1、 1 益阳市、湘潭市 2018 届高三 9 月调研考试试卷 数学（文科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 iiz )21( ? 的实部和虚部之和为（ ） A 1 B 1? C 3 D 3? 2.已知全集 8,6,4,2?U ，集合 6,4,6,2 ? BA ，则 ? BCA U （ ） A 2 B 8,4,2 C 6 D 6,4,2 3.已知 52sin ? ，则 ? )2cos( ? （ ） A 257 B 257? C 2517 D 2517? 4.若正方形
2、ABCD 边长为 E,4 为四边上任意一点，则 AE 的长度大于 5 的概率等于 （ ） A 321 B 87 C. 83 D 81 5.若 2.03 2,2.0lg,2lo g ? cba ，则（ ） A abc ? B cab ? C. cba ? D acb ? 6.要得到函数 Rxxxf ? ,2sin)( 的图象，只需将函数 Rxxxg ? ),32s in ()( ?的图象（ ） A向左平移 3? 个单位 B向右平移 3? 个单位 C. 向左平移 6? 个单位 D向右平移 6? 个单位 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A 21 B 53 C. 65 D 76 2
3、8.函数21)( xxxf ?的图象大致是（ ） A B C. D 9.数书九章中对“已知三角形三边长求三 角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减去斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”。若把这段文字写成公式，即 )2(41 222222 bacacS ? ，现有周长为 522 ? 的 ABC? 满足 )12(:5:)12(s in:s in:s in ?CBA ，用上面给出的公式求得 ABC? 的面积为（ ） A 23 B 43 C. 25
4、D 45 10.下图中， HMNG 、 分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在的棱的中点，则表示直线 MNGH、 是异面直线的图形有（ ） 3 A B C. D. 11.图中是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ） A 32 B 34 C. 1 D 31 12.设函数 aaxxxxf ? 53)( 23 ，若存在唯一的正整数 0x ，使得 0)( 0 ?xf ，则 a 的取值范围是（ ） A )31,0( B 45,31( C. 23,31( D 23,45( 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若函数? ? ?
5、0,2 0),1lg()( xx xxxf，则 ? )9(ff 14.设变量 yx, 满足约束条件?042001yxyxyx ，则yxz 3? 的 最大值为 15.已知向量 ba?, 满足 )3,1(,2|,1| ? baba ? ，记向量 ba?, 的夹角为 ? ，则?tan 16.已知圆 4)2(: 221 ? yxC ，抛物线 122 ),0(2: CppyyC ? 与 2C 相交于 BA, 两点，558| ?AB ，则抛物线 2C 的方程为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 4 17. 已知 nS 为数列 na 的前 n 项
6、和，若 21?a 且 nn SS 21? . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设 12log ? nn ab ，求数列 11?nnbb的前 n 项之和 . 18. 某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采取随机抽样的方法抽取了 80 名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为 5 组： 25,20)20,15)15,10)10,5),50 ， ，得到如图所示的频率分布直方图： （ 1）写出 a 的值； （ 2）求抽取的 80 名学生中月上网次数不少于 15次的学生的人数； （ 3）在抽取的 80 名学生中，从月上网
7、次数少于 5 次的学生中随机抽取 2 人，求至少抽取到1名男生的概率 . 19. 如图，在四棱锥 ABCDP? 中， ?PA 底面 ABCD ，底面 ABCD 为菱形， ?60?ABC ，EPBPA ,1? 为 PC 的中点 . （ 1）求证： /PA 平面 BDE ； （ 2）求三棱锥 BDEP? 的体积 . 5 20. 已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxE 经过 )23,1( ，离心率为 21 . （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设点 FA、 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于 DC, 两点，求四边形 OCAD 面积的最大值（ O 为坐标原点） . 2
8、1. 已知函数 Raxaxxxf ? ,ln)( 2. （ 1）当 0?a 时，求曲线 )(xfy? 在点 )(,( efe 处的切线方程； （ 2）若 )(xf 有两个零点，求 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为：? ? ?sincos2yx（ ? 为参数） .以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 21)3cos( ? ? ，直线 l 与曲线 C 交于 BA、 两点 . （ 1）求直线 l 的直
