1、 - 1 - 江苏省南京市 2018届高三数学 12月联考试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4页 ,包含填空题 (共 14题 )、解答题 (共 6题 ),满分为 160分 ,考试时间为 120分钟。考试结束后 ,请将答题卡交回。 2.答题前 ,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5毫米签字笔填写在答题卡上。 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 ,在其它位置作答一律无效。如有作图需要 ,可用 2B 铅笔作答 ,并请加黑、加粗 ,描写清楚。 一、填空题 :本大题共 14小题 ,每小题 5分 ,
2、共计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1.集合 A=x|0 x2, B=-1,2,3,则 A B= . 2.若复数 z满足 z=i(2-i)(i是虚数单位 ),则复数 z的模 |z|= . 3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控 ,从速度在 5090 km/h的汽车中抽取 200辆进行分析 ,得到数据的频率分布直方图 (如图所示 ),则速度在 70 km/h 以下的汽车有 辆 . 4.如图 ,若输入的 x值为 16,则相应输出的值 y为 . 第 3题图 第 4题图 5.已知变量 x,y满足约束条件 错误 !未找到引用源。 则 x+y的最大值是 . 6.某校高三年
3、级学生会主席团共由 4名学生组成 ,其中有两名学生来自同一班级 ,另外两名学生来自另两个不同班级 .现从中随机选出两名学生参加会议 ,则选出的两名学生来自不同班级的概率为 . 7.已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开图是半圆 ,则该圆锥的体积为 . 8.已知双曲线 错误 !未找到引用源。 -错误 !未找到引用源。 =1(a0,b0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为 . 9.在等差数列 an中 ,若 a4=4,错误 !未找到引用源。 -错误 !未找到引用源。 =96,则数列 an的前 10项和 S10= . 10.将函数 y=sin(2x+错误 !未找到引用源。 )的图象向
4、右平移 (0b0)的离心率为 错误 !未找到引用源。 ,且点 (错误 !未找到引用源。 ,错误 !未找到引用源。 )在椭圆 C上 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)设 P 为椭圆上第一象限内的点 ,点 P关于原点 O的对称点为 A,点 P关于 x轴的对称点为 Q,设 错误 !未找到引用源。 = 错误 !未找到引用源。 ,直线 AD与椭圆 C的另一个交点为 B,若 PA PB,求实数 的值 . - 3 - 18.(16分 ) 一块圆柱形 木料的底面半径为 6 cm,高为 16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒 ,在木料一端中间掏去一个小圆柱 ,使小圆柱与原木料同轴 ,并且掏取的圆柱体积是原木
5、料体积的三分之一 .设小圆柱底面半径为 r,高为 h,要求笔筒底面的厚度超过 1 cm. (1)求 r 与 h的关系 ,并指出 r的取值范围 ; (2)笔筒成形后进行后续加工 ,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆 ,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为 a(元 / cm2),桶内侧面喷漆费用是 2a(元 / cm2),而筒内底面铺贴金属薄片 ,其费用是 7a(元 / cm2)(其中 a为正 常数 ). 将笔筒的后续加工费用 y(元 )表示为 r的函数 ; 求出当 r取何值时 ,能使笔筒的后续加工费用 y最小 ,并求出 y的最小值 . 19.(16分 ) 已知函数 f(x)=x(l
6、n x-ax)(aR) . (1)当 a=0时 ,求函数 f(x)的最小值 ; (2)若函数 f(x)既有极大值又有极小值 ,求实数 a的取值范围 ; (3)设 g(x)=ax2-(a-1)x+a,若对任意的 x(1, + ),都有 f(x)+g(x)0,求整数 a 的最大值 . 20.(16分 ) 已知数列 an的首项 a10, 其前 n项和为 Sn,且 Sn=3an-2a1对任意正整数 n都成立 . (1)证明 :数列 an为等比数列 ; (2)若 a1=错误 !未找到引用源。 ,设 bn=错误 !未找到引用源。 ,求数列 bn的前 n项和为 Tn; (3)若 a1,ak(k3, kN *
7、)均为正整数 ,如果存在正整数 q,使得 a1 qk-1, ak( q+1)k-1,证明 :a1=2k-1. - 4 - 高三数学考试卷参考答案 1.2 2.错误 !未找到引用源。 3.100 4.4 5.4 6.错误 !未找到引用源。 7.错误 !未找到引用源。 8.错误 !未找到引用源。 9.70 10.错误 !未找到引用源。 11.(错误 !未找到引用源。 ,2 12.-4 13.(-错误 !未找到引用源。 ,+ ) 14.2错误 !未找到引用源。 -1 15.证明 :(1)因为 D,E分别为 AB,AC的中点 , 所以 DE BC. . 2分 又 DE?平面 PDE,BC?平面 PDE
