1、 1 2015 级高三上学期 8 月调研考试 数学 （文）试题 第卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1.已知实数 ,mn满足 93 32i nimi? ? （ i 为虚数单位），则 32mn?（ ） A 13 B 13? C 3 D -3 2.已知集合 2 | 3 1 0 0A x x x? ? ? ?， | ln( 2)B x y x? ? ?，则 ()RA C B ? （ ） A (2,5) B 2,5) C ( 2,2? D ( 2,2)? 3.某校高中部共 n 名学生，其中高一年级 4
2、50 人，高三年级 250 人，现采用分层抽样的方法从全校学生中随机抽取 60 人，其中从高一年级中抽取 27 人，则高二年级的人数为（ ） A 250 B 300 C 500 D 1000 4. 已知抛物线 C ： 2 2 ( 0)x py p?的焦点为 F ，点 P 为抛物线 C 上的一点，点 P 处的切线与直线 yx? 平行，且 | | 3PF? ，则抛物线 C 的方程为（ ） A 2 4xy? B 2 8xy? C. 2 6xy? D 2 16xy? 5. 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 2670，则判断框中的条件可以为（ ） A 5?i? B 6?i? C. 7?i?
3、D 8?i? 6.已知函数 ( ) ( 1) lnf x x e x? ? ?，则不等式 ( ) 1xfe? 的解集为（ ） A (0,1) B (1, )? C. (0,)e D (, )e? 7. 如图，已知矩形 ABCD 中， 4 83AB BC?，现沿 AC 折起，使得平面 ABC? 平面 ADC ，连接 BD ，得到三棱锥 B ACD? ，则其外接球的体积为（ ） 2 A 5009? B 2503? C. 10003? D 5003? 8. 九章算术中有这样一则问题：“今有良马与弩马发长安，至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马
4、先至齐，复还迎弩马 .”则现有如下说法：弩马第九日走了九十三里路；良马前五日共走了一千零九十五里路；良马和弩马相遇时，良马 走了二十一日 .则以上说法错误的个数是（ ）个 A 0 B 1 C. 2 D 3 9. 已知函数2221( ) 3, 22, 2 21( ) 3, 22xxxxxx? ? ? ? ? ? ? ? ?，若关于 x 的方程 ( ) 0f x a?有 2 个实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） A (0,3) B (0,3 C. (0,3) 4 D (0,3 4 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的棱长不可能为（ ） A 22
5、 B 4 C. 25 D 26 11. 已知双曲线 E ： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?上的四点 , , ,ABCD 满足 AC AB AD?，若直线AD 的斜率与直线 AB 的斜率之积为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 3 B 2 C. 5 D 22 12.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 5a? ，11 6 ( 2 )2nna a n? ? ? ?，若对任意的 *nN? ，1 ( 4 ) 3np S n? ? ?恒成立，则实数 p 的取值范围为（ ） A (2,3 B 2,3 C. (2,4 D 2,4 第卷（共 90 分） 二、填空题（每
6、题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 3 13.已知 1,7m? ，则不等式 1 4| | xmx ?恒成立的概率为 14. 已知等腰直角三角形 ABC 中， AB AC? ， ,DE分别是 ,BCAB 上的点，且 1AE BE?，3CD BD? ，则 ?CEAD 15. 已知实数 ,xy满足214422yxxyxy? ? ?，则 21()2 xyz ? 的最小值为 16.已知数列 na 满足： 212 5 7 5 *213 3 3 ( ) ( )3n nnaaa nN?，令*15| | ( )n n n nT a a a n N? ? ? ? ?，则 nT 的最小值为 三、解答题
7、 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且 2 2 22 s in 3 3 ( )b A b a c? ? ?，27b? . （ 1）求 ABC? 的外接圆半径的大小； （ 2）若 7cos 14C? ， AB 边上的中线为 CD ，求线段 AD 的长及 ACD? 的面积 . 18. 如图，三棱锥 P ABC? 中， PC? 平面 ABC ， ,FGH 分别是 ,PC AC BC 的中点， I 是线段 FG 上的任意一点， 22PC AB BC? ? ?，过点 F 作平行于底面 A
8、BC的平面 DEF 交 AP 于点 D ，交 BP 于点 E . （ 1）求证： /HI 平面 ABD ； （ 2）若 AC BC? ，求点 E 到平面 FGH 的距离 . 4 19. 已知具有相关关系的两个变量 ,xy之间的几组数据如下表所示： （ 1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a?，并估计当20x? 时， y 的值； （ 3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取 2 个点，求这两个点都在直线2 4 0xy? ? ? 的右下方的概率 . 参考 公式： 1221()niiini
9、ix y nxybx n x?， a y bx? . 20. 已知椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦点 分别为 12,FF，点 23( 1, )3P? 在椭圆 C 上，2 43|3PF ?，过点 1F 的直线 l 与椭圆 C 分别交于 ,MN两点 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若 OMN? 的面积为 1211 ，求直线 l 的方程 . 21. 已知函数 ( ) co s sinxf x ae x x x?，且曲线 ()y f x? 在 (0, (0)f 处的切线与 0xy?平行 . （ 1）求实数 a 的值； （ 2）当 , 22x ? 时，试探究
10、函数 ()fx的零点个数 ，并说明理由 . 5 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 1C 的普通方程为 22 2 4 0x y x? ? ? ?，曲线 2C 的参数方 程为 2xtyt? ? ?（ t为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 . （ 1）求曲线 1C 、 2C 的极坐标方程； （ 2）求曲线 1C 与 2C 交点的极坐标，其中 0? ， 02? . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | | | | 4f x x a x b?
