1、 - 1 - 河北省景县 2018 届高三数学 10 月月考试题 理 第 I 卷（选择题） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 3 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题 “ 若 ab? ，则 2 2 1ab?” 的否命题为 “ 若 ab? ，则 2 2 1ab?” B. 命题 “ 存在 xR? ，使得 2 10xx? ? ? ” 的否定是： “ 任意 xR? ，都有 2 10xx? ? ? ” C. 若命题 “ 非 p ” 与命题 “ p 或 q
2、 ” 都是真命题，那么命题 q 一定是真命题 D. “ ab? “是 “ 22ac bc? “的充分不必要条件 4 由曲线 yx? 与直线 0x? ， 1y? 所围成封闭图形的面积为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 32 5 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增 .若实数 满足，则 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6 函数 ? ? 2log 2 1xfx ?的图象大致是（ ） A. B. - 2 - C. D. 7 函数 ?fx对任意 xR? ，满足 ? ? ? ?2f x f x?如果方程 ? ? 0fx? 恰有 2016 个实根，则所有这些实根
3、之和为 ( ) A. 0 B. 2016 C. 4032 D. 8064 8 已知平面向量 ? ?1,am? ， ? ?3,1b? 且 ? ?2 /a b b? ，则实数 m 的值为（ ） A. 13 B. 13? C. 23 D. 23? 9 函数 2cos 3sin cosy x x x? 在区间 ,64?上的值域是（ ） A. 1,12?B. 13,22?C. 30,2?D. 310,2?10 将函数 sin6yx?的图象上各点的横坐标变为原来的 12 （纵坐标不变），再往上平移 1 个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ） A. ,36?B. ,22?C. ,33?D.
4、 2,63?11在 中， ， ， ，则（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不对 12 已知函数 ? ? ? ?2ln 2f x a x x a x? ? ? ?恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ? ?1,? ? B. ? ?2,0? C. ? ?1,0? D. ? ?2, 1? - 3 - 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13 直线 12y x b?是曲线 1 ( 0)y nx x?的一条切线，则实数 b? _ 14 已知向量 ,ab满足 ? ?1 , 2 , 1 , 3a b a b? ? ? ?，记向量 ,ab的夹角为 ?
5、，则tan? _ 15 若，则 _. 16 设函数 ?fx在 R 上存在导数 ?fx? ,对任意的 xR? 有 ? ? ? ? 2f x f x x? ? ? ,且在? ?0,? 上 ? ?f x x? ? .若 ? ? ? ?2 2 2f a f a a? ? ? ? ,则实数 a 的取值范围 _ 三、解答题（共 70 分） 17（ 10 分） 设命题 p ：实数 x 满足 224 3 0x ax a? ? ?，其中 0a? ；命题 q ：实数 x 满足3 02xx? ? . （ 1）若 1a? ，且 pq? 为真，求实数 x 的取值范围； （ 2）若 p? 是 q? 的充分不必要条件，求实
6、数 a 的取值范围 . 18（ 12 分） 已知函数（ 1）求的值； （ 2）求的最小正周期及单调递增区间 - 4 - 19（ 12 分） 如图为函数 图像的一部分 . （ 1）求函数 的解析式； （ 2）若将函数 图像向在左平移 的单位后，得到函数 的图像，若，求 x 的取值范围 . 20（ 12 分） 已知锐角 ABC? 中，内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，且 2 coscosa b BcC? ? . （ 1）求角 C 的大小； （ 2）求函数 sin siny A B?的值域 . 21（ 12 分） 已知函数 ? ? ? ?21xf x xe x? ? ?. （
7、 ）当 ? ?1,2x? 时，求 ?fx的最大值与最小值； （ ）讨论方程 ? ? 1f x ax?的实根的个数 . - 5 - 22（ 12 分） 已知函数 ? ? ? ?21 1 ln 12f x x a x a x? ? ? ? ?. （ 1）若 2x? 是 ?fx的极值点，求 ?fx的极大值； （ 2）求实数 a 的范围，使得 ? ? 1fx? 恒成立 . 数学理试卷参考答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 C 6 C 7 B 8 B 9 C 10 A 11 C 12 C 13 121n? 14 15? 15 79? 16 ? ?,1? 17 (1) ? ?2,3 (2) ? ?1
8、,2 解：（ 1）由 224 3 0x ax a? ? ?得 ? ? ?30x a x a? ? ?， 又 0a? ，所以 3a x a? ， 当 1a? 时， 13x?，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 13x?. q 为真时 3 02xx? ? 等价于 ? ? ?20 2 3 0xxx? ? ?，得 23x?， 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 23x?. 若 pq? 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是 ? ?2,3 . （ 2） p? 是 q? 的充分不必要条件，即 pq? ? ，且 pq? ? ，等价于 pq? ，且 pq? ， 设 | 3 A x a x
