1、 - 1 - 黑龙江省齐齐哈尔市 2018届高三数学 12月月考试题 理 第卷（共 60分） 一、 选择题 （ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1.设集合 A=x|x 1| 2， B=y|y=2x， x 0， 2，则 A B=（ ） A 0， 2 B（ 1， 3） C 1， 3） D（ 1， 4） 2.设复数 z=1+i（ i是虚数单位），则 +z2=（ ） A 1+i B 1 i C 1 i D 1+i 3.给出下列三个命题： “ 若 x2+2x 3 0,则 x 1” 为假命题； 若 p q为假命题，则 p、 q均为
2、假命题； 命题 p： ? x R， 2x 0，则 p： ? x R， 2x 0， 其中正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 4.已知各项为正的等比数列 an中， a4与 a14的等比中项为 ，则 2a7+a11的最小值为（ ） A 16 B 8 C D 4 5.已知函数 f（ x） =cos2x sin2x，下列说法错误的是（ ） A f（ x）的最小正周期为 B x= 是 f（ x）的一条对称轴 C f（ x）在（ ， ）上单调递增 D |f（ x） |的值域是 0， 1 6.有 6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测： 4号或 5号选手得第一名；观众乙猜测： 3号选手不可能得第一名
3、；观众丙猜测： 1， 2， 6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测： 4， 5， 6号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1人猜对比赛结果，此人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 7.设定点 F1（ 0， 3） 、 F2（ 0， 3），动点 P满足条件 |PF1|+|PF2|=a+ （ a 0），则点 P的轨迹是（ ） A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段 - 2 - 8.设 mn、 是两条不同的直线， ?、 是两个不同的平面 ,下列命题中错误的（ ） A.若 m? , /mn, /n? ,则 ? B.若 ? ,m? ,m ? ,则 /m? C.若 m ? ,
4、m? ,则 ? D.若 ? ,m? ,n ? ,则 mn? 9. 已知直线 l1： x (a 2)y 2 0， l2： (a 2)x ay 1 0，则 “ a 1” 是 “ l1 l2” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10.若双曲线 x2 =1（ b 0）的一条渐近线与圆 x2+（ y 2） 2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A（ 1， 2 B 2， + ） C（ 1， D ， + ） 11. 已知 ab0，椭圆 C1的方程为 x2a2y2b2 1，双曲线 C2的方程为x2a2y2b2 1， C1与 C2的离心率之积为
5、32 ，则 C2的渐近线方程为 ( ) A x 2y 0 B 2x y 0 C x2 y 0 D 2x y 0 12.定义域在 R上的奇函数 f（ x），当 x 0时， f（ x） = ，则关于x 的方程 f（ x） a=0（ 0 a 1）所有根之和为 1 ，则实数 a的值（ ） A B C D 第卷（共 90分） 二、 填空题 （ 本大题共 4小题 ， 每小题 5分 ， 共 20 分 ） . - 3 - 13.已知不等式组 ,则 z= 的最大值为 14.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 15.已知向量 与 的夹角为 120 ，
6、且 | |=3， | |=2若 = + ，且 ，则实数 = 16.若 P 是抛物线 y2=8x上的动点，点 Q在以点 C（ 2， 0）为圆心，半径长等于 1的圆上运动则|PQ|+|PC|的最小值为 三、解答题 . 17. (本小题满分 12分 ) 已知 ABC中， A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 ， b=1 （ 1）若 ，求边 c的大小； （ 2）若 a=2c，求 ABC的面积 18. (本小题满分 12分 ) 已知 Sn为各项均为正数的数列 an的前 n项和， a1 （ 0， 2）， an2+3an+2=6Sn （ 1）求 an的通项公式； - 4 - （ 2）设 bn=1n
7、naa1?，数列 bn的前 n 项和为 Tn，若对 ? nN *， t4T n恒成立，求实数 t 的最大值 19. (本小题满分 12分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD， PAD是等边三角形，四边形 ABCD是平行四边形， ADC=120 ， AB=2AD （ 1）求证：平面 PAD 平面 PBD； （ 2）求二面角 A PB C的余弦值 20.(本小题满分 12分 ) 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，点 M（ 1， 0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）过点 M（ 1， 0）的直线 l与椭圆 C相交于 A， B两点，设
8、点 N（ 3， 2），记直线 AN， BN的斜率分别为 k1， k2，求证： k1+k2为定值 21. (本小题满分 12分 ) 设函数 （ 1）求 f（ x）的单调区间及最大值； （ 2）讨论关于 x的方程 |lnx|=f（ x）根的个数 请考生在（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑 22 (本小题满分 10分 ) 选修 4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C的方程为 x2 2x+y2=0，以原点为极点， x轴正半轴为极轴- 5 - 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 =
