1、 - 1 - 湖南省湘东五校 2017年下期高三联考 理科数学 总分： 150分 时量： 120 分钟 考试时间： 2017年 12 月 8日 姓名 _ 考号 _ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 2 2 3 0 , ln ( 2 ) A x x x B x y x? ? ? ? ? ? ?，则 AB? ( ) A (1,3) B (1,3 C 1,2)? D (1,2)? 2 设 i 为虚数单位，若复数 ? ?12az i a Ri? ? ? 的实部与虚部互为相反数，则 a? ( ) A. 5? B
2、. 1? C. 13? D. 53? 3.“ 不等式 2 0x x m? ? ? 在 R 上恒成立 ” 的一个必要不充分条件是 ( ) A. 41?m B. 10 ?m C. 0?m D. 1?m 4 某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为（ ） A 16-23? B 48-3? C 416-3? D 16 1-3?（ ） 5圆 22( 3) (y 3) 9x ? ? ? ?上到直线 3 4 11 0xy? ? ? 的距离等于 2的点有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6 函数 ? ? 2 1 cos1exf x x?的图象的大致形状是 ( ) A B C D - 2
3、 - 7已知实数 ,xy满足2000xyxyyk?，且 z x y?的最大值为 6，则22( 5)xy? 的最小值为（ ） A 5 B 3 C 5 D 3 8.若 ?x 表示不超过 x 的最大整数，则 右 图中的程序框图运行之后输出的结果为 （ ） A. 600 B. 400 C. 15 D. 10 9 已知 ? ? ? ?11s in , s in ,23? ? ? ? ? ? ?，则 25tanlog tan ?等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10 已知平面区域 ? ? , | 0 , 0 1x y x y? ? ? ? ? ?，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线
4、2sinyx? 下方的概率是（ ） A. 12 B. 1? C. 2? D. 4? 11 设 F是双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的焦点，过 F作双曲线一条渐近线的垂线 ，与两条渐近线交于 P， Q，若 3FP FQ? ，则双曲线的离心率为（ ） A 62B 52C 3 D 10212已知 ()y f x? 是定义在 R 上的函数，且满足 (4) 0f ? ； 曲线 ( 1)y f x?关于点(1,0)? 对称； 当 ( 4,0)x? 时 2 |( ) lo g ( 1)xxxf x e me? ? ? ?，若 ()y f x? 在 4,4x? 上有 5个零点，则实
5、数 m 的取值范围为（ ） A 4 3e ,1)? B ? ?42 3e ,1) e? ? ? C ? ?20,1) e? D 0,1) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . - 3 - 13 若 ? ? ?512x a x?的展开式中 3x 的系数为 20，则 a? _ 14 平面向量 ab与 的夹角为 ， ? ?3,4 ,| | 1ab?，则 | 2 |ab?_. 15 已知等腰 Rt ABC? 中， 2AB AC?， ,DE分别为 ,ABAC 的中 点，沿 DE 将 ABC?折成直二面角（如图），则四棱锥 A DECB? 的外接球的表面积为 _ 16 已知 ? ?
6、? ? 13 s in c o s c o s 2f x x x x? ? ? ? ?，其中 0? ， ?fx的最小正周期为 4? . （ 1）函数 ?fx的单调递增区间是 _ （ 2）锐角三角形 ABC 中，角 A,B,C的对边分别为 ,abc, 若 ? ?2 cos cosa c B b C?，则 ? ?fA的取值范围是 _. 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 17（ 12分） 已知各项均不相等的等差数列 ?na 的前四项和 4 1 3 714, , ,s a
7、 a a? 且 成等比 数列 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）11nnnT aa?设 为 数 列前 n 项的和 ，若 *1nnT a n N? ?对 一 切 恒 成 立，求实数 ? 的最大值 . - 4 - 18 （ 12分） 已知具有相关关系的两个变量 ,xy之间的几组数据如下表所示： （ 1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? ?y bx a?，并估计当 20x? 时 y 的值； （ 3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取 3 个点，记落在直线2 4 0xy? ? ?
