1、n可靠度R(t)n产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。n失效率(t)n工作到某时刻t时尚未失效或故障的产品，在t时刻以后的下一个单位时间内发生失效或故障的概率。可靠性指标及其可靠性指标及其内在关系内在关系故障分布密度函数)(tf累积故障概率)(tF可靠度)(tR)(tf1dxxftFt)()(0dxxftRt)()()(tF)()(tFtf1)(1)(tFtR)(tR)()(tRtf)(1)(tRtF1)(tdxxtettf)(0)()(dxxtetF)(01)(dxxtetR)(0)(第二章 不可修复系统的可靠性2.1 可靠性功能逻辑图2.2 串联系统2.3 并联系统2.4 混联
2、系统2.5 表决系统2.6 旁联系统2.7 网络系统1可靠性功能逻辑图n就其就其功能功能研究系统可靠性。研究系统可靠性。n可靠性逻辑图：可靠性逻辑图：n系统与单元系统与单元功能间功能间的逻辑关系图的逻辑关系图n建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功能上研究系统类型能上研究系统类型1可靠性功能逻辑图BAC2C1n例1：逻辑关系？1可靠性功能逻辑图n如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。其系统逻辑框图为：q如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：ABC1C2ABC1C21可靠性功能逻辑图q例2：AB12逻
3、辑关系？1可靠性功能逻辑图q如果研究的是液体“流通”：1、2都实现自己的功能“开启”，系统才能实现液体“流通”。其逻辑框图为：q如果研究的是液体“被截流”：1、2只要有一个功能正常“关闭”，系统就可实现“被截流”。其逻辑框图为：AB12AB121可靠性功能逻辑图q若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量（指标）。q主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方法。q假设：系统、单元均有两种状态正常与失效；各单元所处的状态是相互独立的。2串联系统 q特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作
4、；只要有一个单元失效，系统即失效。设：系统正常工作状态 系统故障状态 单元 i 处于正常工作状态（i 1，2，n）单元 i 处于故障状态（i 1，2，n）12nABAAiiAAiA2串联系统n则 A n21nii1n21nii1AAi2串联系统由上式：（Ai 之间相互独立）上式表明，在串联系统中，系统的可靠度是元件(单元)可靠度乘积。1，1，而且 即串联子系统的可靠度比任一单元要小。因此，提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更好。nii1nii1)(tsRniit1)(R tiR tsR tsR tiR2串联系统q若各单元服从指数分布，由此可知，串联后仍服从指数分布：s ，s 。tsR
5、nitie1niite1tsenii1s13并联系统q特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作;只有所有单元均失效，系统才失效。设：A 系统正常状态 系统故障 单元 i 处于正常工作状态（i 1，2，n）单元 i 处于故障状态123ABAiiAiA3并联系统则 （设各单元状态相互独立）n21nii1 nii1nii1 tsF nit1iF tsR tsF1 nit1iF1 nit1iR11s 0sRdtt ts tRtf tdttdssRR ttssRR3并联系统q若各单元寿命均服从指数分布，i，当n 2时，tsRnitie111 tsRttteee2121s2121111 tstttttte
6、eeeee2121212121213并联系统q经分析，并联系统 之最大值，n越大，越高，但并联单元多，结构尺寸大，重量、造价高，且 通常取 n 23。tsRn缓慢 tiR tsR4混联系统1)一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）12345678子系统S167S28等效单元8S4S34混联系统其中 tsR ttt8ssRRR43 t3sR tts2s1R1R11 t4sR tt76R1R11 t1sR t2sR ttt321RRR tt54RRs 0sRdtt ts ttssRR4混联系统2)串并联系统1121m111222m221n2nmnnij第j列i=1,2,mj=1,2,n4混联系
