1、 1 2017 届高三年级第二学期周考（ 10） 数 学 试 题 (总分 160分，考试时间 120分钟 ) 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5分，共 计 70 分 1 设复数 iz a b? （ ab?， R ， i 为 虚数单位） 若 (4 3i)iz? ， 则 ab 的值 是 2 已知集合 | 0U x x?， = | 2A x x ，则 ACU = 3 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4首歌曲中的 2首，则甲、乙 2首歌曲至少有 1首被播放 的概率 是 4 右图是一个算法流程图，则输出的 k的值是 5 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用 分层抽样的方法抽取一个容
2、量为 500的样本 其中大一年级 抽取 200人，大二年级抽取 100人 若其他年级共有学生 3000人，则该校 学生总人数是 6 设等差数列 ?na 的前 n项和为 nS 若公差 2d? ， 5 10a? ， 则 10S 的值 是 7 在锐角 ABC中， 3AB? ， 4AC? 若 ABC的面积为 33，则 BC 的长是 8 在平面直角坐标系 xOy 中，若 双曲线 2 22 1x ya ?（ 0a? ）经过抛物线 2 8yx? 的焦点，则 该双曲线的离心率 是 9 已知圆锥的侧面展开图是 半径为 3，圆心角为 23 的扇形 ，则这个圆锥的高 为 10 若直线 2y x b?为曲线 exyx
3、?的一条切线，则实数 b 的值 是 11 若正实数 xy， 满足 1xy?，则 4yxy?的最小值是 12 如图，在直角梯形 ABCD 中， AB DC， 90ABC? ? ? ， 3AB? ， 2BC DC?若 EF， 分别是线段 DC 和 BC 上 的动点，则 ACEF? 的取值范围是 13 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (0 2)A ?， ， 点 (1 1)B ?， ， P 为圆 222xy?上一动点， 则 PBPA 的最大值是 ABCD EF （第 12 题） （第 4 题） Y N 结束 开始 1S? ， 1k? 2S S k? 10S? 输出 k 1kk? 2 （ 第 16
4、 题 ） A B C D P M N A B D O x y （第 17 题 ） F 14 已知函数3() 3 .x x afx x x x a? ? ? ， ， 若函数 ( ) 2 ( )g x f x ax?恰有 2个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6小题，共 计 90分 15 （本小题满分 14 分） 已知 函数 ? ?( ) sin 3f x A x?（ 00A ?， ） 图象的 相邻两条对称轴之间的距离为 ， 且经过点 3()32， （ 1） 求函数 ()fx的解析式； （ 2）若角 ? 满足 ( ) 3 ( ) 12ff? ? ?， (0)? ， ，求角
5、 ? 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD是矩形，平面 PAD 平面 ABCD， AP=AD， M， N分别为棱 PD， PC 的中点 求证：（ 1） MN平面 PAB； （ 2） AM平面 PCD 17 （本小题满分 14分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 2222 1 ( 0)yx abab? ? ? ?的左焦点为 ( 1 0)F?， ，且经过 点 3(1 )2， 3 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）已知椭圆的弦 AB 过点 F，且与 x 轴不垂直 若 D为 x 轴上的一点， DA DB? ，求 ABDF 的值 18 （本
6、小题满分 16分） 如 图，半圆 AOB是 某爱国主义教育基地一景点 的平面示意图，半径 OA的长为 1百米 为了保护 景点 ， 基地 管理部门从 道 路 l上 选取一 点 C， 修建 参观 线路 C-D-E-F，且 CD， DE， EF 均 与半圆相切，四边形 CDEF是等腰梯形 设 DE t百米 ，记修建每 1 百米 参 观 线路的费用为 ()ft 万元，经测算 150 3()118 2 .3tfttt? ? ? ? ? ?， （ 1） 用 t 表示线段 EF 的长 ； （ 2）求修建该 参观 线路的最低费用 19 （本小题满分 16 分） 已知 na 是公差为 d 的等差数列， nb 是
7、公比为 q 的等比数列， 1q? ，正整数组 ()E m p r? ， ， （ m p r?） （ 1）若 1 2 2 3 3 1a b a b a b? ? ? ? ?，求 q 的值； （ 2）若数组 E 中的三个数构成公差大于 1的等差数列，且mpab?prab?rmab?， 求 q 的最大值； O A C B D l E F （第 18 题） 4 （ 3）若 11()2 nnb ?， mmab?ppab? 0rrab?， 试写出满足条件的一个数组 E 和对应的通项公式 na （注： 本小问不必写出解答过程 ） 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 2( ) cosf x ax x?（
8、 a?R ），记 ()fx的导函数为 ()gx （ 1）证明：当 12a? 时， ()gx 在 R 上单调递增； （ 2）若 ()fx在 0x? 处取得极小值，求 a 的取值范围； （ 3）设函数 ()hx 的定义域为 D ，区间 ( + )mD?， ，若 ()hx 在 ( + )m ?， 上是单调函数， 则称 ()hx 在 D 上广义单调试证明函数 ( ) lny f x x x?在 (0 )?， 上广义单调 数学 （附加题） 21【选做题】 本题包括 A、 B、 C、 D四小题 ，请 选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算
