1、 2021 年高考全国名校 9 月数学（理）模拟好题集锦：平面向量 一、单选题 1 （2020 黑龙江香坊哈尔滨市第六中学校高三三模（理） ）已知向量(1, 2),( ,1)abk且()aab， 则k （ ） A1 B2 C3 D2 【答案】C 【解析】1, 1abk， 因为()aab，故 11210k ，故3k . 故选：C. 2 （2020 赤峰二中高三三模（理） ） 如图所示， 在ABC中，ADDB，点F在线段CD上，设AB a ， ACb ，AFxayb，则 14 1xy 的最小值为（ ） A6 2 2 B6 3 C6 4 2 D3 2 2 【答案】D 【解析】解：2AFxaybxAD
2、yAC C，F，D三点共线， 21xy即12yx 由图可知0 x 2 14121 11 x xyxxxx 令 2 1x f x xx ，得 2 2 2 21 xx fx xx ， 令 0fx 得 21x 或 21x （舍） 当0 21x 时， 0fx ，当 21x 时， 0fx 当 21x 时， f x取得最小值 2 2 21 2121 f 32 2 . 故选 D 3 （2019 河北辛集中学高三月考（理） ）设向量( ,1)ax，(1,3)b ，且ab，则向量3ab与b的 夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】D 【解析】 向量,1ax，1,3b ，且ab，则30,3
3、a bxx,3( 3,1)ab 3(1,3)(0,4),(3 )0 1 4 (3)4 3abb , 34,2abb ,设向量 3ab 与 b的夹角为，则 (3 )4 33 cos 4 22 3 abb abb ， 5 0, 6 ，选 D. 4 （2019 合肥市第九中学高三其他（理） ）若向量(0, 2)m ，( 3,1)n ，则与2m n 共线的向量可以 是（ ） A( 3, 1) B( 1, 3) C(3, 1) D( 1,3) 【答案】B 【解析】0, 2 ,3,1mn 23, 3mn 3 1, 33, 3 3 故选 B 5 （2020 陕西西安高三二模 （理） ） 已知向量5,am，2
4、, 2b ， 若a bb， 则实数m ( ) A-1 B1 C2 D-2 【答案】B 【解析】 因为向量5,am，2, 2b 所以3,2abm，因为abb， 所以0abb所以6220m 解得1m .故选：B. 6 （2020 宁夏兴庆银川二中高三月考（理） ）在ABC中，若AB 2 BC 2= AB AC ，则ABC 是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 【答案】B 【解析】解： 22 CABBAB AC 22 coscabcA，化简可得： 222 cab， ABC是直角三角形 故选 B 7 （2020 山东临沭高三期末）已知向量a，b满足| 3a ，| 2b
5、，|2| 2 13ab，则a与b的夹角为 （ ） A 6 B 4 C 2 3 D 3 【答案】D 【解析】 222 |2| 2 13(2)4( )4( )52ababaa bb 又 22 ( )|9,aa 22 ( )|4bb= 3a b 1 cos, 2| a b a b a b , 3 a b 8 （2020 雅安市教育科学研究所高三一模（理） ）如图，已知ABC中，D为AB的中点， 1 3 AEAC， 若DEABBC，则 （ ） A 5 6 B 1 6 C 1 6 D 5 6 【答案】C 【解析】因为 11 23 DEDAAEBAAC 111111 236363 BABCBABABCAB
6、BC ， 所以 1 6 ， 1 3 .故 1 6 . 故选：C. 9 （2020 湖南省岳阳县第一中学高三月考）在ABC 中，ABC120，AB3，BC1，D 是边 AC 上的一 点，则BD AC 的取值范围是（ ） A 21,1 2 B 5 21 , 22 C0,1 D 21 5 , 22 【答案】D 【解析】因为 D 是边 AC 上的一点(包括端点)，设1BDBABC (01) ABC120，AB3，BC1， 13 3 1 22 BA BC ， 1BD ACBABCBCBA 225 1113 2 BA BCBABCBC BA 01剟， 2155 13 222 剟. BD AC 的取值范围是
7、 21 5 , 22 .故选 D. 10 （2020 全国高三一模（理） ）已知,A B为抛物线 2 :4C yx上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若 5ABFB ，则|AB （ ） A 25 2 B10 C 25 4 D6 【答案】C 【解析】设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 2121 ,ABxx yy， 又(1,0)F， 22 1,FBxy， 212 55xxx， 212 5yyy， 12 12 54 4 xx yy ，由 2 22 2 22 4 44 54 yx yx ，得 21 1 4 4 xx， 12 25 |2 4 ABxx. 故选 C 11 （2020 河南