8、, 所以 BC 平面 PDE. . 5分 (2)过点 P作 PO CD,垂足为 O. 又平面 PCD 平面 ABC,PO?平面 PCD, 平面 PCD 平面 ABC=CD,所以 PO 平面 ABC. 又因为 AB?平面 ABC,所以 AB PO. . 9分 因为 PA=PB,D为 AB的中点 ,所以 AB PD. . 11分 又 PDC为锐角 ,一定有 PO PD=P,PO,PD?平面 PCD,所以 AB 平面 PCD. 又 PC?平面 PCD, 所以 AB PC. . 14分 16.解 :(1)由 sin Bsin(B+错误 !未找到引用源。 )=错误 !未找到引用源。 ,可得 sin B(
9、sin Bcos错误 !未找到引用源。 +cos Bsin错误 !未找到引用源。 )=错误 !未找到 引用源。 , 即 错误 !未找到引用源。 sin2B+错误 !未找到引用源。 sin Bcos B=错误 !未找到引用源。 ,故 错误 !未找到引用源。 +错误 !未找到引用源。 sin 2B=错误 !未找到引用源。 ,整理得 sin(2B-错误 !未找到引用源。 )=1. . 3分 又 B为三角形的内角 ,即 B(0, ),于是 2B-错误 !未找到引用源。 ( -错误 !未找到引用源。 ,错误 !未找到引用源。 ), 所以 2B-错误 !未找到引用源。 =错误 !未找到引用源。 ,从而 B
10、=错误 !未找到引用源。 . . 6分 (2)sin A+sin C=sin A+sin( -(A+B)=sin A+sin(错误 !未找到引用源。 -A) =sin A+sin错误 !未找到引用源。 cos A-cos错误 !未找到引用源。 sin A=错误 !未找到引用源。cos A+错误 !未找到引用源。 sin A=错误 !未找到引用源。 sin(A+错误 !未找到引用源。 ).10分 因为 A为三角形的内角 ,且 B=错误 !未找到引用源。 , 于是 A(0, 错误 !未找到引用源。 ),故 A+错误 !未找到引用源。 ( 错误 !未找到引用源。 ,错误 !未找到引用源。 ),所以
11、sin(A+错误 !未找到引用源。 )( 错误 !未找到引用源。 ,1. 所以 sin A+sin C=错误 !未找到引用源。 sin(A+错误 !未找到引用源。 )( 错误 !未找到引用源。 ,错误 !未找到引用源。 . 即 sin A+sin C的取值范围是 (错误 !未找到引用源。 ,错误 !未找到引用源。 . . 14分 17.解 :(1)因为点 (错误 !未找到引用源。 ,错误 !未找到引用源。 )在椭圆 C上 ,则 错误 !未找到引用源。 +错误 !未找到引用源。 =1, - 5 - 又椭圆 C的离心率为 错误 !未找到引用源。 ,可得 错误 !未找到引用源。 =错误 !未找到引用
12、源。 ,即 c=错误 !未找到引用源。 a, 所以 b2=a2-c2=a2-(错误 !未找到引用源。 a)2=错误 !未找到引用源。 a2,代入上式 ,可得 错误 !未找到引用源。 +错误 !未找到引用源。 =1, 解得 a2=4,故 b2=错误 !未找到引用源。 a2=1. 所以椭圆 C的方程为 错误 !未找到引用源。 +y2=1. . 6分 (2)设 P(x0,y0),则 A(-x0,-y0),Q(x0,-y0). 因为 错误 !未找到引用源。 = 错误 !未找到引用源。 ,则 (0,yD-y0)= (0,-2y0),故 yD=(1-2 )y0. 所以点 D的坐标为 (x0,(1-2 )y
13、0). . 8分 设 B(x1,y1),则 kPB kBA=错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用 源。 =错误 !未找到引用源。=错误 !未找到引用源。 =-错误 !未找到引用源。 . . 11分 又 kBA=kAD=错误 !未找到引用源。 =(1- ) 错误 !未找到引用源。 , 故 kPB=-错误 !未找到引用源。 =-错误 !未找到引用源。 . 又 PA PB,且 kPA=错误 !未找到引用源。 , 所以 kPBkPA=-1,即 -错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用源。 =-1,解得 =错误 !未找到引用源。 . 所以 =错误 !未找到引用源。 . . 14分 18.解 :
14、(1)据题意 , r2h=错误 !未找到引用源。 ( 62 16),所以 r2h=192,即 h=错误 !未找到引用源。 . . 3分 因为 16-h1,故 h错误 !未找到引用源。 . 又 00,h(x)=f(x)在 (0,+ )上单调递增 , 故 f(x)在 (0,+ )上至多有一个零点 , 此时 ,函数 f(x)在 (0,+ )上至多存在一个极小值 ,不存在极大值 ,不符题意 ; . 4分 当 a0时 ,令 h(x)=0,可得 x=错误 !未找到引用源。 ,列表 : x (0,错误 !未找到引用源。 ) (错误 !未找到引用源。 ,+ ) h(x) + 0 - h(x) 极大值 若 h(
15、错误 !未找到引用源。 )0, 即 a 错误 !未找到引用源。 时 ,h(x) h(错误 !未找到引用源。 )0, 即 f(x)0, 故函数 f(x)在 (0,+ )上单调递减 ,函数 f(x)在 (0,+ )上不存在极值 ,与题意不符 , . 5分 若 h(错误 !未找到引用源。 )0,即 01错误 !未找到引用源。 ,且 h(错误 !未找到引用源。 )=ln错误 !未找到引用源。 -错误 !未找到引用源。 +1=-错误 !未找到引用源。 0,函数 f(x)在 (0,x1)上单调递增 ,函数 f(x)在 x=x1处取极小值 . . 7分 由于 错误 !未找到引用源。 0,故 (a)在 (0,1)上单调递增 ,所以 (a)0,函数 f(x)在 (错误 !未找到引用源。 ,x2)上单调递增 ; 当 x( x2,+ )时 ,f(x)0对任意的 x(1, + )恒成立 , 可得 xln x-(a-1)x+a0对任意的 x(1, + )恒成立 . 即 a0,则 t(x)在 (1,+ )是单调增函数 , 又 t(3)=1-ln 30,且 t(x)在 3,4上的图象是不间断的 , 所以 ,
