直线 xm? 是函数 (
8、)fx的对称轴，求实数 m 的值 . 18.已知数列 ?na 满足对任意的 *n?N ，都有 0na? ，且 ? ? 23 3 31 2 1 2nna a a a a a? ? ? ? ? ? ? （ 1）求 1a ， 2a 的值； （ 2）求数列 ?na 的通项公式 na ； （ 3）设数列21nnaa?的前 n 项和为 nS ，不等式 ? ?1 log 13naSa?对任意的正整数 n 恒成立，求C2 C1 B1 x y A1 O 4 实数 a 的取值范围 19.（本小 题满分 12分） 已知数列 na 的首项11 22 , , 1 , 2 , 3 , . . . . . .31 nn n
9、 aa a na? ? ?. （ 1）证明：数列 1 1na ?是等比数列； （ 2）求数列 nna 的前 n项和 nS 19. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S ABCD 的底面是正方形， SD? 平面 ABCD， SD=2a，2AD a? 点 E是 SD上的点，且 (0 2)D E a? ? ? （）求证：对任意的 (0,2? ，都有 AC BE? （）设二面角 C AE D的大小为 ? ，直线 BE与平面 ABCD所成的角为 ? ，若 tan tan 1?g ，求 ? 的值 . 21. （本小题满分 12 分） 设函数 ? ? 1 xf x e? . ( )证明 :当 x -1
10、 时 , ? ? 1xfx x? ? ; ( )设当 0x? 时 , ? ? 1xfx ax? ? ,求 a的取值范围 . 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22在直 角坐标系中，圆 1C ： 22xy? 经过伸缩变换 32xxyy? ?后得到曲线 2C 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度， 建立极坐标系，直线的极坐标方程为? 10sin2cos ? （ 1）求曲线 2C 的直角坐标方程及直线的直角坐标方程； 5 （ 2）在 2C 上求一点 M ，使点 M 到直线的距离最小，并求出最小距离 23已知函数 ? ?
11、axxf ? （） 若 ? ? mxf ? 的解集为 ? ?5,1? ，求实数 ma, 的值； （） 当 2?a 且 20 ?t 时 ，解关于 x 的不等式 ? ? ? ?2? xftxf 6 参考答案 1 B2.C3.B 4.C5.C 6.A7. A 8.B 9.D10.D11.A12.A 13. Ra 362? 14. （ 1） 110；（ 2） (8,44) 15、 1 ln2 ,1)2? 16、 52? 17（ 1）最大值是 2；（ 2） 4 16km ?()k?Z 18（ ）证明见解析；（） 120? 19. （ 1） 1 2 1nn naa a? ? ?， ? 111 1 1 12
12、 2 2nn n naa a a? ? ? ?， 11 11 ( 1)2nnaa? ? ? ?， 又1 23a?， ?1111 2a ? ， 数列 1 1na ?是以为 12 首项， 12 为公比的等比数列 （ 2）由（ ） 知111 1 1 11 2 2 2nnna ? ? ? ? ?，即 1112nna ?， ?2nnnnna ? 设231 2 32 2 2nT ? ? ? ? 2nn， 则231 1 22 2 2nT ? ? ?1122nn?， 由 ? 得21 1 12 2 2nT ? ? ?1 1 111( 1 )1122 112 2 2 2 212nn n n n nn n n? ?
13、 ? ? ? ? ? ? ?， ? 112 22n nnnT ? ? ? 7 ? 又 1 2 3? ? ? ? ( 1)2nnn ? 数列 nna 的前 n 项和 22 ( 1) 4 22 2 2 2 2n nnn n n n n nS ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20. （）证法 1：如图 1，连接 BE、 BD，由地面 ABCD 是正方形可得 AC BD。 SD平面 ABCD， ?BD是 BE在平面 ABCD上的射影， ?AC BE （）解法 1：如图 1，由 SD平面 ABCD知， DBE= ? , SD平面 ABCD， CD? 平面 ABCD, ?SD CD。 又底面 ABCD
14、是正方形， ? CD AD，而 SD? AD=D， CD平面 SAD. 连接 AE、 CE，过点 D 在平面 SAD内作 DE AE于 F，连接 CF，则 CF AE， 故 CDF是二面角 C-AE-D的平面角，即 CDF=? 。 在 Rt BDE中， BD=2a， DE= a? tan 2DEBD ? ? ? 在 Rt ADE中 , 22 , , 2A D a D E a A E a? ? ? ? ? 从而22 2A D D E aDF AE ? ? 在 Rt CDF? 中， 2 2ta n CDDF ? ?. 由 tan tan 1?，得 2 222 . 1 2 2 22? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ?. 由 (0,2? ，解得 2? ，即为所求 . 8 证法 2：以 D为原点， ,DA DC DS 的方向 分别作为 x， y， z轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系，则 D（ 0， 0， 0）， A（ 2 ， 0， 0）， B（ 2a ， 2a ， 0）， C（ 0， 2a ， 0）， E（ 0， 0 a? ）， ? ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 2 , )A C a a B E a a a? ? ? ? ? ? 222 2 0 0A C B E a a a? ? ? ? ? ?， 即 AC BE? 。 （ I） 解法 2： 由（ I）得 ( 2 ,
16、 0 , ) , ( 0 , 2 , ) , ( 2 , 2 , )E A a a E C a a B E a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?设平面 ACE 的法向量为 n=(x， y， z)，则由 n EA EC?， n 得 0 , 2 x z 0 , z 2 n ( , , 2 )0, 2 y z 0 ,n E An E C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 取 ， 得。 易知平面 ABCD与平面 ADE的一个法向量分别为 ( 0 , 0 , 2 ) D C aD S a?与 （ 0 ， 2 , 0 ）. 22s i n , c o s4 2 2D C nD S B ED
17、S B E D C n? ? ? ? ?. 0? ， ,02?， 222t a n t a n s i n c o s 22 4 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 由于 (0,2? ，解得 2? ，即为所求。 21.解： (I)当 1?x 时 , 1)( ? xxxf 当且仅当 .1 xex ? 令 .1)(.1)( ? xx exgxexg 则 当 0)(0 ? xgx 时 , ? ?,0)( 在xg 是增函数 ; 当 ? ?0,)(,0)(0 ? 在时 xgxgx 是减函数 . 于是 )(xg 在 x=0处达到最小值 ,因而当 Rx? 时 , .1),0()( xegxg x ? 即 9 所以当 .1)(,1 ? x xxfx 时 、 (II)由题设 .0)(,0 ? xfx 此时 当 1)(,01,1,0 ? ax xxfax xaxa 则若时 不成立 ; 当 0 , ( ) ( ) ( ) ,a h x a x f x f x x? ? ? ?时 令 则 1)( ? axxxf 当且令当 .0)( ?xh ).()()( 1)()()()( xfaxxa x fxaf xfxafxafxh ? ?(i)当 210 ?a 时 ,由 (I)知 ),()1( xfx