8、高三其他（理） ）下列命题为真命题的个数是（ ） xx x 是无理数， 2 x是无理数； 若 0a b ，则 0a 或 0b ； 命题“若 22 0 xy，xR，yR，则 0 xy”的逆否命题为真命题； 函数 xx ee f x x 是偶函数. A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】对于中，当2x 时， 2 2x 为有理数，故错误； 对于中，若 0a b ，可以有ab，不一定要 0a 或 0b ，故错误； 对于中，命题“若 22 0 xy，xR，yR，则 0 xy ”为真命题， 其逆否命题为真命题，故正确； 对于中， xxxx eeee fxf x xx ， 且函数的定义域是(,0)(0
9、,)，定义域关于原点对称， 所以函数 xx ee f x x 是偶函数，故正确. 综上，真命题的个数是2. 故选：B. 12 （2020 河南开封高三二模 （理） ） 己知平行四边形ABCD中，2ABAD，60DAB， 对角线AC 与BD相交于点O，点M是线段BC上一点，则OM CM 的最小值为（ ） A 9 16 B 9 16 C 1 2 D 1 2 【答案】A 【解析】如图所示，以BD的中点为坐标原点，以BD所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，建立如图 所示的直角坐标系，则( 1,0),(0,3)BC， 所以直线BC的方程为33yx ， 设点( ,33)M xx，( 10)x ，所以(
10、,33),( ,3 )OMxxCMxx， 所以 222 3343OM CMxxxxx ， 当 3 8 x 时，OM CM 取到最小值 9 16 . 故选：A. 13 （2018 河南洛阳高三二模（理） ）在ABC中，点D在线段BC上，且 2BDDC ，点O在线段CD上 （与点C，D不重合）若1AOxABx AC，则x的取值范围是（ ） A0,1 B 2 ,1 3 C 1 0, 3 D 1 2 , 3 3 【答案】C 【解析】 1AOxABx ACx ABACAC，即CO x CB . CO x CB ， 2BDDC ,即3 BCDC , 1 0 3 CD x CB ， x的取值范围是 1 0,
11、 3 ， 故选 C. 14（2020 江西宜春高三其他 （理） ） 如图， 在四边形ABCD中， /AB CD，ABAD，22ABADCD， E 是BC边上一点且3BCEC ，F是AE的中点，则下列关系式不正确的是（ ） A 1 2 BCABAD B 11 33 AFABAD C 12 33 BFABAD D 12 63 CFABAD 【答案】C 【解析】对于 A，因为 11 22 BCBAADDCABADABABAD ，所以 A正确； 对于 B，因为 1112 2223 AFAEABBEABBC ，而 1 2 BCABAD ，代入可得， 11 33 AFABAD，所以 B 正确； 对于 C，
12、因为BF AFAB ，而 11 33 AFABAD，所以 21 33 BFABAD ，C 不正确； 对于 D，因为 1 2 CFCDDAAFABADAF ，而 11 33 AFABAD，代入得， 12 63 CFABAD ，所以 D 正确； 故选：C 15（2020 河北高三其他 （理） ） 已知 1,0AB ，2,2BC 若 A BA CB C且10AC， 则的值为（ ） A4 2 B 4 2 C6 2 D 6 2 【答案】B 【解析】因为1,2ACABBC ，所以105102AC， 00ABACBCABACBCAB BCAC BC， 即2603，因而，44 2 故选：B 16 （2020
13、湖南高三三模（理） ）在等腰梯形ABCD中，/ /ABCD，2ABCD，E，F分别为BC，CD 的中点，则（ ） A 92 105 AEACBF B 42 55 AEACBF C 31 44 AEACBF D 31 44 AEACBF 【答案】A 【解析】根据题意，作图如下： 设AEACBF，因为AC ADDC ， 113 () 222 AEACABADDC， 3 2 BFBAADDFADDC， 所以 133 () 222 AEADDCADDCADDC ， 即 133 222 ADDCADDC ， 所以 1 2 33 22 ，解得 9 10 2 5 ， 即 92 105 AEACBF. 故选：