11、 ? ? ? ?. （ 1）若 2a? ， 0b? ，在网格纸中作出函数 ()fx的图像； （ 2）若关于 x 的不等式 ( ) 0fx? 恒成立，求 ab? 的取值范围 . 6 2015 级高三上学期 8 月调研考试 数学（文）答案 一、选择题 1-5: DCBCB 6-10: ADBDB 11、 12： AB 二、填空题 13. 12 14. 12 15. 2 16.15 三、解答题 17.（ 1）依题意， 2 2 22 s in 3 3 ( )b c A b a c? ? ?， 故 2 2 2s in 3 3 c o s2b A a c b Ba a c?，故 sin sin 3 cos
12、sinBA BA ? ， 故 tan 3B? ，又 B 是 ABC? 内角，故 3B ? ，故 2 2 12 sin 3bRRB? ? ?. （ 2）因为 7cos 14C? ，故 3 21sin 14C? ，由正弦定理知，3 2 127sin 14 6sin 32bCcB? ? ?， 故 3AD? ， 21s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i n 7A B C B C B C? ? ? ? ?， 故 ACD? 的面积 1 1 2 1s in 2 7 3 3 32 2 7S A C A D A? ? ? ? ? ? ? ?. 18.（ 1）因为 ,GHF
13、分别是 ,AC BC PC 的中点， 故 /AB GH ， /FH PB ， 又 AB? 平面 ABD ， BE? 平面 ABD ，所以 /GH 平面 ABD ， /HF 平面 ABD ， 因为 GH? 平面 GHF ， HF? 平面 GHF ， GH HF H? ，故平面 /GHF 平面 ABD ； 因为 HI? 平面 GHF ，故 /HI 平面 ABD . （ 2）由（ 1）， /BE HF ， /BE 平面 FGH ， 又 H 是 BC 中点， E 到平面 FGH 的距离等于 C 到平面 FGH 的距离， 依题意， 52HF? ， 1HG? ， 72GF? ， 故571544c o s1
14、05212GHF? ? ?； 7 故 95sin 10GHF?，记点 E 到平面 FGH 的距离为 h ，因为 E G H F C G H F F G H CV V V? ? ?， 故 1 1 1 3 1 1 5 9 5( ) 1 ( 1 )3 2 2 2 3 2 2 1 0 h? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 5719h? . 19. （ 1）散点图如图所示： （ 2）依题意，1 ( 2 4 6 8 1 0 ) 65x ? ? ? ? ? ?，1 (3 6 7 1 0 1 2 ) 7 .65y ? ? ? ? ? ?， 5 21 4 1 6 3 6 6 4 1 0 0 2 2 0
15、ii x? ? ? ? ? ? ?， 51 6 2 4 4 2 8 0 1 2 0 2 7 2iii xy? ? ? ? ? ? ?， 5 15 22215 2 7 2 5 6 7 . 6 4 41 . 12 2 0 5 6 4 05 ( )iiiiix y x ybxx? ? ? ? ?， 7.6 1.1 6 1a ? ? ? ?； 回归直线方 程为 1.1 1yx?，故当 20x? 时， 23y? . （ 3）五个点中落在直线 2 4 0xy? ? ? 右下方的三个点记为 ,ABC ，另外两个点记为 ,DE，从这五个点中任取两个点的结果有( , ) , ( , ) , ( , ) , (
16、, ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A B A C A D A E B C B D B E C D C E D E共 10 个，其中两个点均在直线 2 4 0xy? ? ? 的右下方的结果有 3 个，所以概率为 310P? . 20.（ 1）由题意得：2222 2 214134 4 3( 1 )33abca b c? ? ? ? ? ? ?，解得 3a? ， 2b? ， 1c? ，故所求椭圆方程为 22132xy?. 8 （ 2）当直线 MN 与 x 轴垂直时， 43|3MN ? ，此时 233MONS? ?，不符合题意，舍去；
17、 当直线 MN 与 x 轴不 垂直时，设直线 MN 的方程为 ( 1)y k x?， 由 22132( 1)xyy k x? ?消去 y 得： 2 2 2 2( 2 3 ) 6 ( 3 6 ) 0k x k x k? ? ? ? ?， 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y，则212 2212 26233623kxxkkxxk? ? ? ? ? ?， 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) M N x x y y x x k x k x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2212(1 )( )k x x?
18、 ? ? 221 2 1 2(1 )( ) 4 k x x x x? ? ? ? 2222 2 23 6 1 2 2 4(1 ) ( 2 3 ) 2 3kkk ? ? ?2248( 1)(2 3 )k k? ?224 3( 1)23kk? ?原点 O 到直线 MN 的距离2|1kd k? ? . 三角形的面积 22 21 1 4 3 ( 1 ) | |2 2 2 3 1M O N kkS M N d k k? ? ? ? ? ?， 由 1211MONS? ?，得 2 3k? ，故 3k? ， 直线 MN 的方程为 3( 1)yx?或 3( 1)yx? ? . 21.（ 1）依题意， (0) 1f ? ，又 ( ) (c o s s in ) s in c o sxf x a e x x x x x? ? ? ?，故 (0)fa? ，解得 1a? . （ 2） 当 ,02x ? 时， &
