1、 1 2017 届高三年级第二学期周考（ 12） 数 学 试 题 (总分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 注意事项 ： 1 本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题 第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在 答题卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 参考公式： 方差 s2 1n(x1 x )2 (x2 x )2 (xn x )2，其中 x 为 x1， x2， xn的平均数 柱体的体积公式： V Sh，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高 锥
2、体的体积公式： V 13Sh，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在 答题卡相应位置 上 1已知全集 U 1， 2， 3， 4，集合 A 1， 4， B 3， 4，则 ?U (A B) 2 甲盒子中有编号分别为 1， 2 的 2 个乒乓球，乙盒 子中有编号分别为 3， 4， 5， 6 的 4 个乒乓球现分别从两个盒子中随机地各取出 1 个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于 6 的概率为 3 若复数 z 满足 izz 232 ? ，其中 i 为虚数单位， z 为 复数 z 的共轭复数，则复数 z 的模为 4执行如
3、图所示的伪代码，若输出 y 的值为 1， 则输入 x 的值为 5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的 茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名 运 动员的得分的方差为 6在同一直角坐标系中，函数 y sin(x 3) （ x 0， 2 ）的图象和直线 y 12 的交点的个数是 （第 4 题图） Read x If x 0 Then y 2x 1 Else y 2 x2 End If Print y 7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙 （第 5 题图） 2 7在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x22m2y23m 1 的焦距为 6，则所有满足条件的
4、实数 m 构成的集合是 8已知函数 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数当 x 2， 4时， f(x) |log4(x 32)|， 则 f(12)的值为 9 若等比数列 an的各项均为正数，且 a3 a1 2，则 a5的最小值为 10 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB 1， BC 2， BB1 3， ABC 90 ，点 D 为侧棱 BB1上的动点当 AD DC1最小时， 三棱锥 D ABC1的体积为 11若函数 f(x) ex( x2 2x a)在区间 a， a 1上单调递增， 则实数 a 的最大值为 12 在凸四边形 ABCD 中， BD 2，且 0? BDAC ，
5、 (AB DC )?(BC AD ) 5，则四边形 ABCD的面积为 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O： x2 y2 1，圆 M： (x a 3)2 (y 2a)2 1(a 为实数 )若圆O 与圆 M 上分别存在点 P， Q，使得 OQP 30?，则 a 的取值范围 为 14已知 a， b， c 为正实数，且 a 2b 8c， 2a 3b 2c，则 3a 8bc 的取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 A BCD 中， E， F 分别为棱 BC，
6、 CD 上的点，且 BD平面 AEF （ 1）求证： EF平面 ABD； （ 2）若 BD CD， AE平面 BCD，求证：平面 AEF平面 ACD 16（本小题满 分 14 分） 已知向量 a (2cos ， sin2 )， b (2sin ， t)， (0， 2) t 为实数 A C B A1 B1 C1 D （第 10 题图） A B C F E D （第 15 题图） 3 （ 1）若 a b (25， 0)，求 t 的值； （ 2）若 t 1，且 a ? b 1，求 tan(2 4)的值 17（本小题满分 14 分） 在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域 ABC，及