7、统每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj，再相乘即得Rs 当m1 m2 mn m，且 时，tjR jmit1ijR11 tsRn1jRj njmijt11ijR11 tsR nmtR11 tijR tR4混联系统3)并串联系统11i=1,2,mj=1,2,n第i行121n121222n2m1m2mnmij4混联系统q每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri，再求得Rs 当n1n2nmn，时，tijR tR tsR mtnR11 tiRinj 1ijR tsR mit1iR11 minjit11ijR115表决系统（r/n）q特征：n个单元中只要有r个单元正常工作系统就能正常工作。设：Ai 单
8、元i处于正常工作状态（i 1，2，3）A 系统处于正常工作状态 则 A 设Ai 间相互独立，但事件：A1A2，：A1A3，：A2A3，相容 12nr/n以1232/3为例323121AAAAAA5表决系统（r/n）P（A）P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P()P()P()P P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)2 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A1)P(A3)P(A2)P(A3)2P(A1)P(A2)P(A3)-2 tsR t1R t2R t3R t1R
9、 t2R t3R t1R t2R t3R5表决系统（r/n）当各单元相同时：；tiR tR tsR tt32R2R35表决系统（r/n）对上述“2/3”子系统也可以表示为：由此，按前述并、串联系统的计算方法即可求得系统的可靠性特征量。123321 5表决系统（r/n）q一般，对于n个相同单元（）组成的r/n表决系统，由于各单元只有两个状态，因此r/n系统可靠度 可表示为：i为正常工作单元数，ir，r1，n时系统都可正常工作。tR tsR niintR1RCriininit个单元失效个正常工作，tsR!ininCin式中：5表决系统（r/n）q又r/n系统，当rn时，n/n系统，即为串联系统 当
10、r1时，1/n系统，即为并联系统q各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为；则 此时 用数学归纳法可以证明：(1)tsRnriinttiineeC1snriinttiindteeC01 0sRdttnrii101dteeCinttiini15表决系统（r/n）当i1时，上式成立。设ik（1kn）时等式成立，即 (2)证明ik1时，上式（1）成立：ik1时：01dteeCknttkknk101111dteeCknttkkn0111dteeCnttn0111tnteden011ntenn10111knttkknedeknC5表决系统（r/n）ik1时，（1）成立，（1）式成立。001111tk
11、kntknttkkndeeeeknC0111dtkeeknCtkkntkn011dteeknkCknttkknkCknkCknkn111 1!11!1!1!knknknknkn11k6旁联系统（非工作贮备系统）设贮备单元完全可靠（由于单元受环境的影响，单元贮备期间也可能失效，此部分内容这里不讲，而只讲贮备单元完全可靠的情况）12n故障检测和转换装置R0(t)6旁联系统（非工作贮备系统）a.转换装置完全可靠（R0(t)1）设T1，T2，Tn为1n个单元的寿命，随机变量，且两两相互独立则系统寿命 随机变量：Ts T1T2Tn 系统可靠度：P（Tst）P（T1T2Tnt）系统平均寿命：单元i 的平均
12、寿命 tsRsn21nii1i6旁联系统（非工作贮备系统）q下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式 的计算方法。设两单元：T1、T2 均服从指数分布，失效率分别为1、2 则 f1(t)，f2(t)te11te226旁联系统（非工作贮备系统）P(Tst):TsT1T2 的概率密度函数 TsT1T2 即f1(t)和f2(t)的卷积。两边取拉普拉斯变换：由上式：，（用到：；）tsR tsdttf tfs tfs 12211110()()tf tftf ttf t dt tfLs tftfL21 tfLtfL21 tfL1111s tfL2221steds1 tfaLtafL6旁联系统（非工作贮备
13、系统）1212sL ftss:进行拉氏反变换得)()(212112212121ttttseeeetf代入上式即可得 0212111221121dttReetRsStts6旁联系统（非工作贮备系统）q对两个相同单元组成的旁联系统，用上述同样方法得 2()(1)2ttssfttesRtt e对n个不同单元组成的旁联系统ninknktetRiiskkis111)i1i()(iniiisnknktkekiitSR111)i1i()(6旁联系统（非工作贮备系统）时当n1211()()()()12!(1)!0kSnntttttRtetenkknsi！6旁联系统（非工作贮备系统）1Tb.转换装置不完全可靠（
