1、 - 1 - 2017-2018 第一学期高三数学（理 12 月）提高卷 1.(15 分 )已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 21,2?，离心率为 22 ， 1A ， 2A是椭圆 C 的长轴的两个端点（ 2A 位于 1A 右侧）， B 是椭圆在 y 轴正半轴上的顶点 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）是否存在经过点 ? ?0, 2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P 和 Q ，使得向量OP OQ? 与 2AB共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由 . - 2 - 2.（ 15 分） 已知函数 ? ? ? ?1 ln ,f x a x
2、 x x a R? ? ? ?，函数 ?fx的导函数为 ?fx? 若直线 l 与曲线 ? ?y f x? 恒相切于同一定点，求 l 的方程； 若 10 2a? ，求证：当 1x? 时， ? ? xef x e? ? 恒成立； 若当 1x? 时， ? ? xef x e? 恒成立，求实数 a 的取值范围 - 3 - 答案 : 1 （ 1） 2 2 12x y?（ 2）不存在 【解析】试题分析：（ 1） 依题意得2 2 222,2,21112a b ccaab?解得 2 2a? ， 2 1b? . 所以椭圆 C 的方程为 2 2 12x y?.（ 2）假设存在过点 ? ?0, 2 且斜率为 k 的
3、直线 l 适合题意，则 因 为 直 线 l 的 方 程 为 ： 2y kx? ， 于 是 联 立 方 程 ， 222 12y kxx y? 221 2 2 1 02 k x kx? ? ? ? .由直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P 和 Q 知， 22184 2kk? ? ? ? ? 24 2 0k ? ， 2 12k?. 令 ? ?11,P x y ， ? ?22,Q x y ， ? ?1 2 1 2,O P O Q x x y y? ? ? ? ?，由韦达定理得出结论， 224 2 2 2,1 2 1 2kO P O Q kk? ? ? ? ? ?222 2 ,112 kk? ，根据向
4、量 OP OQ? 与 2AB共线，可得 22k? ， 22k? ，这与 2 12k ?矛盾 . 试题解析： （ 1）设椭圆的方程为 22 1( 0)xy abab? ? ? ?， .依题意得2 2 222,2,21112a b ccaab?解得 2 2a? ， 2 1b? . 所以椭圆 C 的方程为 2 2 12x y?. - 4 - （ 2）假设存在过点 ? ?0, 2 且斜率为 k 的直线 l 适合题意，则因为直线 l 的方程为： 2y kx? ，于是联立方程， 222 12y kxx y? 221 2 2 1 02 k x kx? ? ? ? . 由直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P
5、 和 Q 知， 22184 2kk? ? ? ? ? 24 2 0k ? ， 2 12k?. 令 ? ?11,P x y ， ? ?22,Q x y ， ? ?1 2 1 2,O P O Q x x y y? ? ? ? ?， 12 24212kxx k? ? ? ?， ? ?1 2 1 2 22y y k x x? ? ? ? 22212k? ?， 224 2 2 2,1 2 1 2kO P O Q kk? ? ? ? ?222 2 ,112 kk?， 由题知 ? ?2 2,0A， ? ?0,1B ， ? ?2 2,1AB?. 从而，根据向量 OP OQ? 与 2AB共线，可得 22k? ，
6、 22k? ，这与 2 12k ? 矛盾 . 14 分 2 (1) 0xy?;(2)详见解析 ;(3) 1,2? ?. 【解析】试题分析：（ 1）由直线 l 与曲线 ? ?y f x? 恒相切于同一定点转化为曲线 ? ?y f x? 必恒过定点，即可求出切线 l 的方程（ 2）构造 ? ? ? ?xh x e ef x? ?，研究 ?hx的单调性，从而证明当 1x? 时， ? ? xef x e? ? 恒成立（ 3）按照题目意思构造 ? ? ? ?xg x e ef x? ，求导后进行分 类讨论，当 0a? 时、当 10 2a? 时和当 12a? 时三种情况，求得实数 a 的取值范围 解析：
7、因为直线 l 与曲线 ? ?y f x? 恒相切于同一定点， 所以曲线 ? ?y f x? 必恒过定点， 由 ? ? ? ?1 ln ,f x a x x x a R? ? ? ?，令 ? ?1 ln 0xx?，得 1x? ， 故得曲线 ? ?y f x? 恒过的定点为 ? ?1,1 . - 5 - 因为 ? ? 1ln 1 1f x a xx? ? ? ?，所以切线 l 的斜率 ? ?11kf? ? ? ， 故 切线 l 的方程为 yx? ，即 0xy?. 因为 ? ? 1ln 1 1f x a xx? ? ? ?， 所以令 ? ? ? ? ? ?1l n 1 1 , 1 ,xxh x e
8、e f x e e a x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 211xh x e ea xx? ? ? ? ，设 ? ? 211 ,1xm x e ea xxx? ? ? ?， ? ? 3221 0xm x e e a xx? ? ? ?， ? ?mx? 在 ? ?1,? 上单调递增， 当 10 2a? 时， ? ? ? ?1 1 2 0m e a? ? ?， ? ? 0mx?即 ? ? 0hx? ? 在 ? ?1,? 上恒成立， ? ?hx? 在 ? ?1,? 上单调递增， 因为 ?10h ? ，故当 1x? 时， ? ? 0hx? 即 ? ? xef x e? ?
9、恒成立； 令 ? ? ? ? ? ? ? ?1 l n , 1 ,xxg x e e f x e e a x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?1l n 1 1 , 1 ,xxg x e e f x h x e e a x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ? 211xh x e ea xx? ? ? ? ， 1x? ， 当 0a? 时，因为 ? ? 0hx? ? ， 所以 ?hx在 ? ?0,? 上单调递增，故 ? ? ? ? ? ?00h x g x h?， 因为当 ? ?1,x? ? 时， ? ? 0gx? ? ， 所以
10、 ?gx在 ? ?1,? 上单调递增，故 ? ? ? ?10g x g?. 从而，当 1x? 时， ? ? xef x e? 恒成立 . - 6 - 当 10 2a? 时，由可得 ? ? 0gx? ? ， 所以 ?gx在 ? ?1,? 上单调递增，故 ? ? ? ?10g x g?. 从而，当 1x? 时， ? ? xef x e? 恒成立 . 当 12a? 时， ?hx? 在 ? ?1,? 上单调递增， 所以当 1x? 时， ?hx? 在 ? ?1,x? ? 内取得最小值 ? ? ? ?1 1 2 0h e a? ? ? . 故必存在实数 0 1x? ，使得在 ? ?01,x 上 ? ? 0
11、hx? ? ，即 ?hx在 ? ?01,x 上单调递减， 所以当 ? ?01,xx? 时， ? ? ? ? ? ?10h x g x h?，所以 ?gx在 ? ?01,x 上单调递减， 此时存在 0 1xx?，使得 ? ? ? ?0 10g x g?，不符合题设要求 . 综上所述，得 m 的取值范围是 1,2? ?. 说明：也可以按 以下方式解答： 当 12a? 时， ?hx? 在 ? ?1,? 上单调递增， 所以当 1x? 时， ?hx? 在 ? ?1,x? ? 内取得最小值 ? ?1 1 2 0ha? ? ? ， 当 x? 时， 211,0xea xx? ? ? ? ?，所以 ? ?hx? ? ， 故存在 ? ?0 1,x ? ? ，使得 ? ?0 0hx? ? ，且当 ? ?01,xx? 时， ? ? 0hx? ? ， 下同前述的解答 .