14、A 17 （2020 河北桥西邢台一中高三月考（理） ）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的 中点，则OD （ ） A 21 33 BAAC B 21 33 BAAC C 12 33 BAAC D 42 33 BAAC 【答案】A 【解析】解：连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E， 则 221121 332333 ODBOBEBABCBABAACBAAC. 故选：A. 18 （2020 广西贵港高三其他（理） ）在直角ABC中，AB AC ，| 3AB ，| 2AC ， 2AEEB ， AFFC ，设 BF 与 CE 交于 G，则cos,AG AE （ ）
15、 A 10 10 B 3 10 10 C 3 5 D 4 5 【答案】B 【解析】如图，以 A为原点建立坐标系， 则3,0B，0,2C，2,0E，0,1F， 所以直线 CE 的方程为20 xy，直线 BF 的方程为330 xy， 解 20 330 xy xy ，得 3 2 1 2 x y 3 1 ( , ) 2 2 AG ，(3,0)AB ， 9 3 10 2 cos, 105 3 2 AG AB 故选：B 19 （2020 上海市建平中学高三月考）已知单位向量, a b，且 0a b ，若0,1t，则 5 | ()|(1)() 12 t baabt ab的最小值为（ ） A 193 12 B
16、 13 12 C 2 D1 【答案】B 【解析】由题知, a b是单位向量,且 0a b , 故不妨取(1,0)a ,(0,1)b r , 设 5 | ()|(1)() 12 Tt baabt ab 5 ( 1,1)(1,0)0,(1)(1, 1) 12 tt 2 222 7 (1)(1) 12 tttt 2 222 7 (1)(1) 12 tttt 设( , )P t t,(0,1)A, 7 1, 12 B , 则T表示动点( , )P t t到两定点 7 (0,1),1, 12 AB 的距离之和, 所以|TPAPBAB 2 2 713 11 1212 , 故选:B. 20 （2020 岳麓
17、湖南师大附中高三三模（理） ）设 a，b，c 分别是ABC的内角 A，B，C 的对边，已知 sinsinsinbcACacAC，设 D 是 BC 边的中点，且ABC的面积为3，则 ABDADB等于( ) A2 B4 C4 D2 【答案】A 【解析】 sinsinsinbcACacAC， ， 由正弦定理可得：b acbcac（），整理可得：b2+c2a2=-bc， 由余弦定理可得：cosA= 1 2 ，由 A（0，） ，可得：A= 2 3 ，又ABC的面积为 3，即 12 3 23 bcsin ,bc=4, 又 ABDADBDBDADADB= 2 DB - 2 DA = 2 4 CB - 2 4
18、 ABAC = 2 4 ABAC - 2 4 ABAC = 4? 4 AB AC =AB AC=-bccosA=2. 故选 A. 二、填空题 21 （2020 南岗黑龙江实验中学高三二模（理） ）已知向量4,2a ，,1b，若 2ab 与a b 的夹 角是锐角，则实数的取值范围为_ 【答案】 111,22,111 【解析】向量(4,2)a ，( ,1)b，2(42 ,4)ab，(4,1)ab， 若 2ab 与a b 的夹角是锐角，则 2ab 与a b 不共线，且它们乘积为正值， 即 424 41 ，且 2(42 ,4) (4,1)abab 2 20420， 求得1 11111 ，且2 22（2
19、020 全国高三其他 （理） ） 若两单位向量a ， b 的夹角为 3 ， 则向量2a b 在a 方向上的投影为_ 【答案】 3 2 【解析】由已知得向量2a b 在a方向上的投影为 2 1 2 2 23 2 12 aba ab a aa 故答案为: 3 2 23 （2020 江苏高三其他）已知向量1,3a ，2,1b ，3,2c .若向量c与向量kab共线，则实 数k _. 【答案】1 【解析】向量1,3a ，2,1b ，向量=2,31kabkk, 又3,2c ，且向量c与向量ka b 共线， 3 3122 ,kk 解得1k , 故答案为： 1. 24 （2020 五华云南师大附中高三其他（
20、理） ）在ABC中，2 3AB ，O为三角形的外接圆的圆心，若 ( ,)AOxAByAC x yR，且 21xy，则ABC的面积的最大值为_. 【答案】6 【解析】如图，取AC的中点D，因为AOxAByAC，所以2AOxAByAD，因为21xy， 所以,B O D三点共线，因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BDAC.设ADDCm，则 2 12(02 3)BDmm ，所以 2 22 222 1(12) 212(12)6 22 ABC mm Smmmm ，当且仅当 22 12mm，即 6m 时取等. 故答案为：6 25 （2020 全国高三其他（理） ）已知向量,1ax r ，2,1bx r ，2
