1、 - 1 - 2017-2018 第一学期高三数学（文 12 月）提高卷 1.(15 分 ) 给定一个数列 an，在这个数列里，任取 m(m3 ， m N*)项，并且不改变它们在数列 an中的先后次序，得到的数列称为数列 an的一个 m 阶子数列 已知数列 an的通项公式为 an 1n a (n N*， a 为常数 )，等差数列 a2， a3， a6是数列 an的一个 3 阶子数列 （ 1）求 a 的值； （ 2）等差数列 b1， b2， ， bm是 an的一个 m (m3 ， m N*) 阶子数列，且 b1 1k(k 为常数，k N*， k2) ，求证： m k 1； （ 3）等比数列 c1
2、， c2， ， cm是 an的一个 m (m3 ， m N*) 阶子数列， 求证： c1 c2 cm2 12m 1 - 2 - 2.(15 分 )已知函数是定义在 e? ， 0()0? ， e 上的奇函数， 当 0(?x ， e 时 , xaxxf ln)( ? （ Ra? ） . （ ） 求 )(xf 的解析式 ； （） 设xxxg ln)( ?， ex ? ， )0 ，求证：当 1?a 时， 21)()( ? xgxf 恒成立； （ ） 是否存在 实数 a ，使得当 ex ? ， )0 时 ， )(xf 的最小值是 3 ？如果存在， 求出实数 a 的值；如果不存在，请说明理由 . - 3
3、- 答案 : 解 ：（ 1）因为 a2， a3， a6成等差数列，所以 a2 a3 a3 a6 又因为 a2 12 a， a3 13 a， a6 16 a， 代入得 12 a 13 a 13 a 16 a，解得 a 0 （ 2）设等差数列 b1， b2， ， bm的公差为 d 因为 b1 1k，所以 b2 1k 1， 从而 d b2 b1 1k 1 1k 1k(k 1) 所以 bm b1 (m 1)d 1k m 1k(k 1) 又因为 bm 0，所以 1k m 1k(k 1) 0 即 m 1 k 1所以 m k 2 又因为 m， k N*，所以 m k 1 （ 3）设 c1 1t (t N*)
4、，等比数列 c1， c2， ， cm的公比为 q 因为 c2 1t 1，所以 q c2c1 tt 1 从而 cn c1qn 1 1t? ?tt 1n 1（ 1 n m， n N*） 所以 c1 c2 cm 1t 1t? ?tt 11 1t? ?tt 12 1t? ?tt 1m 1 t 1t 1 ? ?tt 1m t 1t ? ?tt 1m 1 设函数 f(x) x 1xm 1，（ m3 ， m N*） 当 x (0， ) 时，函数 f(x) x 1xm 1为单调增函数 因为当 t N*，所以 1 t 1t 2 所以 f(t 1t )2 12m 1 即 c1 c2 cm2 12m 1 （）解：设
5、 ,0)xe?，则(0, ?，所以) ln( )f x ax x? ? ? ? ?， 又因为()fx是定义在 ,0) (0, ee?上的奇函数，所以( ( ) ln( )f x f x ax x? ? ? ? ? ?， - 4 - 故函数()fx的解析式为? ? ? xax xaxxf ln )ln()( ,0( 0, ex ex?. 3 分 （ ）证明：当 ,0)xe?且1a?时， )ln()( xxxf ? ， xxxg ? )ln()( ，设ln( ) 1() 2xhx x?， 因为11( ) 1 xxx? ? ? ? ? ?， 所以当1ex? ?时，( ) 0? ?，此时()fx单调递
6、减； 当10x? ?时 ，?，此时 单调递增， 所以m in( ) ( 1) 1 0f x f? ? ? ?， 又因为2ln( ) 1() xhx x? ?， 所以当0? ? ?时，( ) 0hx? ?，此时()单调递减， 所以 ? )()( max ehxh 12121211 ?e min)(xf? ， 所以当 ,0)?时，( ) ( ),x h x?即1) ( ) 2f x g x?. 8 分 （ ）解：假设存在实数a，使得当 ,0)xe?时，( ) ln( )f x ax x? ? ?有最小值是 3 ， 则11() axf x a xx? ? ? ?， 9 分 （）当0?， ,0)时，1
7、( ) 0fx x? ?()在区间 ,0)e?上单调递增， m in( ) ( ) 1f x f e? ? ? ?，不满足最小值是 3 ， （ ）当a?， ,0)时，( ) 0fx? ?， 在区间 ,0)e上单调递增， )()( min efxf ? 01? ae ，也不满足最小值是 3 ， （ ）当1 0ae? ? ?，由于 ,0)?，则1( ) 0f x a x? ? ?，故函数( ) ln( )f x ax x? ? ?是 ,0)e上的增函数， 所以 )()( min efxf ? 31? ae ，解得41a ee? ?（舍去）， （）当1e?时，则当1exa? ?时，1( ) 0f x a x? ? ? ?，此时函数( ) ln( )f x ax x? ? ?是- 5 - 减函数；当1 0xa?时，1( ) 0f x a x? ? ? ?，此时函数( ) ln( )f x ax x? ? ?是增函数， 所以 )1()(min afxf ? 3)1ln(1 ? a，解得2ae?， 13 分 综上可知，存在实数2?，使得当 ,0)xe?时，()fx有最小值 3 . 14 分