9、a? ? ?， | 2 3B x x? ? ?，则 BA?； 则 02a?，且 33a? 所以实数 a 的取值范围是 ? ?1,2 . 18 （ 1） ；（ 2） ， （ ） （ 1） （ 2） 所以， 的最小正周期为 ， - 6 - 当 （ ）时， 单调递增， 即 的单调递增区间为 （ ） 19 （ 1） ；（ 2） . (1)由图像可知 ，函数图像过点，则 ，故 (2) ，即，即 20 （ 1） 3C ? ；（ 2） 3, 3 .2y ? ?. （ 1）由 2 coscosa b BcC? ? ，利用正弦定理可得 2 s in c o s s in c o s s in c o sA C
10、B C C B?， 可化为： ? ?2 s in c o s s in s inA C C B A? ? ?， 1s in 0 , c o s , 0 , ,2 2 3A C C C? ? ? ? ? ?. （ 2） s in s in s in s in3y A B A A? ? ? ? ? ?313,2 2 62, 0 , 0 , ,3 2 2 6 223, , 13 6 3 6 23, 3 .2sinA c osA sinA sin AA B A B AA sin Ay? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-
11、 7 - 21 (1) 最小值是 ? ?2ln2 1?,最大值是 229e? ;(2) 1a? 时，方程 ? ? 1f x ax?有 1 个实根； 1a? 时，方程 ? ? 1f x ax?有 3 个实根 . （ ）因为 ? ? ? ?21xf x xe x? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2xxf x x e x x e? ? ? ? ? ? ? ， 令 ? ? 0fx? ? 得 121, ln2xx? ? ， ? ? ? ?,f x f x? 的变化如下表： ?fx在 ? ?1,2? 上的最小值是 ? ?2ln2 1?， 因为 22112 9 0 ,
12、 0 , 2 9eeee? ? ? ? ?， 所以 ?fx在 ? ?1,2? 上的最大值是 229e? . （ ） ? ? ? ? ? ?21 2 2xxf x a x x e x a x x e x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? 10f x ax x? ? ? ?或 20xe x a? ? ? ?， 设 ? ? 2xg x e x a? ? ? ? ?，则 ? ? 1xg x e? ?， 0x? 时， ? ? 0gx? ? ， 0x? 时， ? ? 0gx? ? ， 所以 ?gx在 ? ?0,? 上是增函数，在 ? ?,0? 上是减函数， ? ? ? ?01g x
13、 g a? ? ? ?， 且 ? ? ? ?, , ,x g x x g x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， （ ）当 10a? ? ? 时，即 1a? 时， ? ? 0gx? 没有实根，方程 ? ? 1f x ax?有 1 个实根； （ ）当 10a? ? ? 时，即 1a? 时， ? ? 0gx? 有 1 个实根为零，方程 ? ? 1f x ax?有 1个实根； （ ）当 10a? ? ? 时，即 1a? 时， ? ? 0gx? 有 2 不等于零的实根，方程 ? ? 1f x ax?有3 个实根 . 综上可得， 1a? 时，方程 ? ? 1f x ax?有 1 个实根； 1
14、a? 时，方程 ? ? 1f x ax?有 3个实根 . - 8 - 22 （ 1） ? ? 31 2f ? （ 2） 12a? （ 1） ? ? ? ?1 af x x a x? ? ? ? ? 2x? 是 ?fx的极值点 ? ? ? ?2 2 1 02afa? ? ? ? ? ? 解得 2a? 当 2a? 时， ? ? ? ? ? ?2 122 3 23 xxxxf x x x x x? ? ? ? ? ? 当 x 变化时， x ? ?0,1 1 ? ?1,2 2 ? ?2,? ?fx? ? 0 ? 0 ? ?fx 递增 极大值 递减 极小值 递增 ?fx的极大值为 ? ? 31 2f ?
15、 . （ 2）要使得 ? ? 1fx? 恒成立，即 0x? 时， ? ?21 1 ln 02 x a x a x? ? ? ?恒成立， 设 ? ? ? ?21 1 ln2g x x a x a x? ? ? ?， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?11 x x aag x x a xx? ? ? ? ? （ i）当 0a? 时，由 ? ? 0gx? ? 得函数 ?gx单调减区间为 ? ?0,1 ，由 ? ? 0gx? ? 得函数 ?gx单调增区间为 ? ?1,? ，此时 ? ? ? ?m in 1102g x g a? ? ? ? ?，得 12a? . （ ii）当 01a?时，由 ? ? 0
16、gx? ? 得函数 ?gx单调减区间为 ? ?,1a ，由 ? ? 0gx? ? 得函数?gx单调增区间为 ? ? ? ?0, , 1,a ? ，此时 ? ? 1102ga? ? ? ?， ?不合题意 . （ iii ）当 1a? 时， ? ? ? ? ? ?21 0,xg x g xx? ?在 ? ?0? 上 单 调 递 增 ， 此 时? ? 1102ga? ? ? ?， ?不合题意 （ iv）当 1a? 时，由 ? ? 0gx? ? 得函数 ?gx单调减区间为 ? ?1,a ，由 ? ? 0gx? ? 得函数 ?gx- 9 - 单调增区间为 ? ? ? ?0,1 , ,a ? ，此时 ? ? 1102ga? ? ? ?， ?不合题意 . 综上所述： 12a? 时， ? ? 1fx? 恒成立 .