8、右下方的点的个数为 ? ，求 ? 的分布 列以及期望 . 参考公式： 1221?niiiniix y nxybx nx?， ? ?a y bx? . 19. （ 12分） 如图所示，等腰梯形 ABCD的底角 BAD 60 ，直角梯形 ADEF所在的平面垂直于平面 ABCD， EDA 90 ，且 ED AD 2AF 2AB 2. (1)证明：平面 ABE平面 EBD； (2)点 M 在线段 EF上，试确定点 M的位置，使平面MAB与平面 ECD所成角的余弦值为 34. A B C D E F M - 5 - 20（ 12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，离心率 等于 ，它的一个短轴端点恰好是抛物
9、线2 83xy? 的焦点 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）已知 P（ 2， 3）、 Q（ 2， 3）是椭圆上的两点， A， B是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点， 若直线 AB 的斜率为 12 ，求四边形 APBQ面积的最大值； 当 A、 B运动时，满足 APQ= BPQ，试问直线 AB的斜率是否为定值，请说明理由 21. （ 12分）已知函数 ( ) 5 ln , g ( ) ( )1kxf x x x k Rx? ? ? ? （ 1）若函数 ()fx在点 (1, (1)f 处的切线与函数 ()y gx? 的图象相切，求 k 的值； （ 2） * , (1 , ) ( ) ( ) ,k
10、N x f x g x k? ? ? ? ?若 且 时 ， 恒 有 求的最大值 （参考数据： ln5 1.61， ln6 1.7918， ln( 2 1)? =0.8814） 选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 - 6 - 22、 （ 10分） 选修 44 ：坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 ? 的直线 l 过点 ? ?2, 4M ? ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2cos? ? ? . (1)写出直线 l 的参数方程 (? 为常数 )和曲线
11、C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与 C 交于 A 、 B 两点，且 40MA MB?，求倾斜角 ? 的值 . 23（ 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | | 1 |f x m x x? ? ? ? ?. （ 1）当 5m? 时，求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （ 2）若二次函数 2 23y x x? ? ? 与函数 ? ?y f x? 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范围 . - 7 - 湖南省湘东五校 2017年下期高三联考 理科数学参考答案 一 选择题 : 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C C B
12、 B A B C A C B 二填空题： 13 ； 14. ； 15. ； 16. (1) ； (2) . 三解答题： 17 （ 1）设公差为 d,由已知得： ， 联立解得 d=1或 d=0（舍去） 所以 解得 ? 6分 （ 2） ? 9分 又因为 恒成立，所以 ， 而 ，当 n=2时等号成立。 所以 ， 即 的最大值为 16. ? 12分 18.（ 1）散点图如图所示： - 8 - ? 2分 （ 2）依题意， ， ， ， ， ， ； 回归直线方程为 ，故当 时， . ? 7分 （ 3）可以判断，落在直线 右下方的点 满足 ， 故符合条件的点的坐标为 ，故 的可能取值为 1,2,3； ， ，
13、， 故 的分布列为： 故 . ? 12 分 19.（ 1）证明：平面 ABCD平面 ADEF，平面 ABCD平面 ADEF=AD， ED AD， ED?平面 ADEF， ED平面 ABCD， AB?平面 ABCD， ED AD， AB=1， AD=2， BAD=60， BD= = ， AB2+BD2=AD2， AB BD， - 9 - 又 BD?平面 BDE， ED?平面 BDE， BD ED=D， AB平面 BDE，又 AB?平面 ABE， 平面 ABE平面 EBD ? 6分 （ 2）解：以 B为原点，以 BA， BD为 x轴， y轴建立空间直角坐标系 B xyz， 则 A（ 1， 0， 0
14、）， B（ 0， 0， 0）， C（ ， ， 0）， D（ 0， ， 0）， E（ 0， ， 2）， F（ 1， 0， 1），则 =（ ， ， 0）， =（ 0， 0， 2）， =（ 1， 0， 0）， =（ 1， ， 1）， 设 = =（， ，）（ 0 1）， 则 = + =（， ， 2）， 设平面 CDE的法向量为 =（ x1， y1， z1），平面 ABM 的法向量为 =（ x2， y2， z2）， 则 ， ， ， ， 令 y1=1 得 =（ ， 1， 0）（也可以证明向量 是平面 CDE的法向量） 令 y2=2得 =（ 0， 2， ）， ? 9分 cos = = = ，解得 = ， 当
15、 M为 EF 的中点时，平面 MAB与平面 ECD所成的角的余弦值为 ? 12分 20.解：（ 1）设 C方程为 ，则 由 ，得 a=4 椭圆 C的方程为 ? ? 4分 - 10 - （ 2）解：设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），直线 AB 的方程为 ， 代入 ，得 x2+tx+t2 12=0 由 0，解得 4 t 4 由韦达定理得 x1+x2= t， x1x2=t2 12 ? 6分 = = 由此可得：四边形 APBQ的面积 当 t=0时， ? 8分 当 APQ= BPQ，则 PA、 PB的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k 则 PB的斜率为 k，直线 PA的直线方程为 y 3=k（ x 2） 由 （ 1）代入（ 2）整理得（ 3+4k2） x2+8（ 3 2k） kx+4（ 3 2k） 2 48=0 将 k换成 -k可得 : ? 10分 所以 AB 的斜率为定值 ? 12分 21.（ 1）函数 f（ x） =5+lnx， f（ 1） =5，且 ， 从而得到 f（ 1） =1 函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为： y 5=x 1，即 y=x+4? 2分 设直线 y=x+4与 g（ x）