14、服从指数分布）转换装置不完全可靠（服从指数分布）,仍以个仍以个单元组成的旁联系统为例单元组成的旁联系统为例12T0T211TTTTS10TT1.0TT 分布函数（或不可靠度）)(TTPFSS),(),(1021101TTTTTPTTTTP1)(20110121ttteee 6旁联系统（非工作贮备系统）6旁联系统（非工作贮备系统）)(1)(tFtRSS)(1)()(102110dttRtSs 6旁联系统（非工作贮备系统）0R0R21TT c.转换装置不完全可靠。（不使用时 =0，使用时 (t)=c）单元单元1先投入使用，单元先投入使用，单元1失效时，转换装置投入失效时，转换装置投入使用，使用，此
15、时转换装置有两种可能此时转换装置有两种可能：失效：系统寿命为 ，失效概率为1-R0 正常：系统寿命为 ，正常概率为R01T06旁联系统（非工作贮备系统）此时：对指数分布：02101)()1()()(RtTTPRtTPtRS01211220)()1()(211ReeRetRtttS)(1211201ttteeRe20101)()(RdttRtSs6旁联系统（非工作贮备系统）21时)1()1()1()(000tReRetRetRtttS)1(101Rs对由n个相同指数单元组成的旁联系统，经推导可得：)1(1!)()(01100nstniiSReitRtR网络系统q除前面介绍的串联、并联和表决等典型
16、模型外，还有一除前面介绍的串联、并联和表决等典型模型外，还有一般网络模型，如通性网络，交通网络，电路网络等般网络模型，如通性网络，交通网络，电路网络等q本节讨论网络模型常用的本节讨论网络模型常用的R分析方法，网络由节点和节分析方法，网络由节点和节点间的连线点间的连线(弧或单元弧或单元)连接而成，假设弧连接而成，假设弧(单元单元)和系统和系统只有两种可能状态只有两种可能状态正常正常或或失效失效。弧。弧(或单元或单元)之间相互之间相互独立独立。网络系统q例如也可表示为：1234网络系统1)全概率分解法全概率分解法根据全概率公式根据全概率公式)()/(P)()/()(0iiiniiBPBABPBAP
17、AP发生的概率；发生的条件下，事件是在事件ABBAii)/(P其中，其中，=1(全集)niiB1互不相容互不相容iB发生的概率。不发生条件下，事件是在事件ABBAii)/(P网络系统xsq设设x 某被选单元正常状态某被选单元正常状态(事件事件)某被选单元故障状态某被选单元故障状态(事件事件)S系统正常状态系统正常状态 系统故障状态系统故障状态 则有则有：)()/()()/()()()/()(P)/()(xPxsPxPxsPsPFxPxsPxxsPsPRSS网络系统 xsP则()()()()SRP s x P xP s xP x同理可写出：其中：)(xsP表示单元x正常时子系统故障状态的概率 表
18、示单元x故障时子系统故障状态的概率若 S(x)单元正常时的子系统（正常状态）S()单元故障时的子系统（正常状态）x)()()()(xPxsPxPxsPFS网络系统q例如：12345按单元展开：如图a,b（）正常时（短路）（）故障时（断路）网络系统q可转化为：)()/()()/(3333xpxspxpxspRS33331245314253()()()()1(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)(1)P s xP xP s xP xRRRRRRRR RR 全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转
19、化更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转化为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。网络系统2)布尔真值表法（穷举法）布尔真值表法（穷举法）1xn2n个单元组成的网络系统，各单元均有个单元组成的网络系统，各单元均有“正常正常”和和“失失效效”2种状态，则系统就有种状态，则系统就有2n种（微观）状态。种（微观）状态。对这个对这个状态逐一分析，判断系统的状态是状态逐一分析，判断系统的状态是“正常正常”还是还是“故障故障”，由于各状态互斥。因此所有正常工作状态的概，由于各状态互斥。因此所有正常工作状态的概率之和就是系统的可靠度。率之和就是系统的可靠度。例
20、如：例如：12342x3x4x5x故障正常网络系统共有32微观状态5212345100000200001150111016011113211111xxxxxFFSSS系统状态siSRR系统.网络系统q网络中有一些弧或单元，当这些弧正常时，网络就正常，这些弧的集合称为路集，若路集中除去任一弧，就不能仍为路集，这种路集称为最小路集。2x3)最小路集法路：连接任意两节点间由有向弧组成的弧的集合，称为这两个节点的一条路，或称道路。如 3x 3x5x1x4x网络系统q路集：由输入节点到输出节点的所有路的集合，称为路集q最小路：如果一条路中移去一条弧后就不再构成路，则称这条路为最小路。q最小路集：由最小路