9、 （ R） （ 1）写出 C的极坐标方程，并求 l与 C的交点 M， N的极坐标； （ 2）设 P是椭圆 +y2=1上的动点，求 PMN面积的最大值 23. (本小题满分 10分 ) 选修 4-5：不等式选讲 已知正实数 a、 b满足： a2+b2=2 ab （ 1）求 b1a1? 的最小值 m； （ 2）设函数 f（ x） =|x t|+|x+t1 |（ t0 ），对于（ 1）中求得的 m，是否存在实数 x，使得f（ x） =2m 成立，说明理由 - 6 - 数学试题（理科）答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B B C D D D A A A B
10、 二、填空题 13 3 14 15 16 3 三、 解答题 17. 解：（ 1） 2cos2 = sinB， 1+cosB= sinB， 2（ sinB cosB） =1，即 2sin（ B ） =1， B = 或 （舍），解得： B= ， 又 A= ，则 C= ， 由正弦定理 = ，得 c= = ； （ 2） B= ， sinB= ， cosB= ， 由余弦定理 b2=a2+c2 2accosB， 将 b=1， a=2c， cosB= 代入，解得： c= ，则 a= ， 则 S ABC= acsinB= sin = 18. 解：（ 1）当 n=1时，由 ， 得 ，即 又 a1 （ 0， 2）
11、， 解得 a1=1由 ， 可知 两式相减，得 ， 即（ an+1+an）（ an+1 an 3） =0 由于 an 0，可得 an+1 an 3=0， 即 an+1 an=3， - 7 - 所以 an是首项为 1，公差为 3的等差数列 所以 an=1+3（ n 1） =3n 2 （ 2 ）由 an=3n 2 ， 可 得= 因为 ， 所以 Tn+1 Tn，所以数列 Tn是递增数列 所以 ， 所以实数 t的最大值是 1 19. 证明：（ 1）在平行四边形 ABCD中，令 AD=1， 则 BD= = ， 在 ABD中， AD2+BD2=AB2， AD BD， 又平面 PAD平面 ABCD， BD平面
12、 PAD， BD?平面 PBD， 平面 PAD平面 PBD 解：（ 2）由（ 1）得 AD BD，以 D为坐标原点， DA为 x轴， DC 为 y轴， 过 D作垂直于平面 ABCD的直线为 z轴，建立空间直角坐标系， 令 AD=1，则 A（ 1， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， C（ 1， ， 0）， P（ ， 0， ）， =（ 1， ， 0）， =（ ）， =（ 1， 0， 0）， 设平面 PAB的法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ ）， 设平面 PBC的法向量 =（ a， b， c）， - 8 - ，取 b=1，得 =（ 0， 1， 2）， cos = =
13、 = ， 由图形知二面角 A PB C的平面角为钝角， 二面角 A PB C的余弦值为 20. 解：（）依题意， ， a2 b2=2， 点 M（ 1， 0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， b=|OM|=1， ? 椭圆的方程为 ? （ II）当直线 l的斜率不存在时，由 解得 设 ， ，则 为定值? 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为： y=k（ x 1） 将 y=k（ x 1）代入 整理化简，得（ 3k2+1） x2 6k2x+3k2 3=0? 依题意，直线 l与椭圆 C必相交于两点，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 则 ， ? 又 y1=k（ x1 1）， y
14、2=k（ x2 1）， 所以 = - 9 - = = = ? 综上得 k1+k2为常数 2.? 21. 解：（ 1） = ，解 f（ x） 0，得 ；解 f（ x） 0，得 函数 f（ x）的单调递增区间为 ；单调递减区间为 故 f（ x）在 x= 取得最大值，且 （ 2）函数 y=|lnx|，当 x 0时的值域为 0， +）如图所示： 当 0 x 1时，令 u（ x） = lnx c， c= =g（ x）， 则 = 令 h（ x） =e2x+x 2x2，则 h（ x） =2e2x+1 4x 0， h（ x）在 x（ 0， 1单调递增， 1=h（ 0） h（ x） h（ 1） =e2 1 g（
15、 x） 0， g（ x）在 x（ 0， 1单调递减 c 当 x 1时，令 v（ x） =lnx ，得到 c=lnx =m（ x）， 则 = 0， - 10 - 故 m（ x）在 1， +）上单调递增， c m（ 1） = 综上可知：当 时，方程 |lnx|=f（ x）无实数根； 当 时，方程 |lnx|=f（ x）有一个实数根； 当 时，方程 |lnx|=f（ x）有两个实数根 22. 解：（）因为 x= cos， y= sin，所以 C的极坐标方程为 =2cos，（ 2分） 直线 l的直角坐标方程为 y=x， 联立方程组 ，解得 或 ，（ 4分） 所以点 M， N的极坐标分别为（ 0， 0），（ ， ） （）由（）易得 |MN|= （ 6分） 因为 P是椭圆 +y2=1上的点，设 P点坐标为（ cos， sin），（ 7分） 则 P到直线 y=x的距离 d= ，（ 8分） 所以 S PMN= = 1，（ 9分） 当 =k ， k Z时， S PMN取得最大值 1（ 10分） 23. 解：（ 1） 2 =a2+b22ab ，即 ， 又 2 ，当且仅当 a=b时取等号 m