9、步骤 B 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10分） 已知矩阵 1=1 ab?M，点 (1 1)?， 在 M 对应的变换 作用下得到点 ( 1 5)?， ， 求 矩阵 M 的 特征值 5 D A C B S P E （第 22 题） C 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心在极轴上，且过极点和点 (3 2 )4， ，求圆 C 的极坐标 方程 【必做题】第 22、 23 题，每小题 10分，共计 20分 请在 答题卡指定区域 内作答， 解 答时应 写出文字说明、证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥 S A
10、BCD? 中， SD? 平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形， 90AD C D AB? ? ? ? ?， 2SD AD AB? ? ?， 1DC? （ 1）求二面角 S BC A?的余弦值； （ 2）设 P 是棱 BC 上一点， E 是 SA 的中点，若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为 22613 ，求线段 CP 的长 6 23（本小题 满分 10 分） 已知函数0() cx dfx ax b? ?（ 0a? ， 0ac bd?） 设 ()nfx为 1()nfx? 的导数， *n?N （ 1）求 1()fx， 2()fx； （ 2）猜想 ()nfx的表达式，并证明你的结论 南
11、通三模 1、 12? ； 2、 |0 2xx? ； 3、 56 ； 4、 3； 5、 7500； 6、 110； 7、 13 ； 8、 52 ； 9、 22； 10、 1； 11、 8； 12、 ? ?46?，13、 2； 14、 3( 2)2? ， 15、【解】 （ 1）由条件， 周期 2T? ， 即 2 2?，所以 1? ，即 ? ?( ) sin 3f x A x? ? 3分 因为 ()fx的 图象经过点 3()32， ， 所以 32sin 32A ? ， 所以 1A? ， 所以 ? ?( ) sin 3f x x? ? 6分 （ 2）由 ( ) 3 ( ) 12ff? ? ?， 得 ?
12、 ? ? ? s i n 3 s i n 13 3 2? ? ? ? ?， ? 8分 即 ? ? ? ? s in 3 c o s 133? ? ? ?， 所以 ? ? 2 sin 133? ? ?，即 1sin 2? ? 12分 因为 ? ?0 ? ， ，所以 6? 或 56 ? 14分 16、【证】（ 1）因为 M， N分别为棱 PD， PC的中点， 所以 MN DC， ? 2分 7 又因为 底面 ABCD是矩形，所以 AB DC， 所以 MN AB ? 4分 又 AB? 平面 PAB， MN? 平面 PAB， 所以 MN平面 PAB ? 6分 （ 2）因为 AP=AD， M为 PD 的中
13、点， 所以 AM PD ? 8分 因为 平面 PAD 平面 ABCD， 又 平面 PAD 平面 ABCD= AD， CD AD， CD? 平面 ABCD， 所以 CD 平面 PAD ? 10 分 又 AM? 平面 PAD，所以 CD AM ? 12分 因为 CD， PD? 平面 PCD， CD PD D? ， 所以 AM平面 PCD ? 14分 17、【解】 （ 1） 方法一：由题意，得222 2 211914caba b c? ? ?，? 3分 解得 2243.ab? ? ?， 所以椭圆的标准方程为 22 143yx ? ? 5分 方法二：由题意，知 2 2 2 2332 (1 1 ) (
14、) (1 1 ) ( ) 422a ? ? ? ? ? ? ?， 所以 2a? 又 1c? ， 2 2 2a b c?，所以 3b? ， 所以椭圆的标准方程为 22 143yx ? ? 5分 （ 2）方法 1： 设直线 AB 的方程为 ( 1)y k x? 若 k=0时， AB=2a=4， FD=FO=1，所以 4ABDF? ； ? 6分 若 k 0时，11()Ax y， 22()Bx y， ， AB的中点为 00()Mx y， ，代入椭圆方程，整理得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 所以 2 2 2 212224 6 1 4 6 13
15、4 3 4k k k kxxkk? ? ? ? ? ?， 所以 20 2434kx k? ?， ? 8分 所以00 23( 1) 34ky k x k? ? ? ?， 所以 AB的垂直平分线方程为 ? ?2223 1 43 4 3 4kkyxk? ? ? ? 因为 DA=DB，所以点 D为 AB的垂直平分线 与 x轴的交点， 所以 22( 0)34kD k? ? ， 所以 223313 4 3 4kkDF ? ? ? ? ? 10 分 因为椭圆的 左准线的方程为 4x? ，离心率为 12 ， 由1 142AFx ?，得11 ( 4)2AF x?， 8 同理21 ( 4)2BF x?所以 21
16、2 0 21 1 2 1 2( ) 4 42 34 kA B A F B F x x x k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 所以 4ABDF? 综上，得 ABDF 的值为 4 ? 14 分 方法 2： 设 11()Ax y， ， 22()Bx y， ， AB的中点为 00()Mx y， ， 若直线 AB 与 x轴重合， 4ABDF? ； ? 6分 若直线 AB 不与 x轴重合， 设 11()Ax y， ， 22()Bx y， ， AB的中点为 00()Mx y， ， 由221122144144xyxy? ? ?，得 2 2 2 21 2 1 2 043x x y y?， 所以 1 2 0 1 2 0( ) ( ) 043x x x y y y? ? ? ?， 所以直线 AB 的斜率为 0121 2