21、构成的集合。q具有n个节点的网络的最小路集的最大路长为n1。q求最小路集的方法：有联络矩阵法、网络遍历法（计算机求解）等，主要介绍联络矩阵法。网络系统q联络矩阵法q给定一个有n个节点的网络s（有向、无向或混合型），定义相应的n阶矩阵q其中ijc0 x若节点i到j之间有弧直接相连若节点i到j之间无弧直接相连称c为网络s的联络矩阵（或关联矩阵）nnijcc网络系统例如网络s1x12342x3x4x5x0000000000534321xxxxxxc网络系统q联络矩阵的乘方规则定义)2(2ijcc 其中 kjnkikijccc1)2(显然，)2(ijc表示节点i到节点j的长度为2的最小路集的全体.同理
22、)(1)3(23rijrrijcccccccc所以从任意节点i到节点j的所有最小路集可表示为：11)(nrrijcs)1(ijcijc（=）（路长r=1,2n-1）网络系统q由于n个节点网络的最小路集的最大路长为n-1，因此当rn时，必有 rc0 例如：求上例从1到4最小路集当r=1时0000000000534321xxxxxxc网络系统q当r=2时000000000000000000005343215343212xxxxxxxxxxxxccc0000000004323532352413132xxxxxxxxxxxxxx网络系统n 当r=3时 000000000053432123xxxxxxc
23、cc0000000004323532352413132xxxxxxxxxxxxxx0000000005233342333432531232231xxxxxxxxxxxxxxxx网络系统q系统S的最小路集为S=41xx53152xxxxx432xxx注：集合运算333xxx网络系统1xqb 搜索法可以用建搜索树的方法求解如上例3x5x2x4x5x3x4x s=41xx53152xxxxx432xxx 网络系统 由最小路集求系统可靠度（正常工作概率）由最小路集求系统可靠度（正常工作概率）设某网络共有设某网络共有m个最小路集个最小路集)2,1(miAi最小路集存在，足以使网络正常，最小路集存在，足以
24、使网络正常，任意任意因此网络正常事件因此网络正常事件可表示为可表示为miiAs1iA第i个最小路集存在的事件 网络系统正常工作的概率（可靠度）网络系统正常工作的概率（可靠度）网络系统n miiAPsPR1 mmmjijimiiAAAPAAPAP21111仍以上述网络为例仍以上述网络为例已知4325315241xxxxxxxxxxS且各弧正常工作的概率事件之间相互独立且各弧正常工作的概率事件之间相互独立,43245313522411xxxAxxxAxxAxxA网络系统q应用上式：1141422525()()()(P AP x P xR RP AP x P xR R5315313()()RRRxP
25、xPxPAP4324324()()RRRxPxPxPAP5421542121RRRRxxxxPAAP5431543131RRRRxxxxPAAP421432141RRRRxxxxPAAP网络系统5321532132RRRRxxxxPAAP5432543242RRRRxxxxPAAP5432143xxxxxPAAP类似方法：)(),(),(),(),(4321432431421321AAAAPAAAPAAAPAAAPAAAP利用上式可得：)()()()()(4321APAPAPAPsPR)(21AAP)()()(324131AAPAAPAAP)()(4342AAPAAP)()()()(43243
26、1421321AAAPAAAPAAAPAAAP)(4321AAAAP网络系统（4）最小割集法网络中的一些弧（或单元），当这些弧失效时，网络就网络中的一些弧（或单元），当这些弧失效时，网络就失效，这些弧的集合称为割集，若由割集中去掉任何一个失效，这些弧的集合称为割集，若由割集中去掉任何一个弧，就不能仍为割集，这种割集称为最小割集弧，就不能仍为割集，这种割集称为最小割集。设 kBB,1系统即失效，为系统的k个最小割集，任一最小割集发生失效，因此系统 失效事件B为：kiikBBBBB121网络系统q则系统的失效概率（不可靠度）kiisBPBPF1112111kkiijkiij kP BP B BP
27、B BB 如割集：,5413422311xxxBxxBxxB 则 432143212154154134242231311)()()()()(qqqqxxxxPBBPqqqxPxPxPBPqqxPxPBPqqxpxpBp作业：1T有有旁联系统（非工作贮备系统）如下图所示。1.转换装置不完全可靠（服从指数分布）转换装置不完全可靠（服从指数分布）,仍以个单仍以个单元组成的旁联系统为例元组成的旁联系统为例12T0T求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导过程过程0R0R21TT 2.转换装置不完全可靠。（不使用时 =0，使用时 (t)=c）单元单元1先投入使用，单元先投入使用，单元1失效时，转换装置投入失效时，转换装置投入使用，使用，此时转换装置有此时转换装置有2种可能种可能：失效：系统寿命为 ，失效概率为1-R0 正常：系统寿命为 ，正常概率为R01T00求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导过程过程