21、/aba，则x _. 【答案】2 或1 【解析】因为向量,1ax r ，2,1bx r ，2/aba 222,3abxx， 所以223xx x， 2 20 xx，2x 或1. 故答案为: 2或1. 26 （2020 浙江高三月考）已知非零平面向量, a b不共线，且满足 2 4a ba ，记 31 44 cab，当 ,b c 的夹角取得最大值时，|ab的值为_ 【答案】4 【解析】由非零平面向量,a b不共线，且满足 2 4a ba ，建立如图所示的平面直角坐标系： 则(2,0), (2, ),0ABb b ，则(2,0),(2, )abb，由 31 44 cab，则(2, ) 4 b C，
22、则直线,OB OC的斜率分别为, 2 8 b b ， 由两直线的夹角公式可得： 333 28 tanBOC 8 48 1 2 282 2 bb bbb b b b ， 当且仅当 8 2 b b ，即4b 时取等号，此时(2,4)B，则(0, 4)ab， 所以| 4ab，故填：4. 27 （2020 江苏广陵扬州中学高三其他）圆 22 640 xyxy与曲线 21 3 x y x 相交于A，B，C，D 四点，O为坐标原点，则OAOBOCOD_ 【答案】4 13. 【解析】圆 22 640 xyxy的圆心为 M（-3，2） ， 圆 22 640 xyxy关于 M（-3，2）中心对称， 又曲线 21
23、5 y2 33 x xx ，关于（-3，2）中心对称， 圆 22 640 xyxy与曲线 21 3 x y x 的交点关于（-3，2）中心对称， 不妨设A与B，C与D关于（-3，2）中心对称，则 2OAOBOM ， 2OCODOM , OAOBOCOD44 944 13OM ， 故答案为4 13. 28 （2018 上海高考真题） 已知实数 1 x、 2 x、 1 y、 2 y满足： 22 11 1xy， 22 22 1xy， 1212 1 2 x xy y， 则 1122 11 22 xyxy 的最大值为_ 【答案】23 【解析】设 A（x1，y1），B（x2，y2）， OA=（x1，y1）
24、，OB=（x2，y2）， 由 x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2= 1 2 ， 可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上， 且OAOB=1 1 cosAOB= 1 2 ， 即有AOB=60 ， 即三角形 OAB 为等边三角形， AB=1， 11 1 2 xy + 22 1 2 xy 的几何意义为点 A，B 两点 到直线 x+y1=0 的距离 d1与 d2之和， 显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 x+y=1 平行， 可设 AB：x+y+t=0，（t0）， 由圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2 t ， 可得 2 2 1 2 t =1，解得 t= 6 2
25、 ， 即有两平行线的距离为 6 1 2 2 = 23 2 ， 即 11 1 2 xy + 22 1 2 xy 的最大值为 2+3， 故答案为 2+3 29 （2020 南岗黑龙江实验中学高三三模（理） ）如图，在ABC中， 1 3 BBCD ，点E在线段AD上移 动（不含端点） ，若AE ABAC ，则 1 2 的取值范围是_ 【答案】(10, 3 ) 【解析】解：由题可知， 1 3 BBCD ，设01AEmADm， 则 1 3 AEm ABBC 1 3 m ABBAAC ， 所以 21 33 AEm ABm AC ， 而AE ABAC ， 可得： 21 , 33 mm， 所以 13 23 m
26、 m 01m ， 设 3 3 m f x m 01m， 由双钩函数性质可知， f x在0,1上单调递减， 则 110 13 33 f xf， 所以 1 2 的取值范围是(10, 3 ). 故答案为：(10, 3 ). 30 （2020 天津高考真题）如图，在四边形ABCD中，60 ,3BAB ，6BC ，且 3 , 2 ADBCAD AB ，则实数的值为_，若,M N是线段BC上的动点，且| 1MN ， 则DM DN 的最小值为_ 【答案】 1 6 13 2 ADBC ，/AD BC，180120BADB， cos120AB ADBC ABBCAB 13 639 22 ， 解得 1 6 ， 以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy， 66,0BCC，, 3,60ABABC，A的坐标为 3 3 3 , 22 A , 又 1 6 ADBC,则 5 3 3 , 22 D ，设,0M x，则1,0N x（其中05x） ， 53 3 , 22 DMx ， 33 3 , 22 DNx ， 2 2 2 533 32113 42 22222 DM DNxxxxx ， 所以，当2x 时，DM DN 取得最小值13 2 . 故答案为： 1 6 ；13 2 .