7、矩形表演台 BCDE四个部分构成（如图） 看台，看台是分别以 AB， AC 为直径的 两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的 3 倍；矩形表演台 BCDE 中， CD 10 米；三角形水域 ABC 的面积为 400 3平方米设 BAC （ 1）求 BC 的长（用含 的式子表示）； （ 2）若表演台每平方米的造价为 0.3 万元，求表演台的最低造价 C B A 水域 看台 表演台 看台 D E （第 17 题图） 4 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中 ，椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的右顶点和上顶点分别为 A， B， M为线段 AB 的中点，且 O
8、M AB 32b2 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）已知 a 2，四边形 ABCD 内接于椭圆， AB DC记直线 AD， BC 的斜率分别 为 k1， k2，求证： k1 k2为定值 19（本小题满分 16 分） 已知常数 p 0，数列 an满足 an 1 |p an| 2 an p， n N* （ 1）若 a1 1， p 1， 求 a4的值； 求数列 an的前 n 项和 Sn （ 2）若数列 an中存在三项 ar， as， at (r， s， t N*， r s t)依次成等差数列， 求 a1p的取值范围 20（本小题满分 16 分） 已知 R，函数 f (x) ex ex (xlnx
9、x 1)的导函数为 g(x) （ 1）求曲线 y f (x)在 x 1 处的切线方程； （ 2）若函数 g (x)存 在极值，求 的取值范围； （ 3）若 x 1 时， f (x) 0 恒成立，求 的最大值 南京市 2017 届高三第三次模拟考试 x y O C B D M A （第 18 题图） 5 数学参考答案及评分标准 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 .） 1 2 2 38 3 5 4 1 5 6.8 6 2 7 32 8 12 9 8 10 13 11 1 52 12 3 13 65， 0 14 27， 30 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分
10、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15（本小题满分 14 分） 证明： （ 1）因为 BD平面 AEF， BD? 平面 BCD，平面 AEF 平面 BCD EF， 所以 BD EF 3 分 因为 BD? 平面 ABD， EF? 平面 ABD， 所以 EF平面 ABD 6 分 （ 2）因为 AE平面 BCD， CD? 平面 BCD， 所以 AE CD 8 分 因为 BD CD， BD EF， 所以 CD EF， 10 分 又 AE EF E， AE? 平面 AEF， EF? 平面 AEF， 所以 CD平面 AEF 12 分 又 CD? 平面 ACD， 所以 平面 AEF平面 ACD
11、 14 分 16（本小题满分 14 分） 解： （ 1）因为 向量 a (2cos ， sin2 )， b (2sin ， t)， 且 a b (25， 0)，所以 cos sin 15， t sin2 2 分 由 cos sin 15 得 (cos sin )2 125， 即 1 2sin cos 125，从而 2sin cos 2425 所以 (cos sin )2 1 2sin cos 4925 6 因为 (0， 2)，所以 cos sin 75 5 分 所以 sin (cos sin ) (cos sin )2 35， 从而 t sin2 925 7 分 （ 2）因为 t 1，且 a
12、? b 1， 所以 4sin cos sin2 1，即 4sin cos cos2 因为 (0， 2)，所以 cos 0，从而 tan 14 9 分 所以 tan2 2tan1 tan2 815 11 分 从而 tan(2 4)tan2 tan 41 tan2 tan 4815 11 815 237 14 分 17（本小题满分 14 分） 解： （ 1）因为看台的面积是看台的面积的 3 倍，所以 AB 3AC 在 ABC 中， S ABC 12AB?AC?sin 400 3， 所以 AC2 800sin 3 分 由余弦定理可得 BC2 AB2 AC2 2AB?AC?cos ， 4AC2 2 3
13、AC2 cos (4 2 3cos ) 800sin ， 即 BC (4 2 3cos )? 800sin 40 2 3cossin 所以 BC 40 2 3cossin ， (0， ) 7 分 （ 2）设表演台的总造价为 W 万元 因为 CD 10m，表演台每平方米的造价为 0.3 万元， 所以 W 3BC 120 2 3cossin ， (0， ) 9 分 记 f( ) 2 3cossin ， (0， ) 7 则 f ( ) 3 2cossin2 11 分 由 f ( ) 0，解得 6 当 (0， 6 )时， f ( ) 0；当 ( 6 ， ) 时， f ( ) 0 故 f( )在 (0， 6)上单调递减，在 ( 6 ， ) 上单调递增， 从而当 6 时， f( )取得最小值，最小值为 f( 6) 1 所以 Wmin 120(万元 ) 答：表演台的最低造价为 120 万元 14 分 18（本小题满分 16 分） 解： （ 1） A(a， 0)， B(0， b)，由 M 为线段 AB 的中点得 M(a2， b2) 所以 (a2， b2)， ( a， b) 因为