9、角坐标方程； （ 2）设点 )0,1(P ，求 | PBPA? 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 |4|12|)( ? xxxf . （ 1）解不等式 0)( ?xf ； （ 2）若 |2|4|3)( ? mxxf 对一切实数 x 均成立，求 m 的取值范围 . 6 试卷答案 一、选择题 1-5:BADDB 6-10:DABBC 11、 12： AB 二、填空题 13. 2? 14. 1? 15. 15? 16. xy 5322 ? 三、解答题 17.（ 1）由题设得：数列 nS 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列 . nnnn SS 22 1 ? ? ? ? ? 2,21
10、,22, 1,111 nnnSS nSannnn（ 2）由（ 1）知：1111,2lo glo g 1212 ? ? nnbbnab nnnnn. ?数列 11?nnbb前 n 项之和为 1)111()3121()211( ? n nnn?. 18.（ 1） 05.05 5)08.003.002.02(1 ?a . （ 2）在所抽取的女生中，月上网次数少于 15次的学生频率为 35.05)02.005.0( ? ，所以，月上网次数少于 15次的女生有 144035.0 ? ， 在所抽取的男生中，月上网次数少于 15次的学生频率为 35.05)03.004.0( ? ，所以，月上网次数少于 15
11、次的男生有 144035.0 ? . 故抽取的 80 名学生中月上网次数少于 15次的学生人数有 28 人 . （ 2）记“在抽取的 80 名学生中，从月上网次数少于 5 次的学生中随机抽取 2 人，至少抽到7 1名女生”为事件 A ， 在抽取的女生中，月上网次数少于 5 次的学生频率为 1.0502.0 ? ，人数为 4401.0 ? 人， 在抽取的男生中，月 上网次数少于 5 次的学生频率为 05.0501.0 ? ，人数为 24005.0 ? ， 则在抽取的 80 名学生中，从月上网次数少于 5 次的学生中随机抽取 2 人，所有可能的结果有 15种，而事件 A 包含的结果有 9 种，所以
12、 53159)( ?AP . 19.略解：（ 1）证：设 OBDAC ? ，连接 OE ，则 OEPA/ ， 又 ?OE 平面 BDE ，且 ?PA 平面 /, PABDE? 平面 BDE . （ 2） 24 321 ? ABDPABDEB D EAB D EP VVVV. 20.（ 1）由题设得：?22222211491cbaacba，解得：?132cba ?椭圆方程为 134 22 ?yx . （ 2）设直线 CD 的方程为 1?kyx ，与椭圆方程 134 22 ?yx 联立得：096)43( 22 ? kyyk . 43 9,43 6 221221 ? kyyk kyy |221|22
13、1 2121 yyyySSS ODAO C AO C A D ? ?四边形 43 1124)( 2221221 ? ? k kyyyy13122? t t ，其中 1,12 ? tkt . tt 1312?，其中 1,12 ? tkt . 1?t? 时， tt 13? 单调递增， 3413 ? O C ADStt 四边形 （当 0?k 时取等号） . 21.（ 1） xey )11( ? 8 （ 2） 0,12)( 2 ? xx xaxxf 当 0?a 时，显然 )(,0)( xfxf ? 在 ),0( ? 上单调递增； 当 0?a 时，令 012)( 2 ? x xaxxf ，则 012 2
14、 ? xax ，易知其判别式为正， 设方程的两个根分别为 )(, 2121 xxxx ? ，则2121 0,021 xxaxx ?， 0,)(212)( 212 ? xx xxxxax xaxxf 令 0)( ?xf 得 ),0( 2xx? ，其中 aax 4 1812 ?， 所以函数 )(xf 在 )4 181,0( aa? 上递增，在 ),4 181( ? aa 上递减 . （ 3）由（ 2）知 当 0?a 时，显然 )(xf 在 ),0( ? 上单调递增，至多一个零点，不符合题意； 当 0?a 时，函数 )(xf 在 ),0( 2x 上递增，在 ),( 2?x 上递减， )()( 2ma
15、x xfxf ? 要使 )(xf 有两个零点，必须 0)( 2 ?xf ，即 0ln 2222 ? xaxx ， 又由 0)( 2 ? xf 得： 21 222 xax ?，代入上面的不等式得： 1ln2 22 ?xx ，解得 1)11(2121,12222222 ? xxx xax 下面证明：当 )1,0(?a 时， )(xf 有两个零点 . 011ln)1( 2 ? ? eaeeef ， 0)ln(242242ln)2( 22 ? xxaaaaaaaaaf ? 又 aaaaax 214 1814 1812 ?， 且eaaax 11118 2118 24 1812 ?， 9 0)1ln2(2
16、1ln)( 2222222 ? xxxaxxxf ， 所以 )(xf 在 ),1(2xe与 )2,(2 ax上各有一个零点 . 解法二：函数 )(xf 有两个零点，等价于方程2lnx xxa ?有两解 . 令 0,ln)(2 ? xx xxxg，则3ln21)( x xxxg ?， 由 0ln21)(3 ? x xxxg得 1ln2 ?x ，解得 10 ?x ， 所以 )(xg 在 )1,0( 单调递增，在 ),1(? 单调递减， 作出函数 )(xg 的简图，结合函数值的变化趋势猜想： 当 )1,0(?a 时符合题意 . 下面给出证明： 当 1?a 时， )(max xga? ，方程至多一解；
17、 当 0?a 时，若 1?x ，则 0)(,0)( ? axgxg ，此时方程无解； 若 10 ?x ，则函数 axg ?)( 单调递增，此时方程至多一解， 所以 0?a 不符合题意； 当 )1,0(?a 时， 0)1(,0)1( ? aegeg ， 0)2(,)22(4)22( ln4)2( 22 ? aagaaaaaaaag 所以方程在 )1,1(e 与 )2,1( a 上各有一个根， )(xf? 有两个零点 . 22. （ 1）由 21)3cos( ? ? 得： 213s ins in3c o sc o s ? ? ， ?直线 l 的直角坐标方程为： 013 ? yx . 10 （ 2）由? ? ?
